高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（北師大版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由得，.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限.故選:A.2.已知向量，的夾角為，，，則（）A.3 B.7 C. D.【答案】D【解析】，.故選：D.3.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，直線與直線中，，它們互相垂直，當(dāng)直線與直線互相垂直時，，，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件.故選：A4.設(shè)向量，，不共面，則下列集合可以作為空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】選項A：，三個向量共面，故不能作為空間的一個基底，故A不符合題意；選項B：，三個向量共面，故不能作為空間的一個基底，故B不符合題意；選項C：，三個向量共面，故不能作為空間的一個基底，故C不符合題意；選項D：假設(shè)不能作為空間的一個基底，則共面，存在，使得，則向量共面，與題意矛盾，故不共面，因此可以作為空間的一個基底，故D符合題意.故選：D.5.已知，，定義為，兩點的“鏡像距離”.若點和點在圓上，則，兩點的“鏡像距離”是（）A.或 B.2或 C.2或4 D.或4【答案】C【解析】由題意得，，有四種情形：，，；，，；，，；，，.故選：C.6.已知橢圓的右焦點為，過點的直線與交于兩點，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（）A.1 B.－1 C. D.【答案】D【解析】設(shè)，聯(lián)立，消去化簡整理得，所以，于是，解得，故直線的方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為，故選：D7.若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由原不等式得，，（1）時，，不等式成立，，（2）當(dāng)時，，則原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，令，則，其中，因為在單調(diào)遞增，所以，因此，綜合（1）、（2）可知，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.已知偶函數(shù)的定義域為R，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又是偶函數(shù)，則，可得，令為，則，因此，所以周期為4.因為，所以.又因為，所以.因為，所以.于是，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，對于直線，下列說法中正確的是（）A.的斜率為B.在軸上的截距為－1C.不可能平行于軸D.與直線的距離是【答案】BD【解析】時，斜率為，時，直線的斜率不存在，A錯.在中，令，則.B對.當(dāng)時，直線，平行于軸，C錯.與直線的距離是.D對.故選：BD.10.已知為坐標(biāo)原點，，圓，則（）A.圓恒過坐標(biāo)原點B.圓與圓內(nèi)切C.直線與圓相離D.圓的圓心在單位圓上運動【答案】ABD【解析】對于A，滿足，所以A對.對于B，兩圓的圓心距是1，，所以B對.對于C，圓的圓心到直線的距離，所以C錯.對于D，圓的圓心的坐標(biāo)滿足方程.所以D對.故選:ABD.11.點為拋物線上一點，為的焦點，為坐標(biāo)原點，連接并延長交拋物線于點，且，則（）A.的準(zhǔn)線方程是B.點的坐標(biāo)為或C.直線的方程是D.【答案】BD【解析】由拋物線，則，即，所以，準(zhǔn)線方程是，故A錯誤；設(shè)，則，而，則，，即，所以點的坐標(biāo)為或，故B正確；當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線的的斜率為，此時直線的方程是，即；當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線的的斜率為，此時直線的方程是，即，故C錯誤；對于D，可以使用結(jié)論，下面進行結(jié)論說明：設(shè)拋物線，焦點，過焦點的直線與拋物線交于，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，則，，所以.所以，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，是函數(shù)的零點，則的值為________.【答案】【解析】由得，.即.而，所以.故.故答案為：.13.現(xiàn)有10名巴黎奧運會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取3名（每次取一個），派往參與高臺跳水項目的志愿者服務(wù).則“恰有一名女志愿者”的概率是________.【答案】【解析】設(shè)，，分別為第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，則；；，因此“恰有一名女志愿者”的概率為.故答案為：.14.過點引直線，分別交，軸的負半軸于、兩點，則面積的最小值是________，此時直線的方程是________.【答案】①.48②.【解析】設(shè)Aa,0，，其中，，則直線的方程為.在直線上，.又，即，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，再結(jié)合解得，，，所以面積的最小值為48，此時直線的方程為，即.故答案為：.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.阿波羅尼斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他的姓名命名的阿波羅尼斯圓，是指平面內(nèi)到兩定點的距離的比值為常數(shù)的動點軌跡.已知，，動點滿足.（1）求動點所在的阿波羅尼斯圓的方程；（2）若點，求的最小值和最大值.解：（1）設(shè)動點，則就是，即，整理得，.故動點所在的阿波羅尼斯圓的方程為.（2）就是，其半徑是4，圓心是，.顯然在圓外，故的最小值是，最大值是.16.記內(nèi)角、、的對邊分別為，，，已知，（1）求角的大??；（2）若角為銳角，且的面積為，求的邊長.解：（1）設(shè)的外接圓半徑為，由，得，于是，因為，所以，，因為，且，，所以，，因為，故或.（2）由題意可知，，因為，且，所以，解得，故.17.已知直線與拋物線交于，兩點，且線段的中點的橫坐標(biāo)為1.（1）試確定的值；（2）若直線與橢圓有公共點，且拋物線的準(zhǔn)線與此橢圓的一個交點是，求的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，由，得，則，所以，解得.（2）由（1）知拋物線，準(zhǔn)線方程為，因為拋物線C的準(zhǔn)線與橢圓的一個交點是，所以，代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓方程為.又直線l與橢圓有公共點，由，得，，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.18.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點為右支上一點，且直線與軸垂直.（1）證明：；（2）若的角平分線恰好過點，求的面積.（1）證明：由題意知，將代入方程，得，即，由雙曲線的定義知，，所以，所以，即證；（2）解：，則，，由（1）知，，由雙曲線定義可知：，由角平分線性質(zhì)定理可得：，即，整理得，由解得，.19.法國數(shù)學(xué)家蒙日在研究橢圓時發(fā)現(xiàn)：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上.這個圓稱為該橢圓的蒙日圓，此結(jié)論一般稱為蒙日圓定理.（1）求橢圓的蒙日圓方程；（2）對于橢圓，是橢圓的中心，點是橢圓的蒙日圓上一點，，分別切橢圓于點，，且切點弦所在的直線方程是.（i）證明：平分切點弦；（ii）若延長，，分別交橢圓的蒙日圓于點，，證明：.（1）解：考慮邊與橢圓長軸和短軸分別平行的矩形知，其對角線之半就是蒙日圓的半徑，即，因此橢圓的蒙日圓方程為.（2）證明：（i）設(shè)點是切點弦的中點，Mx1,y1當(dāng)，都存在時，兩個方程相減得，，所以，即，.（或：設(shè)所在的直線方程是，聯(lián)立消去得，，，.所以點的坐標(biāo)是.于是.）而，所以，，，，三點共線，平分切點弦.當(dāng)，有一個不存在時，顯然成立.（ii）顯然線段是蒙日圓直徑，經(jīng)過原點，所以，.于是，，因此，故.江西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（北師大版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由得，.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限.故選:A.2.已知向量，的夾角為，，，則（）A.3 B.7 C. D.【答案】D【解析】，.故選：D.3.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，直線與直線中，，它們互相垂直，當(dāng)直線與直線互相垂直時，，，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件.故選：A4.設(shè)向量，，不共面，則下列集合可以作為空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】選項A：，三個向量共面，故不能作為空間的一個基底，故A不符合題意；選項B：，三個向量共面，故不能作為空間的一個基底，故B不符合題意；選項C：，三個向量共面，故不能作為空間的一個基底，故C不符合題意；選項D：假設(shè)不能作為空間的一個基底，則共面，存在，使得，則向量共面，與題意矛盾，故不共面，因此可以作為空間的一個基底，故D符合題意.故選：D.5.已知，，定義為，兩點的“鏡像距離”.若點和點在圓上，則，兩點的“鏡像距離”是（）A.或 B.2或 C.2或4 D.或4【答案】C【解析】由題意得，，有四種情形：，，；，，；，，；，，.故選：C.6.已知橢圓的右焦點為，過點的直線與交于兩點，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（）A.1 B.－1 C. D.【答案】D【解析】設(shè)，聯(lián)立，消去化簡整理得，所以，于是，解得，故直線的方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為，故選：D7.若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由原不等式得，，（1）時，，不等式成立，，（2）當(dāng)時，，則原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，令，則，其中，因為在單調(diào)遞增，所以，因此，綜合（1）、（2）可知，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.已知偶函數(shù)的定義域為R，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又是偶函數(shù)，則，可得，令為，則，因此，所以周期為4.因為，所以.又因為，所以.因為，所以.于是，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，對于直線，下列說法中正確的是（）A.的斜率為B.在軸上的截距為－1C.不可能平行于軸D.與直線的距離是【答案】BD【解析】時，斜率為，時，直線的斜率不存在，A錯.在中，令，則.B對.當(dāng)時，直線，平行于軸，C錯.與直線的距離是.D對.故選：BD.10.已知為坐標(biāo)原點，，圓，則（）A.圓恒過坐標(biāo)原點B.圓與圓內(nèi)切C.直線與圓相離D.圓的圓心在單位圓上運動【答案】ABD【解析】對于A，滿足，所以A對.對于B，兩圓的圓心距是1，，所以B對.對于C，圓的圓心到直線的距離，所以C錯.對于D，圓的圓心的坐標(biāo)滿足方程.所以D對.故選:ABD.11.點為拋物線上一點，為的焦點，為坐標(biāo)原點，連接并延長交拋物線于點，且，則（）A.的準(zhǔn)線方程是B.點的坐標(biāo)為或C.直線的方程是D.【答案】BD【解析】由拋物線，則，即，所以，準(zhǔn)線方程是，故A錯誤；設(shè)，則，而，則，，即，所以點的坐標(biāo)為或，故B正確；當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線的的斜率為，此時直線的方程是，即；當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線的的斜率為，此時直線的方程是，即，故C錯誤；對于D，可以使用結(jié)論，下面進行結(jié)論說明：設(shè)拋物線，焦點，過焦點的直線與拋物線交于，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，則，，所以.所以，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，是函數(shù)的零點，則的值為________.【答案】【解析】由得，.即.而，所以.故.故答案為：.13.現(xiàn)有10名巴黎奧運會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取3名（每次取一個），派往參與高臺跳水項目的志愿者服務(wù).則“恰有一名女志愿者”的概率是________.【答案】【解析】設(shè)，，分別為第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，則；；，因此“恰有一名女志愿者”的概率為.故答案為：.14.過點引直線，分別交，軸的負半軸于、兩點，則面積的最小值是________，此時直線的方程是________.【答案】①.48②.【解析】設(shè)Aa,0，，其中，，則直線的方程為.在直線上，.又，即，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，再結(jié)合解得，，，所以面積的最小值為48，此時直線的方程為，即.故答案為：.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.阿波羅尼斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他的姓名命名的阿波羅尼斯圓，是指平面內(nèi)到兩定點的距離的比值為常數(shù)的動點軌跡.已知，，動點滿足.（1）求動點所在的阿波羅尼斯圓的方程；（2）若點，求的最小值和最大值.解：（1）設(shè)動點，則就是，即，整理得，.故動點所在的阿波羅尼斯圓的方程為.（2）就是，其半徑是4，圓心是，.顯然在圓外，故的最小值是，最大值是.16.記內(nèi)角、、的對邊分別為，，，已知，（1）求角的大小；（2）若角為銳角，且的面積為，求的邊長.解：（1）設(shè)的外接圓半徑為，由，得，于是，因為，所以，，因為，且，，所以，，因為，故或.（2）由題意可知，，因為，且，所以，解得，故.17.已知直線與拋物線交于，兩點，且線段的中點的橫坐標(biāo)為1.（1）試確定的值；（2）若直線與橢圓有公共點，且拋物線的準(zhǔn)線與此橢圓的一個交點是，求的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，由