高等代數(shù)考研真題及答案

一、單項選擇題1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是屬于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.當\(k_1=k_2=0\)時，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2=0\)B.對任意的\(k_1,k_2\)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)都是\(A\)的特征向量C.當\(k_1,k_2\)不全為\(0\)時，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)不可能是\(A\)的特征向量D.存在不全為\(0\)的\(k_1,k_2\)，使得\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量答案：C2.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^\)的一個特征值是（）A.\(\frac{\vertA\vert}{\lambda}\)B.\(\frac{\lambda}{\vertA\vert}\)C.\(\vertA\vert\lambda\)D.\(\frac{1}{\vertA\vert\lambda}\)答案：A3.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(\lambdaE-A=\lambdaE-B\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值和特征向量C.\(A\)與\(B\)都相似于一個對角矩陣D.對任意常數(shù)\(t\)，\(tE-A\)與\(tE-B\)相似答案：D4.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，已知\(n\)維列向量\(\alpha\)是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的特征向量，則矩陣\((P^{-1}AP)^T\)屬于特征值\(\lambda\)的特征向量是（）A.\(P^{-1}\alpha\)B.\(P^T\alpha\)C.\(P\alpha\)D.\((P^{-1})^T\alpha\)答案：B5.設(shè)\(A\)是\(3\)階方陣，將\(A\)的第\(1\)列與第\(2\)列交換得\(B\)，再把\(B\)的第\(2\)列加到第\(3\)列得\(C\)，則滿足\(AQ=C\)的可逆矩陣\(Q\)為（）A.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)答案：D6.設(shè)\(A\)，\(B\)為同階可逆矩陣，則（）A.\(AB=BA\)B.存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)C.存在可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\)D.存在可逆矩陣\(P\)和\(Q\)，使得\(PAQ=B\)答案：D7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(r(A)=n-1\)，\(\alpha_1,\alpha_2\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的兩個不同的解向量，則\(Ax=0\)的通解為（）A.\(k\alpha_1\)，\(k\)為任意常數(shù)B.\(k\alpha_2\)，\(k\)為任意常數(shù)C.\(k(\alpha_1-\alpha_2)\)，\(k\)為任意常數(shù)D.\(k(\alpha_1+\alpha_2)\)，\(k\)為任意常數(shù)答案：C8.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則（）A.當\(m>n\)時，必有\(zhòng)(\vertAB\vert\neq0\)B.當\(m>n\)時，必有\(zhòng)(\vertAB\vert=0\)C.當\(n>m\)時，必有\(zhòng)(\vertAB\vert\neq0\)D.當\(n>m\)時，必有\(zhòng)(\vertAB\vert=0\)答案：B9.設(shè)\(A\)是\(n\)階正定矩陣，\(B\)是\(n\)階反對稱矩陣，則\(A-B^2\)是（）A.正定矩陣B.反對稱矩陣C.非正定矩陣D.不可逆矩陣答案：A10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A^2=A\)，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(A\)一定可對角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.\(A\)是可逆矩陣答案：D二、多項選擇題1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，下列條件中能推出\(A\)可對角化的有（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值B.\(A\)是實對稱矩陣C.\(A\)的每個特征值的幾何重數(shù)等于它的代數(shù)重數(shù)D.\(A\)的最小多項式?jīng)]有重根答案：ABCD2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)合同，則（）A.\(A\)與\(B\)等價B.\(A\)與\(B\)相似C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)與\(B\)有相同的正慣性指數(shù)答案：ACD3.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的一個基礎(chǔ)解系，則下列向量組中也可作為\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系的有（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+2\alpha_3,\alpha_3+2\alpha_1\)答案：ABD4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是屬于\(\lambda\)的特征向量，則（）A.\(A^k\xi=\lambda^k\xi\)，\(k\)為正整數(shù)B.\(f(A)\xi=f(\lambda)\xi\)，\(f(x)\)為任意多項式C.若\(A\)可逆，則\(\lambda\neq0\)且\(A^{-1}\xi=\frac{1}{\lambda}\xi\)D.若\(A\)可逆，則\(\lambda\neq0\)且\(A^\xi=\frac{\vertA\vert}{\lambda}\xi\)答案：ABCD5.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=b\)為非齊次線性方程組，則（）A.若\(r(A)=r(A\vertb)\)，則\(Ax=b\)有解B.若\(Ax=b\)有解，則\(r(A)=r(A\vertb)\)C.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(r(A)=n\)D.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(r(A)<n\)答案：ABC6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階正交矩陣，則（）A.\(AB\)是正交矩陣B.\(A^{-1}\)是正交矩陣C.\(A^T\)是正交矩陣D.\(kA\)（\(k\neq0\)）是正交矩陣答案：ABC7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，下列關(guān)于\(A\)的行列式的性質(zhì)正確的有（）A.\(\vertA^T\vert=\vertA\vert\)B.\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(A\)可逆，則\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)答案：ABCD8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣為\(A^\)，則（）A.\(AA^=\vertA\vertE\)B.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A^=\vertA\vertA^{-1}\)C.\(r(A^)=\begin{cases}n,&r(A)=n\\1,&r(A)=n-1\\0,&r(A)<n-1\end{cases}\)D.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)答案：ABCD9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，下列說法正確的是（）A.若\(A\)是上三角矩陣，則\(A\)的特征值就是主對角線上的元素B.若\(A\)是實對稱矩陣，則\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交C.若\(A\)可對角化，則\(A\)的最小多項式無重根D.若\(A\)的所有特征值都為\(0\)，則\(A=0\)答案：ABC10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是\(A\)的\(n\)個線性無關(guān)的特征向量，對應(yīng)的特征值分別為\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，令\(P=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，則（）A.\(AP=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}\)B.\(A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}P^{-1}\)C.\(A\)與對角矩陣\(\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}\)相似D.\(A\)的特征多項式為\(f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\)答案：ABCD三、判斷題1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)的特征多項式相同。（）答案：對2.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）答案：對3.若\(A\)是實對稱矩陣，則\(A\)一定可正交對角化。（）答案：對4.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解的充分必要條件是\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（）答案：對5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，若\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)。（）答案：對6.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是屬于\(\lambda\)的特征向量，則對于任意非零常數(shù)\(k\)，\(k\xi\)也是屬于\(\lambda\)的特征向量。（）答案：對7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)的所有特征值都為\(1\)，則\(A=E\)。（）答案：錯8.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充分必要條件是\(r(A)=r(A\vertb)\)。（）答案：對9.若\(A\)是\(n\)階正定矩陣，則\(A\)的主對角線元素都大于\(0\)。（）答案：對10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣為\(A^\)，若\(r(A)=n-1\)，則\(r(A^)=1\)。（）答案：對四、簡答題1.簡述矩陣可相似對角化的條件。答案：一個\(n\)階方陣\(A\)可相似對角化的充分必要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量?；蛘運(A\)的每個特征值的幾何重數(shù)等于它的代數(shù)重數(shù)。若\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值，那么\(A\)一定可相似對