1.4.2有理數(shù)的除法了解有理數(shù)除法的意義,理解有理數(shù)除法與乘法的互逆關(guān)系掌握有理數(shù)的除法法則,能運(yùn)用法則熟練地進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算以及四則混合運(yùn)算.通過(guò)利用有理數(shù)除法法則進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)程,體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)除法法則法則1：除以一個(gè)不等于0的數(shù),等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).用公式表示為（除數(shù)一定不能為0哦!）法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0.提示有理數(shù)除法沒(méi)有交換律、結(jié)合律,更沒(méi)有分配律.兩個(gè)數(shù)相除,若商是1,則這兩個(gè)數(shù)相等;若商是-1,則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).任何數(shù)除以1都得原數(shù);任何數(shù)除以-1都得原數(shù)的相反數(shù);除以一個(gè)非0數(shù)等于這個(gè)數(shù)的倒數(shù).有理數(shù)除法的兩個(gè)法則的如何選用？如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且能整除，一般選用法則(2)進(jìn)行計(jì)算,先確定商的符號(hào),再將兩數(shù)的絕對(duì)值相除.否則，一般選用法則(1)進(jìn)行計(jì)算,法則(1)是把除法轉(zhuǎn)化為乘法即學(xué)即練1計(jì)算：在進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí),首先確定商的符號(hào),然后將其絕對(duì)值相除或者將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算即學(xué)即練1化簡(jiǎn)下列分?jǐn)?shù)：?217；

（2）?54?8；

（3）?6?0.3（5）?(?2)?6；（6）|24|?(?8)；（7）?130.2；化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)要遵循“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”的符號(hào)法則,分子、分母、分?jǐn)?shù)線(xiàn)前,若有一個(gè)或兩個(gè)負(fù)號(hào),則負(fù)號(hào)可以移到三個(gè)位置的任何一個(gè),而分?jǐn)?shù)的值不變.知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)乘除的同級(jí)運(yùn)算有理數(shù)乘除同級(jí)運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后按照乘法法則,確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果注意：除法沒(méi)有運(yùn)算律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，才可以利用乘法的運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；有理數(shù)的乘除運(yùn)算是同級(jí)運(yùn)算,如果沒(méi)簡(jiǎn)便計(jì)算情況下，一般要按照從左到右的順序進(jìn)行.即學(xué)即練計(jì)算：(1)?22(2)?3216(3)?81÷2(4)17知識(shí)點(diǎn)三有理數(shù)的混合運(yùn)算1.有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算（1）混合運(yùn)算中，按照“先算乘除一級(jí),再算加減一級(jí)”的順序進(jìn)行；（2）有括號(hào)時(shí)，應(yīng)先算括號(hào)里面的.2.計(jì)算器的使用不同品牌的計(jì)算器操作方法可能有所不同，具體操作方法應(yīng)參考計(jì)算器的使用說(shuō)明,熟悉各功能鍵.另外,還要注意以下幾點(diǎn):(1)計(jì)算器要平穩(wěn)放置，以免按鍵時(shí)發(fā)生晃動(dòng)和滑動(dòng)；(2)計(jì)算開(kāi)始時(shí),要先按開(kāi)啟鍵;停止使用時(shí)要注意按關(guān)閉鍵；(3)確定按鍵順序后，按照算式從到右的順序直接輸入；(4)在輸入數(shù)據(jù)和算式時(shí),每次按鍵都要注意顯示器上是否顯示出了相應(yīng)的數(shù)字或運(yùn)算符號(hào)，以免因漏按或按不實(shí)而出現(xiàn)錯(cuò)誤；(5)每次運(yùn)算時(shí),要按一下清零鍵；(6)注意負(fù)數(shù)的輸入方式.即學(xué)即練1（2025秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：?48×1即學(xué)即練2（2025秋·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：?題型一有理數(shù)乘除的同級(jí)運(yùn)算例1（2025秋·吉林延邊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：45舉一反三1（2025秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)4?(2)42÷舉一反三2（2025秋·廣西賀州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(?1.25)×5題型二有理數(shù)除法的混合運(yùn)算例2（2025秋·廣東廣州·七年級(jí)校考期末）?3舉一反三1（2025秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)?？计谥校?6.5舉一反三2（2025秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算:18?16÷題型三有理數(shù)的除法簡(jiǎn)便運(yùn)算例3（2024秋·湖南郴州·七年級(jí)?？计谥校┖?jiǎn)便運(yùn)算：?1舉一反三1（2024秋·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)揭陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）用簡(jiǎn)便方法：?3舉一反三2（取倒數(shù)法）（2024秋·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）先計(jì)算，再閱讀材料，解決問(wèn)題：(1)計(jì)算：13(2)認(rèn)真閱讀材料，解決問(wèn)題：計(jì)算：130分析：利用通分計(jì)算23解：原式的倒數(shù)是：2==20?3+5?12=10．故130請(qǐng)你根據(jù)對(duì)所提供材料的理解，選擇合適的方法計(jì)算：128題型四有理數(shù)的除法與絕對(duì)值的綜合問(wèn)題例4請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，則a|a|=_______；當(dāng)b<0時(shí)，則(2)已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc<0，求b+c|a|+a+c(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時(shí)，求|a|a舉一反三1（2024秋·浙江金華·七年級(jí)期中）在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值過(guò)程中，化簡(jiǎn)a時(shí)，可以這樣分類(lèi)：當(dāng)a>0時(shí)，a=a；當(dāng)a=0時(shí)，a=0；當(dāng)a<0(1)當(dāng)a=3,a=?2時(shí)，分別求aa(2)已知a,b是有理數(shù)，當(dāng)ab>0時(shí)，試求aa(3)已知a,b,c是有理數(shù)，當(dāng)abc<0時(shí)，試求舉一反三2（2024秋·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為5．(1)直接寫(xiě)出a+b，cd，m的值；(2)求m2題型五有理數(shù)的除法實(shí)際問(wèn)題例5（2025春·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某網(wǎng)上購(gòu)物平臺(tái)促銷(xiāo)，蘋(píng)果2千克以上有優(yōu)惠（不含2千克），購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果所付金額（元）與購(gòu)買(mǎi)數(shù)量（千克）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

(1)購(gòu)買(mǎi)1千克蘋(píng)果多少元?(2)購(gòu)買(mǎi)3千克蘋(píng)果多少元?(3)一次性下單購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果6千克與平均分3次下單購(gòu)買(mǎi)可節(jié)省多少元?舉一反三1（2025春·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）李叔叔駕車(chē)以75千米/小時(shí)的速度在公路上行駛，前方出現(xiàn)限速60千米/小時(shí)的標(biāo)志，如果他保持原速繼續(xù)行駛，將受到扣幾分的處罰？《道路交通安全法實(shí)施條例》規(guī)定：超速50%超速20%以上未達(dá)50超速未達(dá)20%舉一反三2（2025秋·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）外賣(mài)送餐為我們生活帶來(lái)了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣(mài)小哥一周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過(guò)50單（送一次外賣(mài)稱(chēng)為一單）的部分記為“+”，低于50單的部分記為“?”，如表是該外賣(mài)小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（單位：?jiǎn)危?3+4?5+14?8+7+12(1)求該外賣(mài)小哥這一周平均每天送餐多少單？(2)外賣(mài)小哥每天的工資由底薪60元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超過(guò)50單的部分，每單補(bǔ)貼2元；超過(guò)50單但不超過(guò)60單的部分，每單補(bǔ)貼4元；超過(guò)60單的部分，每單補(bǔ)貼6元．求該外賣(mài)小哥這一周工資收入多少元？題型六有理數(shù)的除法探究與創(chuàng)新例6已知x1，x2，x3，…x2021都是不等于0的有理數(shù)，若當(dāng)x1>0時(shí)，y1=x1x（1）若y2=x（2）若y3=x（3）由以上探究猜想，y2021=x舉一反三1在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到"分類(lèi)討論"的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用"分類(lèi)討論"的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答問(wèn)題．【提出問(wèn)題】已知有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc＞0，求|a|a【解決問(wèn)題】解∶由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都為正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，|a|a+|b|②當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，則|a|a+|b|綜上所述，|a|a【探究拓展】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題；（1）已知a，b是不為0的有理數(shù)，當(dāng)|ab|＝－ab時(shí)，a|a|+（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc＜0時(shí)，求a|a|+b|b|（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a＋b＋c＝0，abc＜0，求b+c|a|+舉一反三2（2024秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期中）概念學(xué)習(xí)：規(guī)定，求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，?3÷?3÷?3÷?3等，類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，?3÷?3÷?3÷?3記作初步探究：直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：2③＝______，?1深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（1）試一試：仿照下面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式．例如?3=5⑤＝______，?1（2）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫(xiě)成冪的形式等于______；（3）算一算：22題型七24點(diǎn)例7小明有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求選擇卡片，完成下列各問(wèn)題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大．這兩張卡片上的數(shù)字分別是________，積為_(kāi)_______；(2)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最?。@兩張卡片上的數(shù)字分別是________，商為_(kāi)_______；(3)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)方法（可加括號(hào)），使其運(yùn)算結(jié)果為24，寫(xiě)出運(yùn)算式子及運(yùn)算過(guò)程．（寫(xiě)出一種即可）舉一反三1（2024秋·湖北宜昌·七年級(jí)?？计谥校┈F(xiàn)有5張卡片寫(xiě)著不同的數(shù)字，利用所學(xué)過(guò)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算按要求解答下列問(wèn)題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_(kāi)________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為_(kāi)_______．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_(kāi)________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為_(kāi)_________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24．寫(xiě)出兩個(gè)不同的等式，分別為，．舉一反三2小明有5張寫(xiě)著不同的數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列各問(wèn)題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是___________；(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，最小值是___________；(3)從中取出4張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．寫(xiě)出運(yùn)算式子（至少寫(xiě)出兩種）題型八定義新運(yùn)算例8（2024秋·甘肅隴南·七年級(jí)?？计谥校┤绻麑?duì)于任何有理數(shù)a、b定義運(yùn)算“Δ”如下：aΔb=1a÷舉一反三1（2024秋·河北石家莊·七年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)軸上，把原點(diǎn)記作點(diǎn)O，表示數(shù)1的點(diǎn)記作點(diǎn)A．對(duì)于數(shù)軸上任意一點(diǎn)P（不與點(diǎn)O，點(diǎn)A重合），將線(xiàn)段PO與線(xiàn)段PA的長(zhǎng)度之比定義為點(diǎn)P的特征值，記作P，即P=POPA．例如：當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段OA的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)镻O=PA，所以P=1．如圖，點(diǎn)P1,P2,P3為數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P

(1)點(diǎn)P2(2)求P1,P(3)若數(shù)軸上有一點(diǎn)M滿(mǎn)足OM=13OA舉一反三2（2024秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：對(duì)于確定位置的三個(gè)數(shù)：a，b，c，計(jì)算a?b，a?c2，b?c3，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱(chēng)為a，b，c的“分差”，例如，對(duì)于1，?2，3，因?yàn)???2=3，1?32=?1，?2?33=?5(1)?2，?4，1的“分差”為_(kāi)_____；(2)調(diào)整“?2，?4，1”這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，求這些不同“分差”中的最大值．單選題1．（2025秋·四川宜賓·七年級(jí)四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谥校┫铝杏?jì)算正確的是（

）A．0÷?3=?1C．1÷?192．（2025秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)校考期中）兩個(gè)有理數(shù)相除，其商是負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)（）A．都是負(fù)數(shù)B．都是正數(shù)C．一個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)D．有一個(gè)是零3．（2025春·遼寧營(yíng)口·七年級(jí)校聯(lián)考期中）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是（

）

A．a(chǎn)?b>0 B．a(chǎn)+b>0 C．ba>0 4．（2025秋·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論：①a<0<b，②a<b，③?ab<0A．①② B．①④ C．②③ D．①③④5．（2025秋·河北保定·七年級(jí)校考期末）在算式?2□6的“□”中填入下列運(yùn)算符號(hào)中的一個(gè)，要使計(jì)算結(jié)果最小，應(yīng)填（）A．+ B．? C．× D．÷二、填空題1．（2025秋·新疆和田·七年級(jí)和田市第三中學(xué)?？计谀┮阎獂=3，y=5．且xy<0，則2．（2025秋·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若規(guī)定“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，．．．，則98!100!3．（2025秋·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：?12+三、解答題1．（2025秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中校考期末）計(jì)算：(1)?3÷(2)?1662．（2025秋·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）幻方的歷史悠久，傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書(shū)”．把“洛書(shū)”（圖1）的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)，就是一個(gè)三階幻方（圖2），即表格中每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和相等．(1)圖2中，每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和都等于______．(2)請(qǐng)將?2，?1，0，1，2，3，4，5，6填入圖3，使其構(gòu)成一個(gè)三階幻方．3．（2025秋·寧夏石嘴山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算：?1小明的解法：原式的倒數(shù)為13所以?1請(qǐng)你運(yùn)用小明的解法解答下面的問(wèn)題．計(jì)算：?1

1.4.2有理數(shù)的除法了解有理數(shù)除法的意義,理解有理數(shù)除法與乘法的互逆關(guān)系掌握有理數(shù)的除法法則,能運(yùn)用法則熟練地進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算以及四則混合運(yùn)算.通過(guò)利用有理數(shù)除法法則進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)程,體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)除法法則法則1：除以一個(gè)不等于0的數(shù),等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).用公式表示為（除數(shù)一定不能為0哦!）法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0.提示有理數(shù)除法沒(méi)有交換律、結(jié)合律,更沒(méi)有分配律.兩個(gè)數(shù)相除,若商是1,則這兩個(gè)數(shù)相等;若商是-1,則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).任何數(shù)除以1都得原數(shù);任何數(shù)除以-1都得原數(shù)的相反數(shù);除以一個(gè)非0數(shù)等于這個(gè)數(shù)的倒數(shù).有理數(shù)除法的兩個(gè)法則的如何選用？如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且能整除，一般選用法則(2)進(jìn)行計(jì)算,先確定商的符號(hào),再將兩數(shù)的絕對(duì)值相除.否則，一般選用法則(1)進(jìn)行計(jì)算,法則(1)是把除法轉(zhuǎn)化為乘法即學(xué)即練1計(jì)算：在進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí),首先確定商的符號(hào),然后將其絕對(duì)值相除或者將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算即學(xué)即練1化簡(jiǎn)下列分?jǐn)?shù)：?217；

（2）?54?8；

（3）?6?0.3（5）?(?2)?6；（6）|24|?(?8)；（7）?130.2；【答案】（1）?3；；（2）274；（3）20；（4）-3；（5）-13；（6）3（7）–5【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則，即可求解．【詳解】解：（1）?217（2）?54?8（3）?6?0.3（4）?0.750.25（5）?(?2)?6=2（6）|24|?(?8)=24（7）?130.2=?（8）0.2?13=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的除法法則，熟練掌握除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，還要注意兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)是解題的關(guān)鍵．化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)要遵循“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”的符號(hào)法則,分子、分母、分?jǐn)?shù)線(xiàn)前,若有一個(gè)或兩個(gè)負(fù)號(hào),則負(fù)號(hào)可以移到三個(gè)位置的任何一個(gè),而分?jǐn)?shù)的值不變.知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)乘除的同級(jí)運(yùn)算有理數(shù)乘除同級(jí)運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后按照乘法法則,確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果注意：除法沒(méi)有運(yùn)算律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，才可以利用乘法的運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；有理數(shù)的乘除運(yùn)算是同級(jí)運(yùn)算,如果沒(méi)簡(jiǎn)便計(jì)算情況下，一般要按照從左到右的順序進(jìn)行.即學(xué)即練計(jì)算：(1)?22(2)?3216(3)?81÷2(4)17【答案】(1)16(2)51(3)1(4)?【詳解】（1）解：|?2=2=+=16．（2）解：?32=?==51（3）解：(?81)÷2=+81×=1．（4）解：1=?=?1【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘除的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記混合運(yùn)算順序與乘除運(yùn)算法則．知識(shí)點(diǎn)三有理數(shù)的混合運(yùn)算1.有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算（1）混合運(yùn)算中，按照“先算乘除一級(jí),再算加減一級(jí)”的順序進(jìn)行；（2）有括號(hào)時(shí)，應(yīng)先算括號(hào)里面的.2.計(jì)算器的使用不同品牌的計(jì)算器操作方法可能有所不同，具體操作方法應(yīng)參考計(jì)算器的使用說(shuō)明,熟悉各功能鍵.另外,還要注意以下幾點(diǎn):(1)計(jì)算器要平穩(wěn)放置，以免按鍵時(shí)發(fā)生晃動(dòng)和滑動(dòng)；(2)計(jì)算開(kāi)始時(shí),要先按開(kāi)啟鍵;停止使用時(shí)要注意按關(guān)閉鍵；(3)確定按鍵順序后，按照算式從到右的順序直接輸入；(4)在輸入數(shù)據(jù)和算式時(shí),每次按鍵都要注意顯示器上是否顯示出了相應(yīng)的數(shù)字或運(yùn)算符號(hào)，以免因漏按或按不實(shí)而出現(xiàn)錯(cuò)誤；(5)每次運(yùn)算時(shí),要按一下清零鍵；(6)注意負(fù)數(shù)的輸入方式.即學(xué)即練1（2025秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：?48×1【答案】30【分析】根據(jù)有理數(shù)的四則混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：原式=?48×=?8+20?18?6×=?8+20?18+36=30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練2（2025秋·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：?【答案】10【分析】利用分配律先計(jì)算乘法，同步計(jì)算除法運(yùn)算，再算加法即可．【詳解】解：?=?20+18+12=10．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．題型一有理數(shù)乘除的同級(jí)運(yùn)算例1（2025秋·吉林延邊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：45【答案】16【分析】原式先將除法轉(zhuǎn)換為乘法后，再進(jìn)行乘法運(yùn)算即可；【詳解】解：4=4=16【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵舉一反三1（2025秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)4?(2)42÷【答案】(1)0(2)6【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）解：4??2+=6?6=0；（2）解：42÷=42×=6．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解答的關(guān)鍵．舉一反三2（2025秋·廣西賀州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(?1.25)×5【答案】?【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除運(yùn)算法則計(jì)算，即可．【詳解】原式=?5=?50【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型二有理數(shù)除法的混合運(yùn)算例2（2025秋·廣東廣州·七年級(jí)?？计谀?3【答案】0【分析】先計(jì)算絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法和除法，最后計(jì)算加減．【詳解】?3==?6+6=0．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．舉一反三1（2025秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)?？计谥校?6.5【答案】?【詳解】?6.5=?13×=?39【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．舉一反三2（2025秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算:18?16÷【答案】20【分析】先乘除運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解．【詳解】解：18?16÷=18?=18+2=20．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．題型三有理數(shù)的除法簡(jiǎn)便運(yùn)算例3（2024秋·湖南郴州·七年級(jí)?？计谥校┖?jiǎn)便運(yùn)算：?1【答案】24【分析】現(xiàn)將除法化為乘法，再利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：?==?=?8+36?4=24．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，會(huì)利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算．舉一反三1（2024秋·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)揭陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）用簡(jiǎn)便方法：?3【答案】?26【分析】先將有理數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再根據(jù)乘法分配律去括號(hào)，最后根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算計(jì)算即可；【詳解】原式==?=?27?20+21=?26；【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及有理數(shù)的乘法運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（取倒數(shù)法）（2024秋·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）先計(jì)算，再閱讀材料，解決問(wèn)題：(1)計(jì)算：13(2)認(rèn)真閱讀材料，解決問(wèn)題：計(jì)算：130分析：利用通分計(jì)算23解：原式的倒數(shù)是：2==20?3+5?12=10．故130請(qǐng)你根據(jù)對(duì)所提供材料的理解，選擇合適的方法計(jì)算：128【答案】(1)8(2)?【分析】（1）根據(jù)乘法分配律可以解答本題；（2）根據(jù)題目中的例子的解題方法，可以求出所求式子的值．【詳解】（1）原式=1=4?2+6=8；（2）原式的倒數(shù)是：3==21?10?16=?5，故原式=?1【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算以及乘法運(yùn)算律，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算法則．題型四有理數(shù)的除法與絕對(duì)值的綜合問(wèn)題例4請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，則a|a|=_______；當(dāng)b<0時(shí)，則(2)已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc<0，求b+c|a|+a+c(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時(shí)，求|a|a【答案】(1)1，?1(2)?1(3)3或?1或1或?3【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)去絕對(duì)值的方法即可求解．（2）由a+b+c=0可得b+c=?a，a+c=?b，a+b=?c，由根據(jù)abc<0進(jìn)而可求解．（3）分四種情況討論：①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0；③當(dāng)a，b，c有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)；④當(dāng)a，b，c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，分別去絕對(duì)值即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)a>0時(shí)，則aa當(dāng)b<0，則bb故答案為：1，?1．（2）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc<0，所以b+c=?a，a+c=?b，a+b=?c，且a，b，c中兩正一負(fù)，所以b+c|a|（3）由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)，則：|a|a②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則：|a|a③當(dāng)a，b，c有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則：|a|a④當(dāng)a，b，c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，則：|a|a綜上所述：|a|a+|b|b+|c|c的值為【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)的乘除法，熟練掌握正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2024秋·浙江金華·七年級(jí)期中）在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值過(guò)程中，化簡(jiǎn)a時(shí)，可以這樣分類(lèi)：當(dāng)a>0時(shí)，a=a；當(dāng)a=0時(shí)，a=0；當(dāng)a<0(1)當(dāng)a=3,a=?2時(shí)，分別求aa(2)已知a,b是有理數(shù)，當(dāng)ab>0時(shí)，試求aa(3)已知a,b,c是有理數(shù)，當(dāng)abc<0時(shí)，試求【答案】(1)１，?1(2)±2(3)0或?4【分析】（1）直接代入求解即可；（2）分a、b同為正和同為負(fù)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值求解即可；（3）分a、b、c中有一個(gè)小于0，其它兩個(gè)大于0和三個(gè)都小于0，化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)a=3時(shí)，aa當(dāng)a=?2時(shí)，aa（2）解：由ab>0知，分兩種情況：當(dāng)a>0,b>0時(shí)，aa或a<0,b<0時(shí)，aa故當(dāng)ab>0時(shí)，aa+b（3）解：由abc<0知，分兩種情況：當(dāng)a、b、c中有一個(gè)小于0，其它兩個(gè)大于0時(shí)，aa當(dāng)a、b、c三個(gè)都小于0時(shí)，aa綜上，當(dāng)abc<0時(shí)，aa+b【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，分類(lèi)討論并正確求解是解答的關(guān)鍵．舉一反三2（2024秋·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為5．(1)直接寫(xiě)出a+b，cd，m的值；(2)求m2【答案】(1)a+b=0，cd=1，m=±5(2)26【分析】（1）根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和為0，互為倒數(shù)的積為1，絕對(duì)值的意義，即可得出答案；（2）結(jié)合（1）求解即可．【詳解】（1）解：∵a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為5，∴a+b=0，cd=1，m=±5；（2）由（1）得：m==25+1+0=26．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合計(jì)算，倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值，熟記各定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型五有理數(shù)的除法實(shí)際問(wèn)題例5（2025春·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某網(wǎng)上購(gòu)物平臺(tái)促銷(xiāo)，蘋(píng)果2千克以上有優(yōu)惠（不含2千克），購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果所付金額（元）與購(gòu)買(mǎi)數(shù)量（千克）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

(1)購(gòu)買(mǎi)1千克蘋(píng)果多少元?(2)購(gòu)買(mǎi)3千克蘋(píng)果多少元?(3)一次性下單購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果6千克與平均分3次下單購(gòu)買(mǎi)可節(jié)省多少元?【答案】(1)10元(2)28元(3)8元【分析】（1）由圖可知，購(gòu)買(mǎi)2千克蘋(píng)果的總價(jià)為20元，據(jù)此可得答案；（2）由2千克和5千克蘋(píng)果的金額計(jì)算出購(gòu)買(mǎi)2千克以上蘋(píng)果時(shí)的單價(jià)，進(jìn)而可得答案；（3）分別計(jì)算出一次性下單購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果6千克與平均分3次下單購(gòu)買(mǎi)所需費(fèi)用，再進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：20÷2=10（元），即購(gòu)買(mǎi)1千克蘋(píng)果需要10元；（2）解：購(gòu)買(mǎi)2千克以上蘋(píng)果時(shí)的單價(jià)為：44?20÷20+8=28（元），即購(gòu)買(mǎi)3千克蘋(píng)果需要28元；（3）解：一次性下單購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果6千克需要的費(fèi)用為：20+6?2平均分3次下單購(gòu)買(mǎi)所需費(fèi)用為：20×3=60（元），60?52=8（元），即可節(jié)省8元．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，從所給圖象中獲取相應(yīng)信息是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2025春·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）李叔叔駕車(chē)以75千米/小時(shí)的速度在公路上行駛，前方出現(xiàn)限速60千米/小時(shí)的標(biāo)志，如果他保持原速繼續(xù)行駛，將受到扣幾分的處罰？《道路交通安全法實(shí)施條例》規(guī)定：超速50%超速20%以上未達(dá)50超速未達(dá)20%【答案】如果李叔叔保持原速繼續(xù)行駛，他將受到扣6分的處罰【分析】依據(jù)題意，先求出李叔叔超速百分之幾，即是求李叔叔的開(kāi)的速度比限速多出百分之幾，再根據(jù)交通條例，對(duì)號(hào)入座扣分即可．【詳解】解：75?60=15÷60=25%，∵20%<25%<50%，∴根據(jù)交通條例，如果李叔叔保持原速繼續(xù)行駛，他將受到扣6分的處罰，答：如果李叔叔保持原速繼續(xù)行駛，他將受到扣6分的處罰．【點(diǎn)睛】本題考查了百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，認(rèn)真讀題理解題意是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2025秋·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）外賣(mài)送餐為我們生活帶來(lái)了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣(mài)小哥一周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過(guò)50單（送一次外賣(mài)稱(chēng)為一單）的部分記為“+”，低于50單的部分記為“?”，如表是該外賣(mài)小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（單位：?jiǎn)危?3+4?5+14?8+7+12(1)求該外賣(mài)小哥這一周平均每天送餐多少單？(2)外賣(mài)小哥每天的工資由底薪60元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超過(guò)50單的部分，每單補(bǔ)貼2元；超過(guò)50單但不超過(guò)60單的部分，每單補(bǔ)貼4元；超過(guò)60單的部分，每單補(bǔ)貼6元．求該外賣(mài)小哥這一周工資收入多少元？【答案】(1)該外賣(mài)小哥這一周平均每天送餐53單(2)該外賣(mài)小哥這一周工資收入1248元【分析】（1）由50單加上超過(guò)或不足部分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)即可得到答案；（2）每天的工資由底薪加上送餐部分的補(bǔ)貼，分別計(jì)算每天的工資，再求解代數(shù)和即可．【詳解】（1）解：由題意，得：50+=50+3=53（單），

答：該外賣(mài)小哥這一周平均每天送餐53單；（2）解：由題意，得：(50×7?3?5?8)×2+(4+7+10×2)×4+4+2=668+124+36+420=1248（元），答：該外賣(mài)小哥這一周工資收入1248元．【點(diǎn)睛】本題考查的是正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，平均數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的加法與乘法的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，正確的列代數(shù)式計(jì)算計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．題型六有理數(shù)的除法探究與創(chuàng)新例6已知x1，x2，x3，…x2021都是不等于0的有理數(shù)，若當(dāng)x1>0時(shí)，y1=x1x（1）若y2=x（2）若y3=x（3）由以上探究猜想，y2021=x【答案】（1）±2或0；（2）±1或±3；（3）2024，4042【分析】（1）結(jié)合題干信息，分三種情況討論，當(dāng)x1x1=1，x2x2=1時(shí)，當(dāng)x1x1（2）分四種情況討論：當(dāng)x1x1，x2x2，x3x3都為1時(shí)，當(dāng)x1x1，x2x2，x3x3兩個(gè)為1時(shí)，一個(gè)為（3）根據(jù)題干信息與（1）（2）的結(jié)論進(jìn)行歸納總結(jié)，可得y2021【詳解】解：（1）由題干信息可得：x1x1當(dāng)x1x1=1，當(dāng)x1x1=1，x2x當(dāng)x1x1=?1，故答案為：±2或0（2）∵x1x1=±1，當(dāng)x1x1，x2x當(dāng)x1x1，x2x2，當(dāng)x1x1，x2x2，當(dāng)x1x1，x2x2，所以：y3的值為±1或故答案為：±1或±3（3）由題干信息及（1）（2）可知，y1有2個(gè)值，y2有3個(gè)值，···總結(jié)歸納可得，y2021最大值是每個(gè)數(shù)都為正數(shù)時(shí)，所以最大值2024，最小值是每個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，所以最小值為?2021，最大值與最小值的差為2021??2021故答案為：2024，4042【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的含義與化簡(jiǎn)，有理數(shù)的加法與除法運(yùn)算，數(shù)字與運(yùn)算的規(guī)律探究，清晰的分類(lèi)討論與歸納總結(jié)，運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題等都是解本題的關(guān)鍵.舉一反三1在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到"分類(lèi)討論"的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用"分類(lèi)討論"的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答問(wèn)題．【提出問(wèn)題】已知有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc＞0，求|a|a【解決問(wèn)題】解∶由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都為正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，|a|a+|b|②當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，則|a|a+|b|綜上所述，|a|a【探究拓展】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題；（1）已知a，b是不為0的有理數(shù)，當(dāng)|ab|＝－ab時(shí)，a|a|+（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc＜0時(shí)，求a|a|+b|b|（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a＋b＋c＝0，abc＜0，求b+c|a|+【答案】（1）0；（2）?3或1；（3）?1．【分析】（1）分a>0,b<0和a<0,b>0兩種情況，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算有理數(shù)的除法與加減法即可得；（2）分a,b,c都是負(fù)數(shù)和a,b,c中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)兩種情況，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算有理數(shù)的除法與加減法即可得；（3）先化簡(jiǎn)已知等式可得a+b=?c，c+a=?b，b+c=?a，再根據(jù)abc<0得出a,b,c中只有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，然后化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算有理數(shù)的除法與加減法即可得．【詳解】解：（1）由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)a>0,b<0時(shí)，aa②當(dāng)a<0,b>0時(shí)，aa綜上，aa故答案為：0；（2）由題意得：a,b,c都是負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，①當(dāng)a,b,c都是負(fù)數(shù)，即a<0,b<0,c<0時(shí)，則aa②當(dāng)a,b,c中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a<0,b>0,c>0，則aa綜上，aa+b故答案為：?3或1；（3）因?yàn)閍+b+c=0，abc<0，所以a,b,c均不為0，所以a+b=?c，c+a=?b，b+c=?a，所以a,b,c中只有一個(gè)負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b>0，c>0，所以b+ca故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值、有理數(shù)的加減法與除法，讀懂題意，掌握分類(lèi)討論思想和有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．舉一反三2（2024秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期中）概念學(xué)習(xí)：規(guī)定，求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，?3÷?3÷?3÷?3等，類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，?3÷?3÷?3÷?3記作初步探究：直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：2③＝______，?1深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（1）試一試：仿照下面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式．例如?3=5⑤＝______，?1（2）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫(xiě)成冪的形式等于______；（3）算一算：22【答案】初步探究：12，?2；深入思考：（1）153，24【分析】初步探究：根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則求解即可；（1）根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則求解即可；（3）根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則結(jié)合有理數(shù)的混合運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：初步探究：2③＝2÷2÷2=1?1深入思考：（1）5⑤＝5÷5÷5÷5÷5=1?1（2）根據(jù)“a的圈n次方”的運(yùn)算法則可得，將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫(xiě)成冪的形式等于1a（3）原式==4÷9×【點(diǎn)睛】此題考查了新定義問(wèn)題和有理數(shù)的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確分析出“a的圈n次方”的運(yùn)算法則．題型七24點(diǎn)例7小明有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求選擇卡片，完成下列各問(wèn)題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大．這兩張卡片上的數(shù)字分別是________，積為_(kāi)_______；(2)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最?。@兩張卡片上的數(shù)字分別是________，商為_(kāi)_______；(3)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)方法（可加括號(hào)），使其運(yùn)算結(jié)果為24，寫(xiě)出運(yùn)算式子及運(yùn)算過(guò)程．（寫(xiě)出一種即可）【答案】(1)-5和-3，15(2)-5和+3，?5(3)?3??5【分析】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，也就是必須選擇同號(hào)的兩個(gè)數(shù)相乘，然后取積最大的兩個(gè)卡片即可．（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，也就是必須選擇異號(hào)的兩個(gè)數(shù)相除且被除數(shù)的絕對(duì)值要大于除數(shù)的絕對(duì)值，然后選擇商最小的兩個(gè)卡片即可．（3）把24分解因數(shù)，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24，然后找到合適的卡片能夠通過(guò)運(yùn)算得到24的因數(shù)即可．【詳解】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，選擇同號(hào)的兩個(gè)數(shù)相乘則有(+3)×(+4)=12，(?5)×(?3)=15積最大為15，∴選擇卡片?5和卡片?3；故答案為：-5和-3，15；（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，選擇異號(hào)的兩個(gè)數(shù)相除且被除數(shù)的絕對(duì)值要大于除數(shù)的絕對(duì)值．則有(?5)÷3=?53，(?5)÷4=?54商最小為?53，所選擇卡片?5和卡片故答案為：-5和+3，?5（3）?3??5=2×3×4=24【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2024秋·湖北宜昌·七年級(jí)?？计谥校┈F(xiàn)有5張卡片寫(xiě)著不同的數(shù)字，利用所學(xué)過(guò)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算按要求解答下列問(wèn)題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_(kāi)________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為_(kāi)_______．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_(kāi)________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為_(kāi)_________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24．寫(xiě)出兩個(gè)不同的等式，分別為，．【答案】(1)-9(2)11(3)6(4)90(5)?3×?1【詳解】（1）解：這五個(gè)數(shù)中，最小的兩個(gè)數(shù)是-3和-6，所以要使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為?3+故答案為：-9；（2）解：這五個(gè)數(shù)中，最小的兩個(gè)數(shù)是-6，最大的數(shù)是5，所以要使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為5??6故答案為：11；（3）解：取出-6和-1，相除得?6÷所以商的最大值為6；故答案為：6（4）解：取出-6，-3,5，則乘積的最大值為?6×故答案為：90；（5）解：?3×?1×故答案為：?3×?1×【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減乘除以及混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．舉一反三2小明有5張寫(xiě)著不同的數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列各問(wèn)題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是___________；(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，最小值是___________；(3)從中取出4張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．寫(xiě)出運(yùn)算式子（至少寫(xiě)出兩種）【答案】(1)15(2)-(3)-[(-3)÷3+(-5)]×4=24，{0-[(-3)+(-5)]}×3=24（答案不唯一）【分析】（1）觀察這五個(gè)數(shù)，要找乘積最大的就要找符號(hào)相同且乘積數(shù)值最大的數(shù)，所以選-3和-5；（2）2張卡片上數(shù)字相除的商最小就要找符號(hào)不同，且分母的絕對(duì)值越小越好，分子的絕對(duì)值越小大越好，所以就要選+3和-5，且-5為分子；（3）從中取出4張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24，這就不唯一，用加減乘除只要答數(shù)是24即可，比如-3、-5、0、3，四個(gè)數(shù)，{0-[(-3)+(-5)]}×3=24，再如：抽取-3、-5、3、4，則-[(-3)÷3+(-5)]×4=24．【詳解】（1）解：-3×(-5)=15；故答案為15；（2）(-5)÷(+3)=-5故答案為：-5（3）方法不唯一，如：抽取-3、-5、0、3，則{0-[(-3)+(-5)]}×3=24；如：抽取-3、-5、3、4，則-[(-3)÷3+(-5)]×4=24．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．題型八定義新運(yùn)算例8（2024秋·甘肅隴南·七年級(jí)?？计谥校┤绻麑?duì)于任何有理數(shù)a、b定義運(yùn)算“Δ”如下：aΔb=1a÷【答案】?【分析】按照規(guī)定的運(yùn)算方法把式子改為有理數(shù)的混合運(yùn)算，進(jìn)而計(jì)算得出結(jié)果即可．【詳解】解：?2Δ7===7÷=?7【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序與運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．舉一反三1（2024秋·河北石家莊·七年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)軸上，把原點(diǎn)記作點(diǎn)O，表示數(shù)1的點(diǎn)記作點(diǎn)A．對(duì)于數(shù)軸上任意一點(diǎn)P（不與點(diǎn)O，點(diǎn)A重合），將線(xiàn)段PO與線(xiàn)段PA的長(zhǎng)度之比定義為點(diǎn)P的特征值，記作P，即P=POPA．例如：當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段OA的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)镻O=PA，所以P=1．如圖，點(diǎn)P1,P2,P3為數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P

(1)點(diǎn)P2(2)求P1,P(3)若數(shù)軸上有一點(diǎn)M滿(mǎn)足OM=13OA【答案】(1)1(2)P1=15，P(3)12或【分析】（1）根據(jù)相反數(shù)的定義即可解答；（2）根據(jù)P=POPA（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式可知點(diǎn)M表示的數(shù)，再根據(jù)M=【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P1表示的數(shù)為?14，點(diǎn)P∴點(diǎn)P2表示的數(shù)為1故答案為14（2）解：∵點(diǎn)P1表示的數(shù)為?14，點(diǎn)A表示的數(shù)為1∴P1∵點(diǎn)P2表示的數(shù)為1∴P2∵點(diǎn)P3表示的數(shù)為2∴P3∵15∴P1（3）解：∵點(diǎn)A所表示的數(shù)為1，且OM=13OA∴OM=1設(shè)M點(diǎn)表示的數(shù)為x，∴OM=0?x∴x=13或∴點(diǎn)M表示的數(shù)是13或?當(dāng)點(diǎn)M表示的數(shù)是13時(shí)，M當(dāng)點(diǎn)M表示的數(shù)是?13時(shí)，綜上，M的值是12或1【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題目中的定義將線(xiàn)段PO與線(xiàn)段PA的長(zhǎng)度之比定義為點(diǎn)P的特征值，記作P，即P=舉一反三2（2024秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：對(duì)于確定位置的三個(gè)數(shù)：a，b，c，計(jì)算a?b，a?c2，b?c3，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱(chēng)為a，b，c的“分差”，例如，對(duì)于1，?2，3，因?yàn)???2=3，1?32=?1，?2?33=?5(1)?2，?4，1的“分差”為_(kāi)_____；(2)調(diào)整“?2，?4，1”這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，求這些不同“分差”中的最大值．【答案】(1)?(2)2【分析】（1）根據(jù)題中意思分別求出三個(gè)數(shù)，然后比較大小即可得出答案；（2）先給這三個(gè)數(shù)進(jìn)行排序，分別求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：?2??4=2，?2?12∵?5∴?2，?4，1的“分差”為?5故答案為：?5（2）①這三個(gè)數(shù)的位置為：?2，?4，1時(shí)，根據(jù)（1）中所求“分差”為?5②這三個(gè)數(shù)的位置為：?2，1，?4時(shí)，則?2?1=?3，?2??42=1∵?3<1<5∴?2，1，?4的“分差”為?3；③這三個(gè)數(shù)的位置為：1，?2，?4時(shí)，則1??2=3，1??4∵2∴1，?2，?4的“分差”為23④這三個(gè)數(shù)的位置為：1，?4，?2時(shí)，則1??4=5，1??2∵?2∴1，?4，?2的“分差”為?2⑤這三個(gè)數(shù)的位置為：?4，1，?2時(shí)，則?4?1=?5，?4??22=?1∵?5<?1<1，∴?4，1，?2的“分差”為?5；’⑥這三個(gè)數(shù)的位置為：?4，?2，1時(shí)，則?4??2=?2，?4?12∵?5∴?4，?2，1的“分差”為?5∵2∴這些不同“分差”中的最大值為23【點(diǎn)睛】本題考查了新定義以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵：理解什么叫做“分差”．單選題1．（2025秋·四川宜賓·七年級(jí)四川省宜賓市第四中學(xué)校校考期中）下列計(jì)算正確的是（

）A．0÷?3=?1C．1÷?19【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則計(jì)算即可判斷．【詳解】解：A、0÷?3B、?3C、1÷?D、?3故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)除法法則，根據(jù)法則準(zhǔn)確計(jì)算即可．2．（2025秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)校考期中）兩個(gè)有理數(shù)相除，其商是負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)（）A．都是負(fù)數(shù)B．都是正數(shù)C．一個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)D．有一個(gè)是零【答案】C【分析】根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)進(jìn)行分析；【詳解】解：根據(jù)除法法則，知兩個(gè)有理數(shù)相除，其商是負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)必定異號(hào)；故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法法則3．（2025春·遼寧營(yíng)口·七年級(jí)校聯(lián)考期中）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是（

）

A．a(chǎn)?b>0 B．a(chǎn)+b>0 C．ba>0 【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸得出b<0<a，b>a，推出a+b<0，a?b>0，ba【詳解】解：∵從數(shù)軸可知：b<0<a，b>∴a+b<0，a?b>0，ba<