線性代數課程考卷及解析一、課程考卷（一）選擇題（每題4分，共20分）1.設三階矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}\)，則\(|A|\)的值為（）A.12B.24C.30D.482.若矩陣\(A\)、\(B\)滿足\(AB=E\)（\(E\)為單位矩陣），則下列結論正確的是（）A.\(A\)可逆，\(B\)不可逆B.\(A\)不可逆，\(B\)可逆C.\(A\)、\(B\)都可逆，且\(A^{-1}=B\)D.\(A\)、\(B\)都可逆，且\(B^{-1}=A\)3.線性方程組\(Ax=b\)（\(A\)為\(3\times4\)矩陣）有解的充要條件是（）A.\(r(A)=3\)B.\(r(A)=r(A|b)\)C.\(r(A|b)=4\)D.\(r(A)=4\)4.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(1,1,0)^T\)的線性相關性為（）A.線性無關B.線性相關C.無法判斷D.部分相關5.設矩陣\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，則\(|A|\)的值為（）A.5B.6C.7D.8（二）填空題（每題4分，共20分）1.設\(A\)為三階可逆矩陣，且\(|A|=2\)，則\(|A^*|=\)______（\(A^*\)為\(A\)的伴隨矩陣）。2.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&5&7\end{pmatrix}\)的秩\(r(A)=\)______。3.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(4\times5\)矩陣，\(r(A)=3\)）的基礎解系所含向量個數為______。4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2\)的矩陣為______。5.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，且\(A\)的特征值為\(2,3\)，則\(|B|=\)______。（三）解答題（每題12分，共60分）1.計算四階行列式\(D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&3&6&10\\1&4&10&20\end{vmatrix}\)。2.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，用初等行變換法求\(A^{-1}\)。3.解線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+3x_3=2\\2x_1+3x_2+4x_3=3\end{cases}\)，并寫出其通解（若有無窮多解）。4.設向量組\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,t)^T\)，（1）求\(t\)為何值時，向量組線性相關；（2）當線性相關時，求其秩和一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示。5.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特征值和對應的特征向量。二、考卷解析（一）選擇題解析1.第1題：三階上三角矩陣的行列式等于主對角線元素的乘積。矩陣\(A\)的主對角線元素為\(1,4,6\)，因此\(|A|=1\times4\times6=24\)。答案選\(\boldsymbol{B}\)。2.第2題：若\(AB=E\)，根據逆矩陣定義，兩個矩陣乘積為單位矩陣時，二者互為逆矩陣且均可逆。因此\(A\)、\(B\)都可逆，且\(A^{-1}=B\)（\(B^{-1}=A\)也成立，但選項\(C\)更直接體現\(AB=E\)的逆矩陣關系）。答案選\(\boldsymbol{C}\)。3.第3題：線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩（即\(r(A)=r(A|b)\)）。答案選\(\boldsymbol{B}\)。4.第4題：觀察向量關系：\(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)（即\((1,1,0)^T=(1,0,0)^T+(0,1,0)^T\)），存在不全為零的系數\(1,1,-1\)使得\(1\cdot\alpha_1+1\cdot\alpha_2-1\cdot\alpha_3=0\)，因此向量組線性相關。答案選\(\boldsymbol{B}\)。5.第5題：矩陣的行列式等于其所有特征值的乘積（特征多項式的常數項為\((-1)^n|A|\)，特征值是多項式的根）。已知\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，故\(|A|=1\times2\times3=6\)。答案選\(\boldsymbol{B}\)。（二）填空題解析1.第1題：伴隨矩陣性質：若\(A\)可逆，則\(A^*=|A|A^{-1}\)。因此\(|A^*|=||A|A^{-1}|=|A|^n\cdot|A^{-1}|\)（\(n\)為矩陣階數，此處\(n=3\)）。結合\(|A^{-1}|=1/|A|\)，代入得\(|A^*|=|A|^3\cdot(1/|A|)=|A|^2\)。已知\(|A|=2\)，故\(|A^*|=2^2=4\)。2.第2題：對\(A\)作初等行變換：\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&5&7\end{pmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1,R_3-3R_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{R_2\leftrightarrowR_3}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}\)。行階梯形矩陣有2個非零行，故\(r(A)=2\)。3.第3題：齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系所含向量個數為\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數個數，即矩陣列數）。此處\(n=5\)，\(r(A)=3\)，故個數為\(5-3=2\)。4.第4題：二次型矩陣構造規(guī)則：平方項系數在主對角線，交叉項系數的一半在對應位置。因此二次型\(f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2\)的矩陣為：\[\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\]5.第5題：相似矩陣的特征值相同，且行列式等于特征值的乘積。\(A\)的特征值為\(2,3\)，故\(|A|=2\times3=6\)；又\(A\)與\(B\)相似，因此\(|B|=|A|=6\)。（三）解答題解析1.第1題：四階行列式計算對行列式作行變換\(R_2-R_1,R_3-R_1,R_4-R_1\)，得：\[D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&2&5&9\\0&3&9&19\end{vmatrix}\]再對第二列下方元素消元（\(R_3-2R_2,R_4-3R_2\)）：\[D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&3&10\end{vmatrix}\]最后對第三列下方元素消元（\(R_4-3R_3\)），得到上三角矩陣：\[D=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{vmatrix}\]上三角矩陣的行列式等于主對角線元素乘積，故\(D=1\times1\times1\times1=1\)。2.第2題：初等行變換求逆矩陣構造增廣矩陣\((A|E)=\begin{pmatrix}1&2&\mid&1&0\\3&4&\mid&0&1\end{pmatrix}\)，作行變換：\(R_2-3R_1\)：\(\begin{pmatrix}1&2&\mid&1&0\\0&-2&\mid&-3&1\end{pmatrix}\)\(R_2\times(-1/2)\)：\(\begin{pmatrix}1&2&\mid&1&0\\0&1&\mid&3/2&-1/2\end{pmatrix}\)\(R_1-2R_2\)：\(\begin{pmatrix}1&0&\mid&-2&1\\0&1&\mid&3/2&-1/2\end{pmatrix}\)因此\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)（驗證：\(AA^{-1}=E\)，正確）。3.第3題：線性方程組求解構造增廣矩陣\((A|b)=\begin{pmatrix}1&1&1&\mid&1\\1&2&3&\mid&2\\2&3&4&\mid&3\end{pmatrix}\)，作行變換：\(R_2-R_1,R_3-2R_1\)：\(\begin{pmatrix}1&1&1&\mid&1\\0&1&2&\mid&1\\0&1&2&\mid&1\end{pmatrix}\)\(R_3-R_2\)：\(\begin{pmatrix}1&1&1&\mid&1\\0&1&2&\mid&1\\0&0&0&\mid&0\end{pmatrix}\)由于\(r(A)=r(A|b)=2<3\)（未知數個數），方程組有無窮多解。取\(x_3=t\)（\(t\in\mathbb{R}\)），回代得：\(x_2=1-2t\)，\(x_1=t\)。通解為：\[\begin{cases}x_1=t\\x_2=1-2t\\x_3=t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})\]或向量形式：\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\)（\(t\in\mathbb{R}\)）。4.第4題：向量組的線性相關性、秩與極大無關組（1）判斷線性相關性：構造矩陣\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)，作行變換：\(R_2-R_1,R_3-R_1\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1