第02講線段的垂直平分線課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①線段垂直平分線的定義②線段垂直平分線的性質(zhì)③作已知線段的垂直平分線④線段垂直平分線的判定掌握線段垂直平分線的定義與性質(zhì)并能夠運(yùn)用其性質(zhì)解決相關(guān)題目。掌握線段垂直平分線的畫法，能夠熟練的話線段垂直平分線以及根據(jù)作圖痕跡判斷并解決相關(guān)問(wèn)題。掌握線段垂直平分線的判定，并能熟練進(jìn)行相關(guān)證明。知識(shí)點(diǎn)01線段垂直平分線的定義線段垂直平分線的定義：過(guò)線段的中點(diǎn)且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。如圖，若點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)且MN⊥AB，則MN是線段AB的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)02線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì)：①線段垂直平分線垂直且平分線段。如圖：∠PCA＝∠PCB＝90°，AC＝BC。②垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。即PA＝PB。所以△PAB是等腰三角形。在Rt△PAC與Rt△PBC中∴Rt△PAC≌Rt△PBC∴∠A＝∠B；∠APC＝∠BPC?！炯磳W(xué)即練1】1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC的長(zhǎng)為（）A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AD＝BD，再利用已知條件三角形的周長(zhǎng)計(jì)算．【解答】解：∵△DBC的周長(zhǎng)＝BC+BD+CD＝35cm（已知）又∵DE垂直平分AB∴AD＝BD（線段垂直平分線的性質(zhì)）故BC+AD+CD＝35cm∵AC＝AD+DC＝20（已知）∴BC＝35﹣20＝15cm．故選：C．【即學(xué)即練2】2．如圖，DE是△ABC中邊AC的垂直平分線，若BC＝18cm，AB＝10cm，則△ABD的周長(zhǎng)為（）A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BC，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，∵BC＝18cm，AB＝10cm，∴△ABD的周長(zhǎng)＝18+10＝28cm．故選：B．【即學(xué)即練3】3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是線段AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．求∠EBC的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線得出AE＝BE，求出∠ABE，相減即可求出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝54°﹣36°＝18°．知識(shí)點(diǎn)03作已知線段的垂直平分線作已知線段的垂直平分線：具體步驟：①以線段兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，大于線段長(zhǎng)度的一半為半徑畫圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過(guò)MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②垂直平分線的證明：如圖③，連接MA，MB，NA，NB。由作圖過(guò)程可知MA＝MB＝NA＝NB在△MAN與△MBN中∴△MAN≌△MBN∴∠AMO＝∠BMO在△AMO與△BMO中∴△AMO≌△BMO∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90°∴MN垂直平分AB?！炯磳W(xué)即練1】4．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D．則∠ACD的大小為（）A．60° B．75° C．65° D．70°【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC＝DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，線段BC的垂直平分線交AB于D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，故選：B．【即學(xué)即練2】5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若AC＝3，AB＝5，則BE等于（）A．2 B． C． D．【分析】連接EA，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：連接EA，∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，由作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，則AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣BE）2＝BE2，解得，BE＝，故選：C．知識(shí)點(diǎn)04線段的垂直平分線的判定線段垂直平分線的判定方法①：根據(jù)定義證明一條直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)且與線段垂直。方法②：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在這條線段的垂直平分線上。證明一個(gè)點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等?！炯磳W(xué)即練1】6．元旦聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學(xué)距離相等的位置放一個(gè)凳子，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝．如果將A、B、C三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最合適．故選：D．【即學(xué)即練2】7．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF．【分析】根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理解答．【解答】證明：設(shè)AD、EF的交點(diǎn)為K，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF．∵AD是△ABC的角平分線∴AD是線段EF的垂直平分線．題型01利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段（長(zhǎng)度與周長(zhǎng)）【典例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，則BE的長(zhǎng)為（）A．5 B．10 C．12 D．13【分析】根據(jù)勾股定理求出EA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，EC＝5，由勾股定理得，EA＝＝＝13，∵ED垂直平分AB，∴EB＝EA＝13，故選：D．【變式1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，且DE＝2，則CE＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】連接AE，先利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠BAC＝60°，然后再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝EB，故可得出∠DAE＝∠B＝30°，得出AE平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】解：連接AE，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵DE垂直平分AB，∴AE＝EB，∴∠DAE＝∠B＝30°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°∴AE平分∠BAC，∴EC＝ED＝2，故選：C．【變式2】如圖，△ABC中邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AE＝3cm，△ADC的周長(zhǎng)為9cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（）cm．A．9 B．12 C．15 D．18【分析】求△ABC的周長(zhǎng)，已經(jīng)知道AE＝3cm，則知道AB＝6cm，只需求得BC+AC即可，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AD＝BD，于是BC+AC等于△ADC的周長(zhǎng)，代入求出即可．【解答】解：∵AB的垂直平分AB，∴AE＝BE，BD＝AD，∵AE＝3cm，△ADC的周長(zhǎng)為9cm，∴△ABC的周長(zhǎng)是9cm+2×3cm＝15cm，故選：C．【變式3】如圖，在△ABC中，BC＝6，邊AB的垂直平分線交BC于M，點(diǎn)N在MC上，連接AM，AN，∠C＝∠NAC，則△MAN的周長(zhǎng)為（）A．6 B．4 C．3 D．12【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到MB＝MA，根據(jù)等腰三角形的判定得到NA＝NC，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵邊AB的垂直平分線交BC于M，∴MB＝MA，∵∠C＝∠NAC，∴NA＝NC，∴△MAN的周長(zhǎng)＝MA+MN+NA＝MB+MN+NC＝BC＝6，故選：A．【變式4】如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，BC＝13cm，則△AEG的周長(zhǎng)為（）A．6.5cm B．13cm C．26cm D．15cm【分析】根據(jù)題意可推出AE＝BE，AG＝CG，所以△AEG的周長(zhǎng)＝AE+AG+EG＝BE+EG+GC＝BC＝13cm．【解答】解：∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴AE＝BE，AG＝CG，∵△AEG的周長(zhǎng)＝AE+AG+EG，∴△AEG的周長(zhǎng)＝BE+EG+GC＝BC，∴△AEG的周長(zhǎng)＝13cm．故選：B．【變式5】如圖，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，點(diǎn)P為直線EF上的任一點(diǎn)則△ABP周長(zhǎng)的最小值是（）A．8.5 B．9 C．12 D．12.5【分析】設(shè)EF交BC于點(diǎn)D，連接AD，CP，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出DA＝DC，PA＝PC，當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，△APB的周長(zhǎng)最小，據(jù)此即可求解．【解答】解：如圖所示，設(shè)EF交BC于點(diǎn)D，連接AD，CP，∵EF垂直平分AC，∴DA＝DC，PA＝PC，∵△APB的周長(zhǎng)為AB+AP+BP＝AB+BP+PC≥AB+BC，當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，△APB的周長(zhǎng)最小，最小值為AB+BC＝9，故選：B．題型02利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度【典例1】如圖：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，∠CAD：∠DAB＝2：1，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【分析】由DE是AB的垂直平分線，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得∠B＝∠BAD，結(jié)合∠CAD：∠DAB＝2：1與直角三角形兩銳角互余，可以得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分線∴∠B＝∠BAD∵∠CAD：∠DAB＝2：1∴4∠B＝90°∴∠B＝22.5°故選：B．【變式1】如圖，線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，∠A＝36°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．36° B．38° C．48° D．52°【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到AD＝CD，等邊對(duì)等角得到∠ACD＝∠A即可．【解答】解：∵線段AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A，∵∠A＝36°，∴∠ACD＝36°；故選：A．【變式2】如圖，在△ABC中，∠A＝70°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交AB于點(diǎn)E，連接CE，作∠ACE的平分線，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則∠F的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．55°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠ACB＝110°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EC，得到∠ECB＝∠B，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠B+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，ED⊥BC，∴ED是BC的垂直平分線，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠B，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝∠ECF，∴∠FCD＝∠ECB+∠ECF＝55°，∴∠F＝90°﹣55°＝35°，故選：B．【變式3】如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AB和AC，垂足為M，N．且分別交BC于點(diǎn)D，E．若∠DAE＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．110° D．120°【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)得DB＝DA，EA＝EC，則∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形內(nèi)角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵DM，EN分別垂直平分AB和AC，∴DB＝DA，EA＝EC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°，∴2∠BAD+2∠EAC＝160°，∴∠BAD+∠CAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°．故選：A．【變式4】如圖，在△ABC中，∠ABC＝52°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M，N，若M在PA的垂直平分線上，N在PC的垂直平分線上，則∠APC的度數(shù)為（）A．115° B．116° C．117° D．118°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BMN+∠BNM＝128°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，由“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”得∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，可得∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM，推出∠MPA+∠CPN＝∠BMN+∠BNM＝×128°＝64°，從而由平角定義得到結(jié)論．【解答】解：∵∠ABC＝52°，∴∠BMN+∠BNM＝128°．∵M(jìn)在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，∴AM＝PM，PN＝CN．∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，∴∠MPA＝∠BMN，∠CPN＝∠BNM．∴∠MPA+∠CPN＝（∠BMN+∠BNM）＝×128°＝64°．∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．故選：B．題型03根據(jù)作圖痕跡判斷并解決問(wèn)題【典例1】如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝5，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則△ADC的周長(zhǎng)是（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到AD＝BD，進(jìn)而得出AD+CD＝BC＝5，即可得到△ADC的周長(zhǎng)．【解答】解：如圖，DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BD+DC＝BC＝5，又∵AC＝3，∴△ADC的周長(zhǎng)＝5+3＝8，故選：A．【變式1】如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂線性質(zhì)知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，從而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，由作圖可知MN為AC的中垂線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故選：C．【變式2】如圖，在△ABC中，分別以頂點(diǎn)A，B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑面?。ɑ∷趫A的半徑均相等），兩弧相交于點(diǎn)M，N，連接MN，分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)D，E．若AC＝5，△AEC的周長(zhǎng)為17，則BC的長(zhǎng)為（）A．7 B．10 C．12 D．17【分析】由題意可得MN是線段AB的垂直平分線，根據(jù)其性質(zhì)可得AE＝BE，再結(jié)合已知條件求得AE+CE＝17﹣5＝12，繼而求得BC的長(zhǎng)度．【解答】解：由題意可得MN是線段AB的垂直平分線，則AE＝BE，∵△AEC的周長(zhǎng)為17，∴AC+AE+CE＝17，∵AC＝5，∴AE+CE＝17﹣5＝12，∵AE＝BE，∴BE+CE＝17﹣5＝12，即BC＝12，故選：C．【變式3】如圖，在△ABC中，AB＞AC，按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC一半的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD．若AB＝8，AC＝4，則△ACD的周長(zhǎng)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可得MN是線段BC的垂直平分線，得CD＝BD，進(jìn)而可得△ACD的周長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)作圖過(guò)程可知：MN是線段BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∴△ACD的周長(zhǎng)為：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．故選：D．題型04線段的垂直平分線的判定【典例1】如圖所示，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD交于點(diǎn)G，求證：AD垂直平分EF．【分析】求出DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，根據(jù)HL證Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE＝AF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可．【解答】證：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分EF．【變式1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD，CE相交于F．試判斷AF所在直線與BC的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和垂線定義證∠FBC＝∠FCB，再由等腰三角形的判定即可得出FB＝FC；證直線AF是BC的垂直平分線，即可得出結(jié)論．【解答】解：直線AF是BC的垂直平分線，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠CEB＝∠BDC＝90°，∠BCE＝90°﹣∠ABC，∠DBC＝90°﹣∠ACB，∴∠BCE＝∠DBC，∴BF＝CF，∵AB＝AC，∴直線AF是BC的垂直平分線，∴直線AF⊥BC．【變式2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且在BD的垂直平分線EG上，DE交AC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)E在AF的垂直平分線上．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BEG＝∠DEG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，等量代換得到∠EAF＝∠AFE，根據(jù)得到結(jié)論．【解答】解：∵EG垂直平分BD，∴BE＝DE，∴∠BEG＝∠DEG，∵∠ACB＝90°，∴EG∥AC，∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，∴∠EAF＝∠AFE，∴AE＝EF，∴點(diǎn)E在AF的垂直平分線上．【變式3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點(diǎn)M交BE于點(diǎn)G，AD平分∠MAC，交BC于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F．求證：線段BF垂直平分線段AD．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝∠BAM，根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即線段BF垂直平分線段AD．【變式4】如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，直線EF，MN交于點(diǎn)P．（1）求證：點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；（2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度數(shù)．【分析】（1）連接BP，AP，PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB＝PA＝PC，從而證明結(jié)論即可；（2）先根據(jù)相等垂直平分線的性質(zhì)證明FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°，再設(shè)∠B＝x，∠C＝y(tǒng)，然后根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和是180°，求出x+y，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BFE和∠CNM，再根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)求出∠PFN，∠PNF，最后利用三角形內(nèi)角和定理求出答案即可．【解答】（1）證明：如圖所示：連接BP，AP，PC，∵PE⊥AB，PM⊥AC，∴PA＝PB，PA＝PC，∴PB＝PC，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上；（2）解：∵PE⊥AB，PM⊥AC，∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°，∴∠B+∠BFE＝∠C+∠MNC＝90°，設(shè)∠B＝x，∠C＝y(tǒng)，∴∠B＝∠BAF＝x，∠C＝∠CAN＝y(tǒng)，∠BFE＝90°﹣x，∠MNC＝90°﹣y，∴∠PFN＝∠BFE＝90°﹣x，∠PNF＝∠MNC＝90°﹣y，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∠FAN＝56°∴2x+2y+56°＝180°，2（x+y）＝124°，x+y＝62°，∵∠PFN+∠PNF+∠FPN＝180°，∴90°﹣x+90°﹣y+∠FPN＝180°，∴∠FPN＝180°﹣180°+（x+y）＝62°．題型05線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用【典例1】如圖，三座商場(chǎng)分別坐落在A、B、C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個(gè)地鐵站，使得該地鐵站到三座商場(chǎng)的距離相等，該地鐵站應(yīng)建在（）A．三角形三條中線的交點(diǎn) B．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) C．三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵該地鐵站到三座商場(chǎng)的距離相等，∴該地鐵站應(yīng)建在三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：D．【變式1】三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)公園，要使公園到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)公園應(yīng)建的位置是△ABC的（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等解答即可．【解答】解：∵線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，∴這個(gè)公園應(yīng)建的位置是△ABC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．故選：B．【變式2】如圖，直線m表示一條公路，A、B表示兩所大學(xué)．要在公路旁修建一個(gè)車站P使到兩所大學(xué)的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D上找出這點(diǎn)P．【分析】連接AB．根據(jù)“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”知，點(diǎn)P應(yīng)是AB線段的垂直平分線與直線m的交點(diǎn)．【解答】解：如圖所示，點(diǎn)P是AB線段的垂直平分線與直線m的交點(diǎn)．【變式3】如圖所示，A，B，C三點(diǎn)表示三個(gè)村莊，為了解決村民子女就近入學(xué)的問(wèn)題，有關(guān)部門計(jì)劃建一所小學(xué)，要使學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，學(xué)校的位置應(yīng)設(shè)在何處？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】作出AC，BC的中垂線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是所求的點(diǎn)．【解答】解：如圖，作出AC和BC的中垂線，相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是所求的到三村距離相等的點(diǎn)．理由：∵點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，∴PA＝PC．∵點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∴PB＝PC，∴PA＝PB＝PC．【變式4】作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）如圖：某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點(diǎn)M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路）．現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉(cāng)庫(kù)，希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你能確定倉(cāng)庫(kù)P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計(jì)方案．【分析】先連接MN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段MN的垂直平分線DE，再作出∠AOB的平分線OF，DE與OF相交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求．【解答】解：如圖所示：（1）連接MN，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑畫圓，兩圓相交于DE，連接DE，則DE即為線段MN的垂直平分線；（2）以O(shè)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫圓，分別交OA、OB于G、H，再分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫圓，兩圓相交于F，連接OF，則OF即為∠AOB的平分線（或∠AOB的外角平分線）；（3）DE與OF相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周長(zhǎng)為：4+3＝7．故選：A．2．兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉兔子，必須到三個(gè)洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC（）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)【分析】用線段垂直平分線性質(zhì)判斷即可．【解答】解：獵狗到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC的三條邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：C．3．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．75° D．85°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠C＝35°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，故選：A．4．如圖，△ACB中，∠ACB＝90°，DF垂直平分AC，E為CF中點(diǎn)，連接DE，若DE＝2，則BF的長(zhǎng)為（）A．3 B． C．4 D．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到FA＝FC，DF⊥AC，證明∠B＝∠FCB，得到FC＝BF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出FC，進(jìn)而求出BF．【解答】解：∵DF垂直平分AC，∴FA＝FC，DF⊥AC，∴∠A＝∠FCA，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠FCA+∠FCB＝90°，∴∠B＝∠FCB，∴FC＝BF，在Rt△FDC中，E為CF中點(diǎn)，DE＝2，∴FC＝2DE＝4，∴BF＝4，故選：C．5．如圖，在△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)F，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)H，則△AFH的周長(zhǎng)是（）A． B．10 C．12 D．【分析】由FD是AB的垂直平分線，HG是AC的垂直平分線，得出AF＝BF，AH＝CH，即可求解．【解答】解：∵FD是AB的垂直平分線，HG是AC的垂直平分線，∴AF＝BF，AH＝CH，∵BC＝12，∴△AFH的周長(zhǎng)＝AF+FH+AH＝BF+FH+CH＝BC＝12，故選：C．6．如圖，在△ABC中，∠A＝58°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在PB，PC的垂直平分線上，則∠BPC的度數(shù)為（）A．122° B．120° C．119° D．116°【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可知∠EBP＝∠EPB，∠FCP＝∠FPC．再根據(jù)平角和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別在PB，PC的垂直平分線上，∴∠EBP＝∠EPB，∠FCP＝∠FPC．∵∠EPB+∠BPC+∠FPC＝180°，∴∠EBP+∠BPC+∠FCP＝180°．∵∠PBC+∠BPC+∠PCB＝180°，∴∠EBP+∠FCP＝∠PBC+∠PCB．∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，即∠A+∠EBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB＝180°，∵∠A＝58°，∴∠EBP+∠FCP+∠PBC+∠PCB＝122°，∴，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝119°．故選：C．7．點(diǎn)M是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接MA、MB、MC，若∠MBC+∠ACM＝75°，則∠BAM的值是（）A．45° B．30° C．25° D．15°【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得MA＝MB＝MC，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠MCA＝∠MAC，∠MBC＝∠MCB，∠MAB＝∠MBA，然后利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)M為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴MA＝MB＝MC，∴∠MCA＝∠MAC，∠MBC＝∠MCB，∠MAB＝∠MBA，∵∠MBC+∠ACM＝75°，∴∠MAC+∠MCA+∠MCB+∠MBC＝150°，∴，故選：D．8．如圖，△ABC中，∠BAC＝105°，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，則∠EAF的度數(shù)為（）A．65° B．50° C．30° D．45°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C＝75°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解答】解：∵∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝180°﹣105°＝75°，∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，∴EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝75°，∴∠EAF＝105°﹣75°＝30°，故選：C．9．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，MF垂直平分AE，垂足為點(diǎn)H，分別交AB、AD、AC于點(diǎn)N、G、F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EF，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠M＝∠DAE B． C．EF∥AB D．∠EFC＝2∠M+∠C【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADB＝∠AHG＝90°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠M+∠MGD＝90°，∠DAE+∠AGH＝90°，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠MGD＝∠AGH，從而可得∠M＝∠DAE，然后利用角平分線的定義可得∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，從而利用角的和差關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算可得：∠DAE＝（∠ABC﹣∠C），再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得FA＝FE，從而可得∠CAE＝∠FEA，進(jìn)而可得∠BAE＝∠FEA，最后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥FE，從而可得∠ABC＝∠FEC，再利用等量代換可得∠M＝（∠ABC﹣∠C），從而可得2∠M＝∠ABC﹣∠C，進(jìn)而可得2∠M+∠C＝∠ABC，即可解答．【解答】解：∵AD⊥BC，F(xiàn)M⊥AE，∴∠ADB＝∠AHG＝90°，∴∠M+∠MGD＝90°，∠DAE+∠AGH＝90°，∵∠MGD＝∠AGH，∴∠M＝∠DAE；∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝（180°﹣∠ABC﹣∠C）﹣（90°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC﹣∠C﹣90°+∠ABC＝（∠ABC﹣∠C）；∵FM是AE的垂直平分線，∴FA＝FE，∴∠CAE＝∠FEA，∴∠BAE＝∠FEA，∴AB∥FE；∴∠ABC＝∠FEC，∵∠DAE＝∠M，∠DAE＝（∠ABC﹣∠C），∴∠M＝（∠ABC﹣∠C），∴2∠M＝∠ABC﹣∠C，∴2∠M+∠C＝∠ABC，∴2∠M+∠C＝∠FEC，故A、B、C都正確，D不正確，故選：D．10．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．以下四個(gè)結(jié)論：①∠EAD＝∠EDA；②DF∥AC；③∠FDE＝90°；④∠B＝∠CAE．恒成立的結(jié)論有（）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)線段的垂直平分線或平行線的判定與性質(zhì)逐一推理即可．【解答】①∵EF是AD的垂直平分線，∴EA＝ED，可證∠EAD＝∠EDA．②∵EF是AD的垂直平分線，∴FA＝FD，可證∠FDA＝∠FAD，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC．③∵FD與BE不一定互相垂直，∴③不一定成立．④由①②得∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，∴∠B＝∠CAE．故選：C．11．如圖，在△ABC中，DE、DF分別是AC、BC邊的垂直平分線，連接AD、BD、CD，若∠ACB＝40，則∠BAD的度數(shù)為50°．【分析】延長(zhǎng)CD交AB于M，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝CD，BD＝CD，即得到∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，AD＝BD，得到∠ADM＝2∠DCA，∠BDM＝2∠DCB，∠BAD＝∠ABD，進(jìn)而由三角形外角性質(zhì)可得到∠ADB＝80°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：延長(zhǎng)CD交AB于M，∵DE、DF分別是AC、BC邊的垂直平分線，∴AD＝CD，BD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，AD＝BD，∴∠ADM＝2∠DCA，∠BDM＝2∠DCB，∠BAD＝∠ABD，∴∠ADM+∠BDM＝2∠DCA+2∠DCB＝2（∠DCA+∠DCB）＝2∠ACB＝80°，即∠ADB＝80°，∴，故答案為：50．12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分別交AB．BC于點(diǎn)D、E，且DE＝2，則CE為2．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC的度數(shù)，再由DE垂直平分AB得出AE＝BE，故∠EAD＝∠B＝30°，故可得出AE是∠BAC的角平分線，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∵DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點(diǎn)D、E，∴AE＝BE，∴∠EAD＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°，∴AE是∠BAC的平分線，∵DE＝2，∴CE＝DE＝2．故答案為：2．13．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF＝48°．【分析】根據(jù)角平分線定義求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°，∵FE是BC的中垂線，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠DBC＝24°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°，故答案為：48°．14．如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．若AB＝10，則△CDE的周長(zhǎng)為10．【分析】根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等直接求解即可得到答案．【解答】解：∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴DA＝DC，EB＝EC，∵AB＝10，∴C△CDE＝CD+DE+CE＝AD+DE+EB＝10，故答案為：10．15．如圖，OE、OF分別是AC、BD的垂直平分線，垂足分別為E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，則∠OBD＝44°．【分析】連接OA、OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OD，證明△AOB≌△COD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABO＝∠CBO，計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OA、OC，∵OE、OF分別是AC、BD的垂直平分線，∴OA＝OC，OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠ABO＝∠CBO，∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°，∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°，故答案為：44．16．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為線段CE的中點(diǎn)，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）連接AE，趕緊蓄電池組平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，得到AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B＝35°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAD，再根據(jù)等腰三角形的三線合一解答即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AE，∵EF是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∵BE＝AC，∴AE＝AC，∵D為線段CE的中點(diǎn)，∴AD⊥BC；（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，∴∠EAB＝∠B＝35°，∵AD⊥BC，∠B＝35°，∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，∵AE＝AC，D為線段CE的中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠EAD＝20°，∴∠BAC＝55°+20°＝75°．17．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D；②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點(diǎn)E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線DF，交CB于D，交AB于F，連接AD；作∠CAD的角平分線交BC于E，點(diǎn)D，射線AE即為所求．（2）首先證明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D，射線AE即為所求．（2）∵DF垂直平分線段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝40°．18．如圖，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，AD⊥BC，垂足為D，且BD＝DE，連接AE．（1）求證：AB＝EC；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AC＝7cm，則D