4.3.1角1.理解角的概念，掌握角的表示方法.2.會比較角的大小，認識角的常用度量單位，并能進行簡單的換算，會計算角的和與差.3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，4.了解余角和補角的概念，掌握余角和補角的性質，并能應用這些性質解決相關問題.知識點一角的概念及表示方法1.角的概念(1)(靜態(tài))有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.(2)(動態(tài))角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，旋轉開始時的射線叫做角的始邊，終止時的射線叫做角的終邊.注意：1.“公共端點(頂點)”和“兩條射線(邊)”這兩個條件缺一不可.2.平角和周角都是角，而不是“線”,不能說“平角是直線”或“直線是平角”,也不能說“周角是射線，射線是周角”.即學即練下列說法：①兩條射線所組成的圖形叫做角；②一條射線旋轉而成的圖形叫做角；③兩邊成一直線的角是平角；④平角是一條直線.其中正確的個數是()A.1B.2C.3D.42.角的表示方法圖形記法說明用三個大寫字母表示，左圖的角記作∠AOC字母O表示頂點，要寫在中間，A,C表示角的兩邊上的點，用該表示法可以表示任何一個角用一個大寫字母表示，左圖的角記作∠O當以某一個字母表示的頂點的角只有一個時，可用這個頂點的字母來表示角用數字1,2,3,…表示，或用小寫希臘字母α,β,…表示，∠AOB可記作∠1,∠BOC可記作∠2,∠DOC可記作∠α要在靠近角的頂點處加上弧線，該表示法形象直觀，只方便表示單獨的角，不方便表示含有角的角注意：(1)用三個大寫字母可表示任一角(頂點字母寫中間);(2)用一個大寫字母表示獨立角(必須用頂點字母);(3)用數字或希臘字母表示單獨角(頂點處必須畫弧線，并標上數字或希臘字母).(4)在表示角時，同一個角可能有多種表示方法，一般選取較簡單的表示方法.知識點二角度制及換算1.角的度量單位把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°;把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1';把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1".2.角度制的概念以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.3.角度制的換算1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".注意：角的大小與邊的長短無關，因為角的兩邊是射線，不可以度量.角的大小只與構成角的兩邊張開的大小有關.角既可以度量，也可以比較大小，還可以參與運算.4.角的度量單位之間的關系:，，.，，題型1角的概念理解例1（2025上·湖南衡陽·七年級?？茧A段練習）下列說法正確的是（

）A．由兩條射線組成的圖形叫做角 B．多項式是三次三項式C．八棱錐有9個面 D．“a與的和的3倍”表示為舉一反三1（2025上·廣東佛山·七年級校考期中）下列說法不正確的是（

）A．直角周角 B．周角平角C．角的兩邊越長角就越大 D．經過兩點有且只有一條直線舉一反三2（2024上·黑龍江大慶·六年級?？计谀┯梅糯?倍的放大鏡看的角，看到的角的度數是（

）A． B． C． D．不確定舉一反三3（2025上·吉林松原·七年級校聯(lián)考期末）在的內部引一條射線，圖中共有3個角；若引兩條射線，圖中共有6個角；若引n條射線，圖中共有個角．題型2角的表示方法例2（2025上·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）下列圖形中，能用和表示同一個角的是（

）A．

B．

C．

D．

舉一反三1（2025上·全國·七年級專題練習）如圖所示，回答下列問題：

(1)寫出能用一個字母表示的角：；(2)寫出以點B為頂點的角；(3)圖中共有個小于平角的角．舉一反三2如圖所示，回答下列問題：(1)寫出能用一個字母表示的角：________________；(2)寫出以點B為頂點的角________________；(3)圖中共有______________個小于平角的角．題型3角的分類例3（2024上·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）在一副七巧板中，有我們學過的（

）A．8個銳角，6個直角，2個鈍角 B．12個銳角，9個直角，2個鈍角C．8個銳角，10個直角，2個鈍角 D．6個銳角，8個直角，2個鈍角舉一反三1（2025上·全國·七年級專題練習）下列說法中，正確的有個①小于的角是銳角；②等于的角是直角；③大于的角是鈍角；④平角等于；⑤周角等于．舉一反三2（2025上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考階段練習）因為鈍角大于，所以大于的角就是鈍角．題型4畫特殊角例4（2024上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）用一副三角板不能畫出的角是（

）．A．75° B．105° C．110° D．135°舉一反三1（2024上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）畫圖，說理題如圖，已知四個點A、B、C、D；(1)畫射線；(2)畫線段；(3)畫；(4)畫出一點P，使P到點A、B、C、D的距離之和最小，并說明理由．舉一反三2（2024上·安徽宣城·七年級統(tǒng)考期末）（1）請在給定的圖中按照要求畫圖：①畫射線AB；②畫平角∠BAD；③連接AC．（2）點B、C分別表示兩個村莊，它們之間要鋪設燃氣管道．若節(jié)省管道，則沿著線段BC鋪設．這樣做的數學依據是：．舉一反三3（2024上·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，按下列要求畫圖．（1）在的內部畫射線；（2）畫，使在的內部；（3）在完成（1）、（2）后，圖中共______個角，并寫角的名稱．題型5鐘面角例5（2025上·陜西西安·七年級?？茧A段練習）鐘表上顯示的時刻是10點30分時，時針與分針所成的角是（

）A． B． C． D．舉一反三1（2025上·陜西西安·七年級?？茧A段練習）每天早上9點10分我們的“課間操分享”活動都會如約而至，此時時針與分針所夾的角為(

)A． B． C． D．舉一反三2（2025上·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）從2時整到3時35分，時針轉過的角度是（）A． B． C． D．舉一反三3（2025上·陜西西安·七年級?？茧A段練習）每天下午第一節(jié)課的時間是分，則時的分針與時針夾角是度．舉一反三4（2025上·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）“時鐘里的數學問題”：時鐘是我們日常生活中常用的生活用品，鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉，如圖1，表盤中1－12均勻分布，分針60分鐘轉動一周是，時針60分鐘移動一周的是，這樣，分針轉速為每分鐘轉6度，時針轉速為每分鐘轉度．【課題學習】三點二十分時，時針與分針所成角度多少度？解決這個問題，可以先考慮三點整，時針與分針所成角度為；從三點到三點二十分，我們可以先計算分針轉動的角度，，時針轉動的角度，，，三點二十分時，時針與分針所成角度是，【問題解決】(1)三點三十分時，時針與分針所成角度是______，三點四十分時，時針與分針所成角度是______；(2)如圖2，十二點鐘時，時針與分針重合，在十二點鐘到十三點鐘之間，小明發(fā)現存在著時針和分針垂直的情況，請求出具體的時刻：(3)當時針和分針所成角度為時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“美妙時刻”，如圖3，六點整就是一個美妙時刻，從0時到24時共______個美妙時刻．題型6方向角的表示例6（2024上·廣東湛江·七年級校考期末）如圖，是直角，則射線表示的方向是（

）A．南偏西 B．南偏東 C．北偏西 D．北偏東舉一反三1（2025上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校┮詫W校為觀測點，廣場在西偏北30°的方向上，如圖中正確的是（

）A．

B．

C．

D．

舉一反三2科技館在博物館的北偏西方向，那么博物館在科技館的（）方向．A．北偏西 B．南偏東 C．西偏北 D．東偏南舉一反三3（2025上·陜西西安·七年級西安市西光中學?？茧A段練習）如圖，在燈塔處觀測到輪船位于北偏西的方向，，那么輪船在燈塔的的方向上．舉一反三4（2025上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校└鶕D示信息回答問題．(1)龍龍從家出發(fā)，先向東偏（

）（

）方向走（

），到達體育館，接著從體育館向北偏（

）（

）方向走（

）到達娛樂場．(2)已知公園在龍龍家北偏東方向處，電影院在體育館北偏西方向處，請你在圖中標出公園和電影院的位置．題型7與方向角有關的計算題例7（2024上·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線的方向是北偏東20°，射線的方向是西北方向，則的度數是（

）

A． B． C． D．舉一反三1（2025上·北京西城·七年級北師大實驗中學?？茧A段練習）從點A出發(fā)沿北偏東方向可行至點B，從點A出發(fā)沿南偏西方向可行至點C，那么的度數為（

）A． B． C． D．舉一反三2（2025上·吉林長春·七年級長春市第八十七中學?？茧A段練習）如圖，一艘輪船行駛到處時，測得小島A、的方向分別為北偏西和西南方向，則的度數是（

）

A． B． C． D．舉一反三3（2025上·江蘇南通·七年級啟東市長江中學?？茧A段練習）如圖，甲沿北偏東方向前進，乙沿圖示方向前進，甲與乙前進方向的夾角為，則此時乙位于A地的．舉一反三4（2025上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校┮訟島為觀測點，B島在東偏方向，距A島，以B島為觀測點A島在偏方向，距B島．一、單選題1．（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．單項式的次數是2B．如果，那么C．連接兩點之間的線段，叫做這兩點之間的距離D．若點在點的北偏東方向上，點在點的西北方向上，則2．（2025上·西藏日喀則·七年級校考期末）為保障學生的睡眠時間，教育部規(guī)定，小學生上課時間不能早于．如圖，8點鐘時，分針與時針所夾的度數是（

）A． B． C． D．3．（2025上·吉林松原·七年級校聯(lián)考期末）下列說法正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫作角 B．延長直線至點CC．兩點之間直線最短 D．兩點確定一條直線4．（2024上·新疆省直轄縣級單位·七年級校考期末）下列說法：（1）兩條射線組成的圖形叫做角；（2）角的兩邊是兩條直線；（3）角的大小與我們畫出的角的兩邊的長短無關；（4）線段上有無數個點；（5）兩個銳角的和一定是鈍角，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2025上·重慶江北·七年級字水中學校考期末）如圖，下列表示不正確的是（）A． B．C． D．二、填空題6．（2024上·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）把一個的角放在倍的放大鏡下看，這個角是度．7．（2024上·廣東湛江·七年級?？计谀┤鐖D，某海域有三個小島A，B，O，在小島O處觀測小島A在它北偏東的方向上，小島B在它南偏東，則的度數是．

8．（2025上·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）甲看乙的方向為北偏東，那么乙看甲的方向是．9．（2024上·黑龍江綏化·六年級?？计谀┤绻珗@在廣場的東偏北方向上，距離是，那么廣場在公園的()方向上，距離是()．三、解答題10．（2025上·西藏日喀則·七年級?？计谀┳鲌D：如圖，平面上有四個點A，B，C，D．按下列要求在下圖中用三角板或直尺畫出圖形：(1)畫射線；(2)畫直線，與射線相交于點M；(3)畫；(4)連接，線段與線段交于點．11．（2024上·黑龍江雞西·六年級統(tǒng)考期末）（1）荷花池在噴泉的北偏東的方向上，這是以______為觀測點．（2）麗麗家在學校北偏東______方向，距離是．玲玲家在學校北偏西______方向，距離是．芳芳家在學校南偏______方向，距離是．12．（2025上·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）生活處處有數學，就看你是否有數學的眼光．同學們都見過機械手表吧，讓我們一起去探索其中隱含的數學知識．一塊手表如圖①所示，把它抽象成數學模型：如圖②，表帶的兩端用點A和點D表示，表盤與線段交于點B、C，O為表盤圓心．(1)若為4，，B是中點，則手表全長．(2)表盤上的點B對應數字“12”，點C對應數字“6”，為時針，為分針，8：30時表盤指針狀態(tài)如圖③所示，分針與重合．①度；②作射線，使，求此時的度數．(3)如圖④所示，F在下方，已知，從(分針與重合，仍為時針）開始，在一小時以內，經過多少分鐘后，射線、射線、射線中一條射線是另兩條射線組成的角的平分線．

4.3.1角1.理解角的概念，掌握角的表示方法.2.會比較角的大小，認識角的常用度量單位，并能進行簡單的換算，會計算角的和與差.3.理解角的平分線的概念，會用符號語言表示，4.了解余角和補角的概念，掌握余角和補角的性質，并能應用這些性質解決相關問題.知識點一角的概念及表示方法1.角的概念(1)(靜態(tài))有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.(2)(動態(tài))角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，旋轉開始時的射線叫做角的始邊，終止時的射線叫做角的終邊.注意：1.“公共端點(頂點)”和“兩條射線(邊)”這兩個條件缺一不可.2.平角和周角都是角，而不是“線”,不能說“平角是直線”或“直線是平角”,也不能說“周角是射線，射線是周角”.即學即練下列說法：①兩條射線所組成的圖形叫做角；②一條射線旋轉而成的圖形叫做角；③兩邊成一直線的角是平角；④平角是一條直線.其中正確的個數是()A.1B.2C.3D.4解析：由于①和②沒有說明兩條射線是否有公共端點，缺少組成角的要素，因而都是錯的；③正確；④錯，因為平角是角，它具有角的頂點、角的兩邊，直線很顯然不具備這些.答案：A2.角的表示方法圖形記法說明用三個大寫字母表示，左圖的角記作∠AOC字母O表示頂點，要寫在中間，A,C表示角的兩邊上的點，用該表示法可以表示任何一個角用一個大寫字母表示，左圖的角記作∠O當以某一個字母表示的頂點的角只有一個時，可用這個頂點的字母來表示角用數字1,2,3,…表示，或用小寫希臘字母α,β,…表示，∠AOB可記作∠1,∠BOC可記作∠2,∠DOC可記作∠α要在靠近角的頂點處加上弧線，該表示法形象直觀，只方便表示單獨的角，不方便表示含有角的角注意：(1)用三個大寫字母可表示任一角(頂點字母寫中間);(2)用一個大寫字母表示獨立角(必須用頂點字母);(3)用數字或希臘字母表示單獨角(頂點處必須畫弧線，并標上數字或希臘字母).(4)在表示角時，同一個角可能有多種表示方法，一般選取較簡單的表示方法.知識點二角度制及換算1.角的度量單位把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°;把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1';把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1".2.角度制的概念以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.3.角度制的換算1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".注意：角的大小與邊的長短無關，因為角的兩邊是射線，不可以度量.角的大小只與構成角的兩邊張開的大小有關.角既可以度量，也可以比較大小，還可以參與運算.4.角的度量單位之間的關系:，，.，，題型1角的概念理解例1（2025上·湖南衡陽·七年級?？茧A段練習）下列說法正確的是（

）A．由兩條射線組成的圖形叫做角 B．多項式是三次三項式C．八棱錐有9個面 D．“a與的和的3倍”表示為【答案】C【分析】本題考查了角的定義、列代數式、棱錐的面和多項式的相關定義，屬于基礎性題目，比較簡單．【詳解】解：A．具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故A錯誤；B．多項式是四次三項式，故B錯誤；C．八棱錐有9個面，故C正確；D．“a與的和的3倍”表示為，故D錯誤．故選：C．舉一反三1（2025上·廣東佛山·七年級?？计谥校┫铝姓f法不正確的是（

）A．直角周角 B．周角平角C．角的兩邊越長角就越大 D．經過兩點有且只有一條直線【答案】C【分析】本題考查了角的概念，周角，平角，直角的定義，確定直線的條件，熟練掌握相關概念是解答本題的關鍵．根據直角，周角，平角，確定直線的條件，分析每一個選項，只有不正確，由此選出答案．【詳解】解：根據題意得：選項中，直角，周角，此選項說法正確，故不符合題意；選項中，周角，平角，此選項說法正確，故不符合題意；選項中，角的大小與角的兩邊長度無關，此選項說法不正確，故符合題意；選項中，經過兩點有且只有一條直線，此選項說法正確，故不符合題意．故選：．舉一反三2（2024上·黑龍江大慶·六年級?？计谀┯梅糯?倍的放大鏡看的角，看到的角的度數是（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】角的大小和邊的長短無關，與角張開的角度的大小有關，而放大鏡看到的角，放大的只是角的邊，所以，無論用多少倍的放大鏡看角，角的大小都不變，可據此解題．【詳解】解：由題意得用放大10倍的放大鏡看的角，看到的度數是．故選：A【點睛】解析此題考查的是角的大小的比較，角的大小的比較，不是比較邊的長短，而是比較角的張開的角度的大小．舉一反三3（2025上·吉林松原·七年級校聯(lián)考期末）在的內部引一條射線，圖中共有3個角；若引兩條射線，圖中共有6個角；若引n條射線，圖中共有個角．【答案】【分析】本題主要考查圖形變化類的規(guī)律題，每兩條射線組成一個角，一條射線與其他射線都能組成一個角，當引出n條射線時，此時共有條射線，其中每一條射線與剩余條射線都組成一個角，可組成個角，條射線可組成的角個角，但每個角都算了兩次，則引出n條射線能組成個角．【詳解】解：在的內部引一條射線，圖中共有個角；若引兩條射線，圖中共有個角；…若引n條射線，圖中共有個角；故答案是：．題型2角的表示方法例2（2025上·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）下列圖形中，能用和表示同一個角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了角的概念，熟記角的表示方法是解題關鍵．在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個大寫字母來記這個角．【詳解】解：A、因為頂點O處只有一個角，所以這個角能用和，符合題意；B、因為頂點O處不止一個角，所以這里的所有角均不能用表示，不符合題意；C、因為頂點O處不止一個角，所以這里的所有角均不能用表示，不符合題意；D、因為頂點O處不止一個角，所以這里的所有角均不能用表示，不符合題意；故選A．舉一反三1（2025上·全國·七年級專題練習）如圖所示，回答下列問題：

(1)寫出能用一個字母表示的角：；(2)寫出以點B為頂點的角；(3)圖中共有個小于平角的角．【答案】【分析】本題考查的是角的表示方法．（1）確定以這個字母為頂點的角只有1個，從而可得答案；（2）根據角的定義分別確定以B為頂點的角即可；（3）分別確定以，，，為頂點的小于平角的角即可．【詳解】（1）解：能用一個字母表示的角有：．故答案為：．（2）以為頂點的角有：．故答案為：．（3）圖中共有7個小于平角的角，分別是：，，，，，，，共個．故答案為：7．舉一反三2如圖所示，回答下列問題：(1)寫出能用一個字母表示的角：________________；(2)寫出以點B為頂點的角________________；(3)圖中共有______________個小于平角的角．【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）確定以這個字母為頂點的角只有1個，從而可得答案；（2）根據角的定義分別確定以B為頂點的角即可；（3）分別確定以A，B，C，E為頂點的小于平角的角即可．【詳解】（1）解：能用一個字母表示的角有：，．故答案為：，．（2）以為頂點的角有：，，．故答案為：，，．（3）圖中共有7個小于平角的角，分別是：，，，，，，．故答案為：7．【點睛】本題考查的是角的表示方法，熟記角的含義與角的表示方法是解本題的關鍵．題型3角的分類例3（2024上·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）在一副七巧板中，有我們學過的（

）A．8個銳角，6個直角，2個鈍角 B．12個銳角，9個直角，2個鈍角C．8個銳角，10個直角，2個鈍角 D．6個銳角，8個直角，2個鈍角【答案】B【分析】根據一副七巧板圖形，查出銳角，直角和鈍角的個數即可．【詳解】5個等腰直角三角形，5個直角，10個銳角，1個正方形，4個直角，1個平行四邊形，2個鈍角，2個銳角，在一副七巧板中根據12個銳角，9個直角，2個鈍角．故選擇B．【點睛】本題考查角的分類，平面圖形，掌握角的分類，平面圖形是解題關鍵．舉一反三1（2025上·全國·七年級專題練習）下列說法中，正確的有個①小于的角是銳角；②等于的角是直角；③大于的角是鈍角；④平角等于；⑤周角等于．【答案】3【分析】本題主要考查了銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義，屬于基礎題.掌握銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義是解答本題的關鍵．實際解答時，要學會舉反例．【詳解】①小于的角也可能是，不一定是銳角，原說法錯誤；②等于的角是直角，說法正確；③平角大于但不是鈍角，原說法錯誤；④平角等于，說法正確；⑤周角等于，說法正確，故正確的有3個，故答案為：3．舉一反三2（2025上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考階段練習）因為鈍角大于，所以大于的角就是鈍角．【答案】【分析】根據鈍角的范圍即可作出判斷．【詳解】解：∵鈍角的度數范圍是大于且小于，∴原題說法錯誤，故答案為：【點睛】此題考查了鈍角，熟練掌握鈍角的度數范圍是解題的關鍵．題型4畫特殊角例4（2024上·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）用一副三角板不能畫出的角是（

）．A．75° B．105° C．110° D．135°【答案】C【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫；110°角用一副三角板不能畫出．【詳解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；110°角用一副三角板不能畫出；135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫。故選：C．【點睛】本題考查了利用一副三角板畫出的特殊角，找出規(guī)律是解決此類題的最好方法，應讓學生記住凡是能用一副三角板畫出的角的度數都是15°的整數倍．舉一反三1（2024上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）畫圖，說理題如圖，已知四個點A、B、C、D；(1)畫射線；(2)畫線段；(3)畫；(4)畫出一點P，使P到點A、B、C、D的距離之和最小，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）過畫射線即可．（2）連接B和C即可．（3）分別以C為頂點畫射線、即可．（4）連接，與的交點就是P點位置，根據線段的性質：兩點之間，線段距離最短；結合題意，要使它與四個村莊的距離之和最小，就要使他在與的交點處．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）如圖所示；（3）如圖所示；（4）P點即為所求，根據線段的性質：兩點之間，線段距離最短；結合題意，要使它與四個村莊的距離之和最小，就要使他在與的交點處．【點睛】本題考查了射線，線段的性質：兩點之間，線段距離最短．要求學生能靈活應用所學的知識，解決實際問題．舉一反三2（2024上·安徽宣城·七年級統(tǒng)考期末）（1）請在給定的圖中按照要求畫圖：①畫射線AB；②畫平角∠BAD；③連接AC．（2）點B、C分別表示兩個村莊，它們之間要鋪設燃氣管道．若節(jié)省管道，則沿著線段BC鋪設．這樣做的數學依據是：．【答案】（1）①見解析；②見解析；③見解析；（2）兩點之間，線段最短【分析】（1）①根據射線的定義，作出圖形即可；②根據平角的定義，作出圖形即可；③根據線段的定義，作出圖形即可；（2）根據兩點之間線段最短解決問題．【詳解】解：（1）①如圖，射線AB即為所求；②如圖，∠BAD即為所求；③如圖，線段AC即為所求；（2）沿著線段BC鋪設．這樣做的數學依據是：兩點之間線段最短．【點睛】本題主要考查了直線，射線，平角的定義，線段的基本事實，熟練掌握直線是兩端都沒有端點、可以向兩端無限延伸、不可測量長度的線；射線是只有一個端點，它從一個端點向另一邊無限延長不可測量長度的線；直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段；兩點之間線段最短是解題的關鍵．舉一反三3（2024上·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，按下列要求畫圖．（1）在的內部畫射線；（2）畫，使在的內部；（3）在完成（1）、（2）后，圖中共______個角，并寫角的名稱．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6；、、、、、【分析】（1）根據射線的定義即可作圖OP；（2）根據角的定義即可作圖；（3）根據角的定義，有公共端點的兩條射線組成的圖形即可求解．【詳解】解：（1）如圖，射線為所作；（2）如圖，為所作；（3）圖中共有6個角，它們?yōu)?，，，，，．【點睛】此題主要考查角的定義及作圖，解題的關鍵是熟知角的構成及定義．題型5鐘面角例5（2025上·陜西西安·七年級?？茧A段練習）鐘表上顯示的時刻是10點30分時，時針與分針所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了鐘面角．根據時鐘上一大格是進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴鐘表10點30分時，時針與分針所成的角是：，故選：C．舉一反三1（2025上·陜西西安·七年級校考階段練習）每天早上9點10分我們的“課間操分享”活動都會如約而至，此時時針與分針所夾的角為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了鐘面角，根據先求出時針指向9，分針指向2時的度數，再減去時針從9點到9點分的過程中，實際轉動的角度可得答案，掌握時針和分針每分鐘走過的角度是解題關鍵．【詳解】解：畫出鐘面圖，如下：若時針指向9，分針指向2時的度數為：，但實際上從9點到9點分時，時針繞鐘表中心旋轉的度數為，故鐘面上時針和分針的夾角為，故選：B．舉一反三2（2025上·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）從2時整到3時35分，時針轉過的角度是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查鐘表分針所轉過的角度計算．因為鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是，從2點到3時35分，時針轉過了份，再計算度數．【詳解】解：∵從2點到3時35（分），時針轉過了大格，∴轉過的角度是．故選：C．舉一反三3（2025上·陜西西安·七年級?？茧A段練習）每天下午第一節(jié)課的時間是分，則時的分針與時針夾角是度．【答案】【分析】本題主要考查了鐘面角，根據鐘面的特點可知時分針指向數字3，時針在數字2和3之間且走了大格，再求出一大格的度數即可得到答案．【詳解】解：∵時分針指向數字3，時針在數字2和3之間且走了大格，∴此時分針與時夾角是，故答案為：．舉一反三4（2025上·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）“時鐘里的數學問題”：時鐘是我們日常生活中常用的生活用品，鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉，如圖1，表盤中1－12均勻分布，分針60分鐘轉動一周是，時針60分鐘移動一周的是，這樣，分針轉速為每分鐘轉6度，時針轉速為每分鐘轉度．【課題學習】三點二十分時，時針與分針所成角度多少度？解決這個問題，可以先考慮三點整，時針與分針所成角度為；從三點到三點二十分，我們可以先計算分針轉動的角度，，時針轉動的角度，，，三點二十分時，時針與分針所成角度是，【問題解決】(1)三點三十分時，時針與分針所成角度是______，三點四十分時，時針與分針所成角度是______；(2)如圖2，十二點鐘時，時針與分針重合，在十二點鐘到十三點鐘之間，小明發(fā)現存在著時針和分針垂直的情況，請求出具體的時刻：(3)當時針和分針所成角度為時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“美妙時刻”，如圖3，六點整就是一個美妙時刻，從0時到24時共______個美妙時刻．【答案】(1)75；130(2)在或時，時針與分針垂直(3)22【分析】本題考查了鐘面角的計算、一元一次方程的應用：（1）先求出從三點開始分針旋轉的角度，再求出時針旋轉的角度，利用最終差值公式即可求解；（2）設從十二點開始過了分鐘時針與分針垂直，最終差值可以是或，分類討論：當最終差值為時，當最終差值為時，利用最終差值公式即可求解；（3）再次到達美妙時刻時，相當于分針比時針多旋轉一周，時針每分鐘旋轉，分針每分鐘旋轉，則時針每分鐘少旋轉，則可求得下一個美妙時刻所經過的時間為分，再利用一天的時間除以下一個美妙時刻所經過的時間即可求解；熟練掌握題干中鐘面角的最終差值的計算方法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：三點整時，時針與分針所成的角為，從三點到三點三十分，分針所轉的角度是，時針所轉的角度為，三點三十分時，時針與分針所成角度是，三點到三點四十分時，分針所轉的角度是，時針所轉的角度為，三點三十分時，時針與分針所成角度是，故答案為：75；130．（2）設從十二點開始過了分鐘時針與分針垂直，由題意得：分針旋轉角度（初始角度時針旋轉角度）最終差值，當時針與分針垂直時，最終差值可以是或，當最終差值為時，，解得：，當最終差值為時，，解得：，綜上所述，在或時，時針與分針垂直．（3）再次到達美妙時刻時，相當于分針比時針多旋轉一周，時針每分鐘旋轉，分針每分鐘旋轉，則時針每分鐘少旋轉，到達下一個美妙時刻需要的時間為分，一天有分鐘，，即一天有22個美妙時刻，故答案為：22．題型6方向角的表示例6（2024上·廣東湛江·七年級?？计谀┤鐖D，是直角，則射線表示的方向是（

）A．南偏西 B．南偏東 C．北偏西 D．北偏東【答案】B【分析】本題考查了方向角．熟練掌握角度之間的數量關系是解題的關鍵．如圖，由題意知，，然后判斷作答即可．【詳解】解：如圖，由題意知，，∴射線表示的方向是南偏東，故選：B．舉一反三1（2025上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校┮詫W校為觀測點，廣場在西偏北30°的方向上，如圖中正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了方位角，根據方位角的定義即可求解，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．【詳解】解：以學校為觀測點，廣場在西偏北30°的方向上的是：故選C．舉一反三2科技館在博物館的北偏西方向，那么博物館在科技館的（）方向．A．北偏西 B．南偏東 C．西偏北 D．東偏南【答案】B【分析】方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）多少度．根據定義就可以解決．此題主要考查了方向角，描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．【詳解】解：科技館在博物館的北偏西方向，那么博物館在科技館的南偏東方向．故選：B．舉一反三3（2025上·陜西西安·七年級西安市西光中學校考階段練習）如圖，在燈塔處觀測到輪船位于北偏西的方向，，那么輪船在燈塔的的方向上．【答案】南偏東（或東偏南）【分析】本題考查了方向角，根據題意得，進而可得，根據方向角的表示方法即可求解，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．【詳解】解：如圖：依題意得：，，，，，則輪船在燈塔的南偏東或東偏南的方向上，故答案為：南偏東（或東偏南）．舉一反三4（2025上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校└鶕D示信息回答問題．(1)龍龍從家出發(fā)，先向東偏（

）（

）方向走（

），到達體育館，接著從體育館向北偏（

）（

）方向走（

）到達娛樂場．(2)已知公園在龍龍家北偏東方向處，電影院在體育館北偏西方向處，請你在圖中標出公園和電影院的位置．【答案】(1)南；30；600；東；25；400(2)見解析【分析】本題主要考查了方位角的實際應用，熟知方位角的定義是解題的關鍵．（1）根據體育館再龍龍家東偏南30度方向上且相距600米，娛樂場在體育館北偏東25度方向上且相距500米進行求解即可；（2）根據方位角的描述依據對應的距離作圖即可．【詳解】（1）解：由題意得，龍龍從家出發(fā)，先向東偏南方向走到達體育館，接著從體育館向北偏東方向走到達娛樂場，故答案為：南；30；600；東；25；400；（2）解：如圖所示，電影院和公園的位置即為所求．題型7與方向角有關的計算題例7（2024上·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線的方向是北偏東20°，射線的方向是西北方向，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了方向角的定義，解決本題的關鍵是計算出得度數．用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．根據方向角的定義，得到的度數，即可解答．【詳解】解：如圖，

∵射線的方向是西北方向，∴∵射線的方向是北偏東20°，∴即故選：C舉一反三1（2025上·北京西城·七年級北師大實驗中學?？茧A段練習）從點A出發(fā)沿北偏東方向可行至點B，從點A出發(fā)沿南偏西方向可行至點C，那么的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了方向角，根據方位角的概念，畫圖正確表示出行駛的過程，再根據已知轉向的角度結合角的關系求解．【詳解】解：如圖，北偏東方向即為東偏北，即，．故選：D．舉一反三2（2025上·吉林長春·七年級長春市第八十七中學?？茧A段練習）如圖，一艘輪船行駛到處時，測得小島A、的方向分別為北偏西和西南方向，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了方位角和角的和差計算，正確得出是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意可得：，∴；故選：A.

舉一反三3（2025上·江蘇南通·七年級啟東市長江中學?？茧A段練習）如圖，甲沿北偏東方向前進，乙沿圖示方向前進，甲與乙前進方向的夾角為，則此時乙位于A地的．【答案】南偏東【分析】本題考查了方位角，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．由題意可得，，即可得到乙的位置．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，，即乙位于A地的南偏東，故答案為：南偏東．舉一反三4（2025上·黑龍江綏化·六年級?？计谥校┮訟島為觀測點，B島在東偏方向，距A島，以B島為觀測點A島在偏方向，距B島．【答案】北30南西60270【分析】本題考查方位圖，掌握用方位表示位置的方法是解題的關鍵．【詳解】以A島為觀測點，B島在東偏北方向，距A島，以B島為觀測點A島在南偏西向，距B島，故答案為：北30，南，西60，270．一、單選題1．（2025上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．單項式的次數是2B．如果，那么C．連接兩點之間的線段，叫做這兩點之間的距離D．若點在點的北偏東方向上，點在點的西北方向上，則【答案】B【分析】單項式的次數：所有字母的指數和叫做它的次數；等式的性質：等式兩邊同時乘以或者除以同一個不為0的數，等式仍然成立；兩點之間的距離：連接兩點之間的線段長度，叫做這兩點之間的距離；方向角：西北方向指西偏北的方向．【詳解】解：．的次數是3，原表述錯誤．故本選項不符合題意；．如果，即，那么，符合等式的性質，故本選項符合題意；．連接兩點之間的線段長度，叫做這兩點之間的距離，原表述錯誤，故本選項不符合題意；．若點在點的北偏東方向上，點在點的西北方向上，則，原表述錯誤．故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了單項式的次數，等式的性質，兩點之間的距離以及方向角，關鍵是正確掌握這概念以及性質．2．（2025上·西藏日喀則·七年級?？计谀楸Ｕ蠈W生的睡眠時間，教育部規(guī)定，小學生上課時間不能早于．如圖，8點鐘時，分針與時針所夾的度數是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是鐘面角的大小，理解鐘面被等分成12份，每一份對應的圓心角為是解本題的關鍵，再根據時，分針指向12，時針指向8，從而可得答案．【詳解】解：∵鐘面被等分成12份，每一份對應的圓心角為，∵時，分針指向12，時針指向8，∴此時所成的角為．故選：D．3．（2025上·吉林松原·七年級校聯(lián)考期末）下列說法正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫作角 B．延長直線至點CC．兩點之間直線最短 D．兩點確定一條直線【答案】D【分析】題目主要考查直線、射線、線段的區(qū)別，直接根據直線、射線、線段的定義及區(qū)別即可得出答案．【詳解】解：A、兩條射線有公共頂點組成的圖形叫作角，選項錯誤，不符合題意；B、直線無端點，不能用延長直線敘述，選項錯誤，不符合題意；C、兩點之間線段最短，選項錯誤，不符合題意；D、兩點確定一條直線，選項正確，符合題意；故選：D．4．（2024上·新疆省直轄縣級單位·七年級?？计谀┫铝姓f法：（1）兩條射線組成的圖形叫做角；（2）角的兩邊是兩條直線；（3）角的大小與我們畫出的角的兩邊的長短無關；（4）線段上有無數個點；（5）兩個銳角的和一定是鈍角，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查線段、角的定義等知識，由兩條有公共端點的射線組成的圖形叫角，角的大小與角兩邊的長短無關，根據線段、角的定義等知識逐一進行判斷即可求解．是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．【詳解】解：（1）由兩條有公共端點的射線組成的圖形叫角，這兩條射線叫做角的邊，它們的公共端點叫做角的頂點，故（1）錯誤；（2）角的兩邊是兩條射線，故（2）錯誤；（3）角的大小與我們畫出的角的兩邊的長短無關，故（3）正確；（4）線段上有無數個點，故（4）正確；（5）和是兩個銳角，它們的和為：是銳角，故（5）錯誤，則其中正確的有個，故選B．5．（2025上·重慶江北·七年級字水中學校考期末）如圖，下列表示不正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了角的表示方法，以及角和線段的和差關系，關鍵是掌握角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究的表示哪個角．角還可以用一個希臘字母(如)表示，或用阿拉伯數字表示．看清題形，根據選項一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：A、看圖可知；B、；C、不正確，寫法不規(guī)范，應該是，D、看圖可知，．故選：C．二、填空題6．（2024上·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）把一個的角放在倍的放大鏡下看，這個角是度．【答案】20【分析】角在放大鏡下大小不變，據此解答．【詳解】解：把一個的角放在倍的放大鏡下看，這個角大小不變，還是，故答案為：20．【點睛】本題考查了角的概念，熟知角的特性是關鍵．7．（2024上·廣東湛江·七年級校考期末）如圖，某海域有三個小島A，B，O，在小島O處觀測小島A在它北偏東的方向上，小島B在它南偏東，則的度