2025年浙江省夏季奧林匹克“丁一杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽省級(jí)選拔賽五年級(jí)試題（A卷）一、填空題（每題8分，共計(jì)64分）1．第三屆動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)上，老虎和獅子在1200米的長(zhǎng)跑比賽中成績(jī)相同，為最后決出勝負(fù)，裁判老猴讓老虎和獅子舉行加時(shí)賽。老虎和獅子的加時(shí)賽是百米來(lái)回跑，共計(jì)200米遠(yuǎn)，老虎每跨一步為2米，獅子一步為3米，但老虎每跨3步，獅子只能跨2步。據(jù)以上情況，將獲勝。2．一艘遠(yuǎn)洋輪船上共有30名海員，船上的淡水可供全體船員用40天。輪船離港10天后在公海上又救起15名遇難的外國(guó)海員。假如每人每天使用的淡水同樣多，剩下的淡水可供船上的人再用天。3．34×56×710有個(gè)因數(shù)與15互質(zhì)。4．小葛的鞋子有5對(duì)鞋孔可綁鞋帶，相對(duì)的鞋孔之間的距離為4厘米且每一側(cè)第一個(gè)與最后一個(gè)鞋孔之間的距離為12厘米。小葛依如圖所示的方式綁鞋帶，且鞋帶打結(jié)的部分的長(zhǎng)度為40厘米。下列（）選項(xiàng)最接近這條鞋帶的長(zhǎng)度。

A．60厘米 B．70厘米 C．80厘米 D．90厘米5．旅游車(chē)上坐著日本、美國(guó)、法國(guó)三個(gè)國(guó)家的旅客?，F(xiàn)在知道日本游客共18人，法國(guó)游客共9人；成年男游客中，美國(guó)5人，法國(guó)3人；成年女游客中，法國(guó)3人，日本5人；男孩中，日本3人，美國(guó)2人，法國(guó)2人；女孩中，美國(guó)2人，法國(guó)1人；成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一樣多。美國(guó)游客共人。6．牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，那么可供25頭牛吃天。7．在直角梯形ABCD中，已知∠ABC=∠BCD=90°。AB＝3cm，CD＝9cm，且點(diǎn)E、F分別位于底邊CD與直角邊BC上，如下圖所示。若BF＝2cm，且AE、EF將梯形面積三等份，直角梯形ABCD的面積是cm2。8．將4個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積再加上1，其結(jié)果均為一個(gè)完全平方數(shù)，前2017個(gè)這樣的平方數(shù)為：1×2×3×4＋1＝25＝522×3×4×5＋1＝121＝1123×4×5×6＋1＝361＝192……2017×2018×2019×2020＋1＝16600254584281＝40743412按照上述方法找出來(lái)的2017個(gè)數(shù)為5、11、19……4074341。其中有個(gè)數(shù)的末尾數(shù)字是1。二、計(jì)算題（每題10分，共計(jì)20分）9．簡(jiǎn)便計(jì)算：100.4×10031002-100.2×1003100410．已知12+22+32+42+……+992+1002=a，請(qǐng)用含a的式子表示下列兩題結(jié)果。（1）22+42+62+82+……+1982+2002；（2）1×2＋2×3＋3×4+……+100×101。三、解答題（第11-13題各12分，第14-15題各15分，共計(jì)66分）11．如圖所示，將一個(gè)長(zhǎng)為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長(zhǎng)方體木塊分別沿長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向鋸開(kāi)1、2、3次，得到24個(gè)長(zhǎng)方體木塊。這24個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積的和是多少平方厘米？12．某個(gè)城市的街道圖是有3×3的方格所構(gòu)成。如圖所示，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是20米。一位清潔工人從點(diǎn)A出發(fā)，沿著道路清掃街道。他必須打掃每一條街道，最后回到A點(diǎn)。當(dāng)他完成工作時(shí)，請(qǐng)問(wèn)他至少走了多少米？13．威威有非常多的玩具士兵，他可以將這些士兵玩具排成一個(gè)有許多行、許多列的長(zhǎng)方形。若從中移除100個(gè)玩具士兵后，仍可以將剩下的玩具士兵恰好排成一個(gè)減少5列，增多5行的長(zhǎng)方形。請(qǐng)問(wèn)他必須從最開(kāi)始的長(zhǎng)方形中移除多少個(gè)玩具士兵，才能將剩下的玩具士兵恰好排成一個(gè)減少11列，增多11行的長(zhǎng)方形？14．已知ABCD與AECF是兩個(gè)全等的矩形，且AB=AF=20cm、AD=AE＝50cm，如下圖所示，請(qǐng)問(wèn)四邊形AGCH的面積是多少平方厘米？15．已知：線段AB＝40cm。（1）如圖1，點(diǎn)P沿線段AB自A點(diǎn)向B點(diǎn)以3厘米/秒運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿線段BA自B點(diǎn)向A點(diǎn)以5厘米/秒運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒后P、Q相遇？（2）在題(1)的條件下，幾秒鐘后，P、Q相距16cm？（3）如圖2，AO=PO=8厘米，∠POB=40°，點(diǎn)P繞著點(diǎn)O以20度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周停止，同時(shí)點(diǎn)Q沿直線AB，自B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，假若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)能相遇，求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度。

答案解析部分2025年浙江省夏季奧林匹克“丁一杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽省級(jí)選拔賽五年級(jí)試題（A卷）一、填空題（每題8分，共計(jì)64分）1．第三屆動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)上，老虎和獅子在1200米的長(zhǎng)跑比賽中成績(jī)相同，為最后決出勝負(fù)，裁判老猴讓老虎和獅子舉行加時(shí)賽。老虎和獅子的加時(shí)賽是百米來(lái)回跑，共計(jì)200米遠(yuǎn)，老虎每跨一步為2米，獅子一步為3米，但老虎每跨3步，獅子只能跨2步。據(jù)以上情況，將獲勝?！敬鸢浮坷匣ⅰ局R(shí)點(diǎn)】比的應(yīng)用；應(yīng)用比例解決實(shí)際問(wèn)題【解析】【解答】解：先跑100米，老虎用100÷2=50（步），獅子用100÷3=33（步）……1（米），獅子用33+1=34（步）；

34×3=102（米），獅子再跑102米就跑完200米，共用步數(shù)204÷3=68（步），而老虎跑完200米需50×2=100（步）；

100：68=25：17，

3：2=75：50，

25：17=75：51，

25：17＜3：2

老虎勝。

故答案為：老虎。

【分析】先分別求出老虎和獅子實(shí)際跑完200米全程所用的的步數(shù)，步數(shù)比是3：2則同時(shí)到達(dá)，實(shí)際步數(shù)比小于3：2，老虎勝，大于3：2獅子勝。2．一艘遠(yuǎn)洋輪船上共有30名海員，船上的淡水可供全體船員用40天。輪船離港10天后在公海上又救起15名遇難的外國(guó)海員。假如每人每天使用的淡水同樣多，剩下的淡水可供船上的人再用天?！敬鸢浮?0【知識(shí)點(diǎn)】先求總量再求每份的量歸總問(wèn)題【解析】【解答】解：假設(shè)每人每天使用淡水1份?？偣灿?0名海員，淡水可用40天，因此總淡水量為：

1×30×40=1200（份）

輪船已使用10天，每天消耗淡水30×1=30份，10天共消耗：

30×10=300（份）

（1200-300）÷（30+15）

=900÷45

=20（天）

剩下的淡水可供船上的人再用20天。

故答案為：20。

【分析】我們可以假設(shè)每名海員每天的用水量為1，則原來(lái)船上的淡水總量為1×30×40=1200份，輪船離港10天后用去了1×30×10=300份，用淡水總量減去用去的水量即得剩下的淡水量：即1200-300=900份，這時(shí)船員變?yōu)?0+15=45（人），用剩下的淡水量900份除以45解答即可。3．34×56×710有個(gè)因數(shù)與15互質(zhì)?！敬鸢浮?1【知識(shí)點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)；互質(zhì)數(shù)的特征【解析】【解答】解：因?yàn)?5=3×5，

所以34×56×710的因數(shù)不能含有3、5，才能與15互質(zhì)，

因此只考慮因數(shù)7即可，70，71，72，……79，710，共11個(gè)

故答案為：11。

【分析】根據(jù)題意可知：該因數(shù)不含15的質(zhì)因數(shù)（4．小葛的鞋子有5對(duì)鞋孔可綁鞋帶，相對(duì)的鞋孔之間的距離為4厘米且每一側(cè)第一個(gè)與最后一個(gè)鞋孔之間的距離為12厘米。小葛依如圖所示的方式綁鞋帶，且鞋帶打結(jié)的部分的長(zhǎng)度為40厘米。下列（）選項(xiàng)最接近這條鞋帶的長(zhǎng)度。

A．60厘米 B．70厘米 C．80厘米 D．90厘米【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】物體長(zhǎng)度的測(cè)量與計(jì)算；勾股定理與弦圖【解析】【解答】解：鞋帶有三部分構(gòu)成：

2個(gè)橫的部分長(zhǎng)度為：2×4=8（厘米），

豎著兩個(gè)的間隔距離：12÷（5-1）=3（厘米），

根據(jù)勾股定理斜的每一段的長(zhǎng)度：32+42=5（厘米），

所以斜的部分長(zhǎng)度為：5×8=40（厘米），

打結(jié)部分長(zhǎng)度為：40厘米

計(jì)算鞋帶總長(zhǎng)度：8+40+40=88（厘米）。

88厘米接近90厘米

故答案為：D。

【分析】鞋帶主要有5．旅游車(chē)上坐著日本、美國(guó)、法國(guó)三個(gè)國(guó)家的旅客?，F(xiàn)在知道日本游客共18人，法國(guó)游客共9人；成年男游客中，美國(guó)5人，法國(guó)3人；成年女游客中，法國(guó)3人，日本5人；男孩中，日本3人，美國(guó)2人，法國(guó)2人；女孩中，美國(guó)2人，法國(guó)1人；成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一樣多。美國(guó)游客共人?！敬鸢浮?3【知識(shí)點(diǎn)】三量容斥（重疊）問(wèn)題【解析】【解答】解：根據(jù)題意整理表格如下圖：成年男游客成年女游客男孩女孩合計(jì)日本653418法國(guó)33219美國(guó)542213

由圖可知：男孩總數(shù)：3（日本）+2（美國(guó)）+2（法國(guó)）=7人

又知：男孩和女孩一樣多

就有7-1（法國(guó)）-2（美國(guó)）=4（日本女孩），

日本成年男就有18-5（成年女）-3（男孩）-4（女孩）=6人。

成年男游客包括：

日本：6人；

美國(guó)：5人；

法國(guó)：3人；

總和為：6+5+3=14人。

由條件7--成年女游客比成年男少2人，故成年女游客總?cè)藬?shù)為：

14-2=12人。

已知成年女游客中：

日本：5人；

法國(guó)：3人；

美國(guó)成年女游客人數(shù)為：

12-5-3=4人。

美國(guó)游客包括：

成年男：5人；

成年女：4人；

男孩：2人；

女孩：2人；

總和為：5+4+2+2=13人。

故答案為：13。

【分析】

本題需要根據(jù)已知條件，通過(guò)建立表格來(lái)求解美國(guó)游客的總?cè)藬?shù)。關(guān)鍵在于處理成年男女和兒童的人數(shù)關(guān)系，結(jié)合總?cè)藬?shù)約束和條件（成年女比成年男少2人，男孩和女孩人數(shù)相等）進(jìn)行推導(dǎo)。6．牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，那么可供25頭牛吃天?！敬鸢浮?【知識(shí)點(diǎn)】一般牛吃草【解析】【解答】

解：設(shè)每頭牛每頭吃草量為1份，則：

草每天生長(zhǎng)的量：

（1×10×20-1×15×10）÷（20-10）

=（200-150）÷10

=5（份）

牧場(chǎng)原來(lái)有草量：

200-20×5=100（份）

供25頭牛吃的天數(shù)：

100÷（25-5）=5（天）

故答案為：5。

【分析】本題屬于牛吃草問(wèn)題，需考慮原有草量和每天生長(zhǎng)的草量。通過(guò)已知條件假設(shè)每頭牛每頭吃草量為1份，求出每天生長(zhǎng)的草量和原有草量，再計(jì)算可供多少頭牛吃25天。7．在直角梯形ABCD中，已知∠ABC=∠BCD=90°。AB＝3cm，CD＝9cm，且點(diǎn)E、F分別位于底邊CD與直角邊BC上，如下圖所示。若BF＝2cm，且AE、EF將梯形面積三等份，直角梯形ABCD的面積是cm2?！敬鸢浮?0【知識(shí)點(diǎn)】梯形的面積；三角形的面積【解析】【解答】解：由題意可知：

梯形ABCD的面積

=（AB+DC）×BC÷2

=（3+9）×BC÷2

=6BC（平方厘米）

又因?yàn)锳E、EF將梯形面積三等份

所以可以得出：三角形ADE的面積=12×DE×BC=6BC÷3=2BC（平方厘米）

所以DE=4（厘米），

CE=9-4=5（厘米），

又因?yàn)槿切蜛DE的面積=三角形CEF的面積，

所以DE×BC÷2=CE×CF÷2，

即4×BC÷2=5×CF÷2

所以得出：CF=45BC，

因?yàn)锽F=BC-CF=15BC，且BF=2厘米，

所以BC=2×5=10（厘米），

直角梯形ABCD的面積是：

（3+9）×10÷2=60（平方厘米）

故答案為：60。

【分析】本題要求直角梯形ABCD的面積。已知AB=3cm，CD=9cm，BF=2cm，且AE、EF將梯形面積三等分。通過(guò)分析梯形面積與分割部分的關(guān)系，結(jié)合幾何條件建立等量關(guān)系式求解高BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而計(jì)算梯形面積。計(jì)算得出BC的值，最后根據(jù)梯形的面積公式S=（a+b8．將4個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積再加上1，其結(jié)果均為一個(gè)完全平方數(shù)，前2017個(gè)這樣的平方數(shù)為：1×2×3×4＋1＝25＝522×3×4×5＋1＝121＝1123×4×5×6＋1＝361＝192……2017×2018×2019×2020＋1＝16600254584281＝40743412按照上述方法找出來(lái)的2017個(gè)數(shù)為5、11、19……4074341。其中有個(gè)數(shù)的末尾數(shù)字是1?！敬鸢浮?07【知識(shí)點(diǎn)】乘積的個(gè)位數(shù)；等差數(shù)列；算式的規(guī)律；基本排列周期【解析】【解答】解：由題可知：

這些底數(shù)的通項(xiàng)公式為an=n2+3n+1，

底數(shù)序列差值為等差數(shù)列（6，8，10，12....），

計(jì)算n的末位k（k=0到9）對(duì)應(yīng)的an的末位：

當(dāng)k=0、2、5、7時(shí)，an的末位為1，

即n≡0，2，5，7（mod10）時(shí)，末位為1，

每10個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，每個(gè)周期內(nèi)有4個(gè)符合條件的n，

2017個(gè)數(shù)分為201個(gè)完整周期（共2010（個(gè)）數(shù)）和剩余的7個(gè)數(shù)（n=2011到2017），

完整周期貢獻(xiàn)201×4=804（個(gè)）符合條件的數(shù)，

剩余7個(gè)數(shù)中，有2012、2015、2017，3個(gè)，

共：804+3=807（個(gè)）。

故答案為：807。

【分析】題目要求找出前2017個(gè)由四個(gè)連續(xù)正整數(shù)乘積加1得到的平方數(shù)的平方根中，末位為1的個(gè)數(shù)。通過(guò)分析可知，通項(xiàng)公式為an=n2+3n+1，底數(shù)序列為5，11，19，29，41，55，71...，其差值為等差數(shù)列，計(jì)算n的末位k（k=0到9）對(duì)應(yīng)的an的末位，當(dāng)k=0、2、5、7時(shí)，an的末位為1，即n≡0，2，5，7（mod10）時(shí)，末位為1，每10個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，每個(gè)周期內(nèi)有4個(gè)符合條件的n，總共有2017個(gè)數(shù)，分為201個(gè)完整周期，剩余7個(gè)數(shù)（n=2011到2017），據(jù)此計(jì)算即可。二、計(jì)算題（每題10分，共計(jì)20分）9．簡(jiǎn)便計(jì)算：100.4×10031002-100.2×10031004【答案】解：100.4×10031002-100.2×10031004

=（100.2+0.2）×10031002-100.2×（10031002+2）

=（100.2×10031002+0.2×10031002）-（100.2×10031002+100.2×2）

=100.2×10031002+0.2×10031002-100.2×10031002-100.2×2

=0.2×10031002-100.2×2

=0.2×10031002-1002×0.2

=0.2×（10031002-1002）

=0.2×10030000

=2006000【知識(shí)點(diǎn)】小數(shù)乘法運(yùn)算律【解析】【分析】本題需要通過(guò)觀察數(shù)字特征，拆分項(xiàng)并應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。首先通過(guò)乘法分配律把原式變?yōu)椋?00.2+0.2）×10031002-100.2×（10031002+2），再展開(kāi)相減后利用乘法分配律，提取2次公因數(shù)計(jì)算即可。10．已知12+22+32+42+……+992+1002=a，請(qǐng)用含a的式子表示下列兩題結(jié)果。（1）22+42+62+82+……+1982+2002；（2）1×2＋2×3＋3×4+……+100×101。【答案】（1）解：（1）22+42+62+82+……+1982+2002

=22×（12+22+32+42+??+992+1002）

=22×a

=4a（2）解：（2）1×2+2×3+3×4+……+100×101

=12+1+22+2+32+3+……+1002+100

=1+2+3+……+100+a

=100×（100+1）【知識(shí)點(diǎn)】四則混合運(yùn)算中的巧算；高斯求和【解析】【分析】（1）本題需要通過(guò)觀察數(shù)字特征，拆分項(xiàng)并應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，先提取22，把12+22+32+42+??+992+1002用a替換；

（2）關(guān)鍵在于將所求式子轉(zhuǎn)化為已知的平方和a的形式。把原式變?yōu)?2+1+22+2+32+3+……+1002+100，然后把12+22+32+42+??+992+1002用a替換即可求解。三、解答題（第11-13題各12分，第14-15題各15分，共計(jì)66分）11．如圖所示，將一個(gè)長(zhǎng)為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長(zhǎng)方體木塊分別沿長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向鋸開(kāi)1、2、3次，得到24個(gè)長(zhǎng)方體木塊。這24個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積的和是多少平方厘米？【答案】解：（8×7+8×6+7×6）×2+7×6×2+8×6×（2×2）+8×7×（2×3）

=（56+48+42）×2+42×2+48×4+56×6

=146×2+84+192+336

=292+84+192+336

=376+192+336

=568+336

=904（平方厘米）

答：這24個(gè)小長(zhǎng)方體木塊的表面積的和是904平方厘米?！局R(shí)點(diǎn)】長(zhǎng)方體的表面積；組合體的表面積的巧算【解析】【分析】本題需要計(jì)算將一個(gè)長(zhǎng)方體木塊沿不同方向切割后所有小長(zhǎng)方體的表面積之和。關(guān)鍵在于理解切割次數(shù)對(duì)表面積的影響。每次切割會(huì)增加兩個(gè)與切割方向垂直的面的面積，因此總增加的表面積可以通過(guò)計(jì)算各方向切割次數(shù)對(duì)應(yīng)的新增面積之和，再加上原長(zhǎng)方體的表面積。12．某個(gè)城市的街道圖是有3×3的方格所構(gòu)成。如圖所示，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是20米。一位清潔工人從點(diǎn)A出發(fā)，沿著道路清掃街道。他必須打掃每一條街道，最后回到A點(diǎn)。當(dāng)他完成工作時(shí)，請(qǐng)問(wèn)他至少走了多少米？【答案】解：20×（3×4×2＋4）

=20×（24+4）

＝560（米）答：他至少走了560米。【知識(shí)點(diǎn)】標(biāo)數(shù)法（最短路線）；最大與最小【解析】【分析】本題需找到圖中所有奇度頂點(diǎn)并計(jì)算重復(fù)邊的最小總長(zhǎng)度，從而確定最短回路。3×3方格共有9個(gè)交叉點(diǎn)，每個(gè)交叉點(diǎn)的度數(shù)由相鄰邊數(shù)決定。通過(guò)分析度數(shù)奇偶性，確定需重復(fù)的邊將圖中的8個(gè)奇點(diǎn)全部重復(fù)走一遍，改為偶點(diǎn)，如圖所示：

所以他至少走了20×（3×4×2+4）米。13．威威有非常多的玩具士兵，他可以將這些士兵玩具排成一個(gè)有許多行、許多列的長(zhǎng)方形。若從中移除100個(gè)玩具士兵后，仍可以將剩下的玩具士兵恰好排成一個(gè)減少5列，增多5行的長(zhǎng)方形。請(qǐng)問(wèn)他必須從最開(kāi)始的長(zhǎng)方形中移除多少個(gè)玩具士兵，才能將剩下的玩具士兵恰好排成一個(gè)減少11列，增多11行的長(zhǎng)方形？【答案】解：設(shè)每行有r個(gè)，每列有c個(gè)，移除a個(gè)玩具士兵，

r×c-100=（r-5）（c+5），

整理得：c-r=15……①，

r×c-a=（r-11）×（c+11），

整理得：a=11（c-r）+121……②，

把①代入②，解得：

a=11×15+121=286。

答：他必須從最開(kāi)始的長(zhǎng)方形中移除286個(gè)玩具士兵，才能將剩下的玩具士兵恰好排成一個(gè)減少11列，增多11行的長(zhǎng)方形。【知識(shí)點(diǎn)】列方程解含有多個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題【解析】【分析】題目要求通過(guò)初始矩陣的行數(shù)和列數(shù)關(guān)系，建立方程求解移除士兵的數(shù)量。首先設(shè)定初始行數(shù)為r，列數(shù)為c，根據(jù)移除100個(gè)士兵后變?yōu)閞-5行和c+5列的條件，推導(dǎo)出c-r=15。接著利用該關(guān)系計(jì)算移除11行和增加11列時(shí)需要移除的士兵數(shù)。14．已知ABCD與AECF是兩個(gè)全等的矩形，且AB=AF=20cm、AD=AE＝50cm，如下圖所示，請(qǐng)問(wèn)四邊形AGCH的面積是多少平方厘米？【答案】解：由題可知：

AF=DC=20cm，

∠AFH=∠HDC，

∠AHF=∠DHC，

所以：△AF