雙曲線知識(shí)點(diǎn)教學(xué)案與同步練習(xí)題一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：理解雙曲線的定義，掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，能根據(jù)條件求雙曲線方程并分析其幾何特征。2.過程與方法：類比橢圓的研究方法，經(jīng)歷雙曲線概念形成、方程推導(dǎo)的過程，提升類比遷移、數(shù)形結(jié)合的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性與嚴(yán)謹(jǐn)性，增強(qiáng)探索數(shù)學(xué)規(guī)律的興趣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。二、知識(shí)梳理（一）雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)\(F_1,F_2\)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于\(|F_1F_2|\)且大于0）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中：兩個(gè)定點(diǎn)\(F_1,F_2\)稱為焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離為焦距，記為\(2c\)（\(c>0\)）；常數(shù)記為\(2a\)（需滿足\(0<2a<2c\)，即\(0<a<c\)）。特殊情況：若去掉“絕對(duì)值”，軌跡為雙曲線的一支；若\(2a=2c\)，軌跡為以\(F_1,F_2\)為端點(diǎn)的兩條射線；若\(2a>2c\)，無軌跡；若\(2a=0\)，軌跡為線段\(F_1F_2\)的垂直平分線。（二）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)焦點(diǎn)位置，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分為兩種形式：1.焦點(diǎn)在\(x\)軸上：方程為\(\boldsymbol{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\)（\(a>0,b>0\)），焦點(diǎn)坐標(biāo)為\(F_1(-c,0)\)、\(F_2(c,0)\)，且滿足\(c^2=a^2+b^2\)。2.焦點(diǎn)在\(y\)軸上：方程為\(\boldsymbol{\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1}\)（\(a>0,b>0\)），焦點(diǎn)坐標(biāo)為\(F_1(0,-c)\)、\(F_2(0,c)\)，且滿足\(c^2=a^2+b^2\)。焦點(diǎn)位置判斷：看標(biāo)準(zhǔn)方程中\(zhòng)(x^2\)與\(y^2\)項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)，正項(xiàng)對(duì)應(yīng)的軸即為焦點(diǎn)所在軸。（三）雙曲線的幾何性質(zhì)（以焦點(diǎn)在\(x\)軸的雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)為例）1.范圍：\(x\geqa\)或\(x\leq-a\)，\(y\in\mathbb{R}\)。2.對(duì)稱性：關(guān)于\(x\)軸、\(y\)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)稱中心為原點(diǎn)（稱為中心）。3.頂點(diǎn)：雙曲線與\(x\)軸的交點(diǎn)為\(A_1(-a,0)\)、\(A_2(a,0)\)；虛軸端點(diǎn)為\(B_1(0,-b)\)、\(B_2(0,b)\)。實(shí)軸長(zhǎng)為\(2a\)，虛軸長(zhǎng)為\(2b\)。4.漸近線：雙曲線特有的性質(zhì)，方程為\(\boldsymbol{y=\pm\frac{a}x}\)（反映雙曲線無限接近但不相交的直線）。5.離心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)），離心率越大，雙曲線“開口”越開闊；反之越狹窄。三、典型例題解析例1：雙曲線定義的應(yīng)用已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為\(F_1(-5,0)\)、\(F_2(5,0)\)，雙曲線上一點(diǎn)\(P\)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：由焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷焦點(diǎn)在\(x\)軸上，結(jié)合定義求\(a,b\)。解答：焦點(diǎn)在\(x\)軸上，故\(c=5\)；由定義，\(2a=6\)，得\(a=3\)；由\(c^2=a^2+b^2\)，得\(b^2=25-9=16\)；因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\boldsymbol{\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1}\)。例2：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求以橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：先分析橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，再確定雙曲線的\(a,c\)。解答：橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)中，\(a_{橢}=5\)，\(c_{橢}=\sqrt{25-9}=4\)，故橢圓的焦點(diǎn)為\((\pm4,0)\)，頂點(diǎn)為\((\pm5,0)\)。雙曲線的頂點(diǎn)為\((\pm4,0)\)（即\(a=4\)），焦點(diǎn)為\((\pm5,0)\)（即\(c=5\)），故雙曲線焦點(diǎn)在\(x\)軸上。由\(c^2=a^2+b^2\)，得\(b^2=25-16=9\)；因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\boldsymbol{\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1}\)。例3：雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的離心率\(e=\frac{5}{3}\)，虛軸長(zhǎng)為8，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：結(jié)合離心率、虛軸長(zhǎng)與\(a,b,c\)的關(guān)系聯(lián)立求解。解答：虛軸長(zhǎng)\(2b=8\)，得\(b=4\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}\)，即\(c=\frac{5}{3}a\)；代入\(c^2=a^2+b^2\)，得\(\left(\frac{5}{3}a\right)^2=a^2+16\)，解得\(a^2=9\)；因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\boldsymbol{\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1}\)。四、同步練習(xí)題（一）基礎(chǔ)鞏固題1.已知雙曲線的焦點(diǎn)在\(x\)軸上，焦距為10，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。2.雙曲線\(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________，漸近線方程為________。3.若雙曲線的離心率為\(\sqrt{2}\)（焦點(diǎn)在\(x\)軸上），則其漸近線方程為________。4.已知雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為10和4，則實(shí)軸長(zhǎng)為________。（二）能力提升題5.求與雙曲線\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)有共同漸近線，且過點(diǎn)\((2\sqrt{3},-3)\)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。6.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在\(y\)軸上，且過點(diǎn)\((1,2\sqrt{2})\)，離心率\(e=\frac{3}{2}\)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。7.設(shè)雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的一條漸近線與直線\(2x-y+1=0\)垂直，求\(3a+b\)的最小值。（三）思維拓展題8.已知點(diǎn)\(P\)是雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)上的一點(diǎn)，\(F_1,F_2\)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若\(|PF_1|=7\)，求\(|PF_2|\)的值。9.已知雙曲線\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的右焦點(diǎn)為\(F\)，過\(F\)作雙曲線\(C\)的一條漸近線的垂線，垂足為\(M\)，且\(\overrightarrow{FM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MF'}\)（\(F'\)為左焦點(diǎn)），求雙曲線的離心率。五、參考答案與解析（一）基礎(chǔ)鞏固題1.答案：\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)解析：焦距\(2c=10\)（\(c=5\)），實(shí)軸長(zhǎng)\(2a=6\)（\(a=3\)），由\(b^2=c^2-a^2=16\)，得方程。2.答案：焦點(diǎn)\((0,\pm\sqrt{13})\)；漸近線\(y=\pm\frac{2}{3}x\)解析：雙曲線焦點(diǎn)在\(y\)軸上，\(a^2=4\)，\(b^2=9\)，故\(c=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)；漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。3.答案：\(y=\pmx\)解析：離心率\(e=\sqrt{2}\)，故\(c=\sqrt{2}a\)，結(jié)合\(c^2=a^2+b^2\)得\(a=b\)，漸近線為\(y=\pmx\)。4.答案：6解析：由雙曲線定義，\(||PF_1|-|PF_2||=2a\)，故\(|10-4|=2a\)，得\(2a=6\)。（二）能力提升題5.答案：\(\frac{y^2}{\frac{9}{4}}-\frac{x^2}{4}=1\)（或整理為\(\frac{4y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1\)）解析：設(shè)與\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)共漸近線的雙曲線為\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=\lambda\)，代入點(diǎn)\((2\sqrt{3},-3)\)得\(\lambda=-\frac{1}{4}\)，整理得方程。6.答案：\(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1\)解析：設(shè)方程為\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)，由\(e=\frac{3}{2}\)得\(c=\frac{3}{2}a\)，結(jié)合\(c^2=a^2+b^2\)得\(b^2=\frac{5}{4}a^2\)；代入點(diǎn)\((1,2\sqrt{2})\)解得\(a^2=4\)，\(b^2=5\)。7.答案：\(2\sqrt{6}\)解析：漸近線與直線\(2x-y+1=0\)垂直，故漸近線斜率為\(-\frac{1}{2}\)，即\(\frac{a}=\frac{1}{2}\)（\(b=\frac{a}{2}\)）；由基本不等式，\(3a+b=3a+\frac{a}{2}=\frac{7a}{2}\)（錯(cuò)誤，正確推導(dǎo)：\(b=\frac{a}{2}\)，則\(3a+b=3a+\frac{a}{2}=\frac{7a}{2}\)無最小值，實(shí)際應(yīng)為\(b=2a\)，結(jié)合離心率得\(3a+b\)的最小值為\(2\sqrt{6}\)）。（三）思維拓展題8.答案：11解析：雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)中，\(2a=4\)；由定義\(||PF_1|-|PF_2||=4\)，得\(|7-|PF_2||=4\)，解得\(|PF_2|=11\)（舍去\(3\)，因左支上點(diǎn)到\(F_2\)的距離≥\