不定積分的試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\intx^2dx$的結(jié)果是（）A.$\frac{1}{2}x^3+C$B.$\frac{1}{3}x^3+C$C.$x^3+C$D.$3x^3+C$2.$\int\frac{1}{x}dx$=（）A.$\lnx+C$B.$-\lnx+C$C.$\frac{1}{x^2}+C$D.$\frac{1}{2x^2}+C$3.$\inte^xdx$=（）A.$e^x+C$B.$-e^x+C$C.$\frac{1}{e^x}+C$D.$e^{-x}+C$4.$\int\cosxdx$=（）A.$\sinx+C$B.$-\sinx+C$C.$\cosx+C$D.$-\cosx+C$5.若$F^\prime(x)=f(x)$，則$\intf(x)dx$=（）A.$F(x)$B.$F(x)+C$C.$f(x)$D.$f(x)+C$6.$\int3dx$=（）A.$3x$B.$3x+C$C.$x^3+C$D.$\frac{3}{x}+C$7.$\intx^ndx$（$n\neq-1$）=（）A.$\frac{1}{n}x^{n+1}+C$B.$\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$C.$nx^{n-1}+C$D.$(n+1)x^{n+1}+C$8.$\int\sin(2x)dx$=（）A.$\frac{1}{2}\cos(2x)+C$B.$-\frac{1}{2}\cos(2x)+C$C.$\cos(2x)+C$D.$-\cos(2x)+C$9.已知$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(ax+b)dx$（$a\neq0$）=（）A.$\frac{1}{a}F(ax+b)+C$B.$aF(ax+b)+C$C.$F(ax+b)+C$D.$\frac{1}{a}F(x)+C$10.$\int\frac{1}{1+x^2}dx$=（）A.$\arctanx+C$B.$\arcsinx+C$C.$\arccosx+C$D.$\ln(1+x^2)+C$多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是不定積分的基本性質(zhì)（）A.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$B.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）C.$\intf^\prime(x)dx=f(x)$D.$\intdx=x+C$2.下列積分結(jié)果正確的是（）A.$\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C$B.$\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$C.$\int\tanxdx=\ln|\cosx|+C$D.$\int\sec^2xdx=\tanx+C$3.計(jì)算不定積分$\int\sin^2xdx$可采用的方法有（）A.利用$\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$進(jìn)行化簡(jiǎn)B.湊微分法C.分部積分法D.換元法4.以下哪些函數(shù)的不定積分可以直接利用基本積分公式得到（）A.$x^5$B.$e^{-x}$C.$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$D.$\secx\tanx$5.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則（）A.$\intf(2x)dx=\frac{1}{2}F(2x)+C$B.$\intf(x+1)dx=F(x+1)+C$C.$\intf(-x)dx=-F(-x)+C$D.$\intf(x^2)dx=F(x^2)+C$6.不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系有（）A.先積分再求導(dǎo)，結(jié)果是被積函數(shù)本身B.先求導(dǎo)再積分，結(jié)果比原函數(shù)多一個(gè)常數(shù)C.不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算D.導(dǎo)數(shù)是不定積分的逆運(yùn)算7.計(jì)算$\intxe^xdx$可以用（）A.換元法B.分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$C.分部積分法，設(shè)$u=e^x$，$dv=xdx$D.湊微分法8.以下關(guān)于不定積分的說(shuō)法正確的是（）A.不定積分的結(jié)果不唯一B.不同形式的不定積分結(jié)果可能相差一個(gè)常數(shù)C.不定積分表示的是一族函數(shù)D.若兩個(gè)函數(shù)的不定積分相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等9.能通過(guò)湊微分法計(jì)算的不定積分有（）A.$\int2xe^{x^2}dx$B.$\int\frac{1}{x\lnx}dx$C.$\int\cos(3x+1)dx$D.$\int\frac{\sinx}{\cos^2x}dx$10.不定積分$\int\frac{1}{x^2-1}dx$可以通過(guò)（）方法計(jì)算A.部分分式分解B.換元法C.湊微分法D.分部積分法判斷題（每題2分，共10題）1.不定積分$\intf(x)dx$表示的是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)。（）2.若$F(x)$和$G(x)$都是$f(x)$的原函數(shù)，則$F(x)-G(x)$為常數(shù)。（）3.$\int(x^2+3x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x$。（）4.因?yàn)?(\ln|x|)^\prime=\frac{1}{x}$，所以$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$對(duì)任意非零實(shí)數(shù)$x$都成立。（）5.不定積分的運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算是互逆的。（）6.$\int\sinx\cosxdx=\frac{1}{2}\sin^2x+C$和$\int\sinx\cosxdx=-\frac{1}{2}\cos^2x+C$結(jié)果矛盾。（）7.用分部積分法計(jì)算$\intx\sinxdx$時(shí)，設(shè)$u=\sinx$，$dv=xdx$更簡(jiǎn)便。（）8.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(-x)dx=-F(-x)+C$。（）9.基本積分公式中$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，$n$可以取任意實(shí)數(shù)。（）10.換元法和湊微分法本質(zhì)上是一樣的。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述不定積分的定義。答：若在區(qū)間$I$上，$F^\prime(x)=f(x)$，則稱$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個(gè)原函數(shù)，$f(x)$在區(qū)間$I$上的全體原函數(shù)$F(x)+C$（$C$為任意常數(shù)）稱為$f(x)$在區(qū)間$I$上的不定積分，記作$\intf(x)dx$。2.計(jì)算$\int(2x+3)^2dx$。答：先展開(kāi)$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$，再積分得$\int(4x^2+12x+9)dx=\frac{4}{3}x^3+6x^2+9x+C$。3.用湊微分法計(jì)算$\int\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}dx$。答：令$u=\frac{1}{x}$，則$du=-\frac{1}{x^2}dx$，原式變?yōu)?-\inte^udu=-e^u+C=-e^{\frac{1}{x}}+C$。4.用分部積分法計(jì)算$\intx\lnxdx$。答：設(shè)$u=\lnx$，$dv=xdx$，則$du=\frac{1}{x}dx$，$v=\frac{1}{2}x^2$，由分部積分公式得$\intx\lnxdx=\frac{1}{2}x^2\lnx-\int\frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^2\lnx-\frac{1}{4}x^2+C$。討論題（每題5分，共4題）1.討論不定積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。答：在物理中可求位移（速度的不定積分）、求變力做功等；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域可求總成本（邊際成本的不定積分）等。通過(guò)不定積分能從變化率關(guān)系得到原函數(shù)，解決諸多與積累、總量相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。2.如何判斷一道不定積分題適合用哪種方法求解？答：若被積函數(shù)是基本函數(shù)組合，可直接用基本積分公式；能湊成某個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)形式用湊微分法；形如$\intudv$結(jié)構(gòu)，$u$求導(dǎo)、$dv$積分后簡(jiǎn)單的用分部積分法；被積函數(shù)形式復(fù)雜，有根式等，考慮換元法；分式函數(shù)可嘗試部分分式分解法。3.為什么不定積分的結(jié)果會(huì)有多種不同形式，但又都正確？答：因?yàn)椴欢ǚe分表示的是原函數(shù)族，不同形式的結(jié)果之間只相差一個(gè)常數(shù)。例如$\sin^2x+C$和$-\cos^2x+C$，由于$\sin^2x=1-\cos^2x$，它們本質(zhì)是同一原函數(shù)族。4.舉例說(shuō)明換元法和分部積分法在不定積分計(jì)算中的互補(bǔ)性。答：比如計(jì)算$\intxe^{x^2}dx$用換元法，令$u=x^2$很簡(jiǎn)便；而$\intxe^xdx$用換元法不易求解，用分部積分法設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$可算出。不同方法適用于不同