定積分的應(yīng)用考試題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.由曲線\(y=x^2\)，\(x=1\)，\(x=2\)及\(x\)軸所圍成圖形的面積為（）A.\(\frac{7}{3}\)B.\(\frac{8}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{4}{3}\)2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)（）A.不相等B.相等C.僅當(dāng)\(a=b\)時(shí)相等D.不確定3.定積分\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(-1\)4.由\(y=\sinx\)，\(x=0\)，\(x=\pi\)及\(x\)軸所圍成圖形繞\(x\)軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A.\(\frac{\pi^2}{2}\)B.\(\pi^2\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\pi\)5.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=（）\)A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(F'(b)-F'(a)\)D.\(F'(a)-F'(b)\)6.曲線\(y=e^x\)在\([0,1]\)上與\(x\)軸、\(x=0\)、\(x=1\)所圍成圖形的面積為（）A.\(e\)B.\(e-1\)C.\(1-e\)D.\(e+1\)7.定積分\(\int_{0}^{2}|x-1|dx\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(-1\)8.已知\(f(x)\)在\([-a,a]\)上連續(xù)且為偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=（）\)A.\(0\)B.\(2\int_{0}^{a}f(x)dx\)C.\(\int_{0}^{a}f(x)dx\)D.\(-2\int_{0}^{a}f(x)dx\)9.由\(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\)所圍成圖形繞\(y\)軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)D.\(\frac{2\pi}{3}\)10.若\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則（）A.\(f(x)=0\)B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)C.不一定有\(zhòng)(f(x)=0\)D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上不連續(xù)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪些函數(shù)在\([a,b]\)上可積（）A.連續(xù)函數(shù)B.有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)C.單調(diào)有界函數(shù)D.無界函數(shù)2.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx=\int_{a}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)）3.計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積可以使用的方法有（）A.圓盤法B.圓柱殼法C.梯形法D.辛普森法4.下列積分值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^5dx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^4dx\)D.\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx\)5.由曲線\(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)（\(f(x)\geqg(x)\)），\(x=a\)，\(x=b\)所圍成圖形的面積表示為（）A.\(\int_{a}^[f(x)-g(x)]dx\)B.\(\int_{a}^[g(x)-f(x)]dx\)C.\(\int_{a}^|f(x)-g(x)|dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx-\int_{a}^g(x)dx\)6.關(guān)于定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)，以下說法正確的是（）A.與積分變量的選取無關(guān)B.只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)C.當(dāng)\(a=b\)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx=0\)D.當(dāng)\(f(x)\geq0\)時(shí)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示\(f(x)\)與\(x\)軸、\(x=a\)、\(x=b\)所圍成圖形的面積7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則（）A.\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上可積B.\(f^2(x)\)在\([a,b]\)上可積C.\(\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)）在\([a,b]\)上可積D.\(f(x)g(x)\)（\(g(x)\)在\([a,b]\)上可積）在\([a,b]\)上可積8.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\)，可以用到的方法有（）A.利用定積分的幾何意義B.換元法C.分部積分法D.牛頓-萊布尼茨公式9.由\(y=x^2\)，\(y=1\)所圍成圖形的面積計(jì)算正確的是（）A.\(2\int_{0}^{1}(1-x^2)dx\)B.\(\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx\)C.\(\int_{-1}^{1}(x^2-1)dx\)D.\(2\int_{0}^{1}(x^2-1)dx\)10.定積分\(\int_{0}^{2\pi}\sin^2xdx\)的值為（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos2x}{2}dx\)D.\(\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2x}{2}dx\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積。（）2.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)和積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)。（）3.函數(shù)\(f(x)\)為奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）4.由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成圖形的面積一定是\(\int_{a}^f(x)dx\)。（）5.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_^{a}f(x)dx\)相等。（）6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)在\([a,b]\)上可導(dǎo)，且\(F'(x)=f(x)\)。（）7.用圓盤法求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，要求旋轉(zhuǎn)軸與圖形的邊界垂直。（）8.定積分\(\int_{0}^{1}e^{-x}dx\)的值小于\(1\)。（）9.若\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^g(x)dx\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）10.計(jì)算曲線\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上的弧長(zhǎng)公式為\(L=\int_{a}^\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述定積分的幾何意義。答案：若\(f(x)\geq0\)，\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積；若\(f(x)\)有正有負(fù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)表示\(x\)軸上方圖形面積減去\(x\)軸下方圖形面積。2.說明牛頓-萊布尼茨公式及其意義。答案：若\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。它把定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)值的差，大大簡(jiǎn)化了定積分計(jì)算。3.用定積分求平面圖形面積的一般步驟是什么？答案：第一步，畫出圖形，確定圖形范圍；第二步，確定積分變量與積分區(qū)間；第三步，確定被積函數(shù)（通常是兩曲線縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值）；第四步，計(jì)算定積分得出面積。4.簡(jiǎn)述利用定積分求旋轉(zhuǎn)體體積的兩種常見方法（圓盤法和圓柱殼法）的適用情況。答案：圓盤法適用于旋轉(zhuǎn)體是由平面圖形繞某軸旋轉(zhuǎn)，且垂直于旋轉(zhuǎn)軸的截面為圓或圓環(huán)的情況；圓柱殼法適用于旋轉(zhuǎn)體是由平面圖形繞某軸旋轉(zhuǎn)，且平行于旋轉(zhuǎn)軸的“柱殼”體積易表示的情況。五、討論題（每題5分，共20分）1.在實(shí)際問題中，如何判斷使用定積分來求解相關(guān)量？并舉例說明。答案：當(dāng)所求量滿足可加性，且在局部上可近似看作均勻變化時(shí)可用定積分。如求變速直線運(yùn)動(dòng)路程，速度隨時(shí)間變化，將時(shí)間細(xì)分，每小段近似勻速，路程可近似用速度乘時(shí)間表示，累加取極限得定積分。2.定積分與不定積分有哪些聯(lián)系和區(qū)別？答案：聯(lián)系：不定積分是求原函數(shù)的全體，定積分計(jì)算借助原函數(shù)（牛頓-萊布尼茨公式）。區(qū)別：不定積分是函數(shù)族，定積分是一個(gè)數(shù)值；不定積分側(cè)重于求原函數(shù)方法，定積分用于計(jì)算平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積等實(shí)際問題。3.討論在計(jì)算定積分時(shí)，換元法和分部積分法的應(yīng)用技巧及注意事項(xiàng)。答案：換元法技巧：根據(jù)被積函數(shù)形式選合適換元，注意換元后積分限變化。分部積分法技巧：合理選\(u\)和\(dv\)，\(u\)求導(dǎo)簡(jiǎn)單，\(dv\)易積分。注意事項(xiàng)：換元要回代，分部積分可能多次使用，注意符號(hào)和計(jì)算順序。4.舉例說明定積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用。答案：如求總收益，已知邊際收益函數(shù)\(MR(x)\)，\(x\)為產(chǎn)量。由于總收益變化量可近似為邊際收益乘產(chǎn)量增量，從\(0\)到\(Q\)累加取極限得總收益\(TR=