2025方差與標(biāo)準(zhǔn)差測試題及參考答案一、單選題1.一組數(shù)據(jù)\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的方差是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B解析：首先求平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3\)，根據(jù)方差公式\(s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}]\)，可得\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}]=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)=2\)。2.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(4\)，則數(shù)據(jù)\(2x_{1}+3\)，\(2x_{2}+3\)，\(\cdots\)，\(2x_{n}+3\)的方差是（）A.\(11\)B.\(9\)C.\(4\)D.\(16\)答案：D解析：若數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(s^{2}\)，則\(ax_{i}+b\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）的方差為\(a^{2}s^{2}\)。已知\(s^{2}=4\)，\(a=2\)，所以方差為\(2^{2}\times4=16\)。3.若樣本\(1+x_{1}\)，\(1+x_{2}\)，\(1+x_{3}\)，\(\cdots\)，\(1+x_{n}\)的平均數(shù)是\(10\)，方差為\(2\)，則對于樣本\(2+2x_{1}\)，\(2+2x_{2}\)，\(2+2x_{3}\)，\(\cdots\)，\(2+2x_{n}\)，下列結(jié)論正確的是（）A.平均數(shù)為\(20\)，方差為\(4\)B.平均數(shù)為\(20\)，方差為\(8\)C.平均數(shù)為\(21\)，方差為\(8\)D.平均數(shù)為\(21\)，方差為\(4\)答案：B解析：已知樣本\(1+x_{1}\)，\(1+x_{2}\)，\(\cdots\)，\(1+x_{n}\)的平均數(shù)\(\bar{y}=10\)，方差\(s_{y}^{2}=2\)。對于樣本\(2+2x_{i}=2(1+x_{i})\)（\(i=1,\cdots,n\)），根據(jù)平均數(shù)和方差性質(zhì)，新樣本平均數(shù)\(\bar{z}=2\bar{y}=2\times10=20\)，方差\(s_{z}^{2}=2^{2}s_{y}^{2}=4\times2=8\)。4.甲、乙兩人在相同條件下各射擊\(10\)次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是\(s_{甲}^{2}=0.2\)，\(s_{乙}^{2}=0.5\)，則兩人中成績更穩(wěn)定的是（）A.甲B.乙C.一樣穩(wěn)定D.無法確定答案：A解析：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。因?yàn)閈(s_{甲}^{2}=0.2\lts_{乙}^{2}=0.5\)，所以甲的成績更穩(wěn)定。5.數(shù)據(jù)\(5\)，\(7\)，\(8\)，\(10\)，\(12\)，\(12\)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(2\)D.\(2\sqrt{2}\)答案：D解析：先求平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{5+7+8+10+12+12}{6}=9\)，再求方差\(s^{2}=\frac{1}{6}[(5-9)^{2}+(7-9)^{2}+(8-9)^{2}+(10-9)^{2}+(12-9)^{2}+(12-9)^{2}]=\frac{1}{6}(16+4+1+1+9+9)=8\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)。6.已知一組數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的方差為\(4\)，則\(2x_{1}-3\)，\(2x_{2}-3\)，\(2x_{3}-3\)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)答案：C解析：已知數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的方差\(s_{1}^{2}=4\)，對于數(shù)據(jù)\(ax_{i}+b\)（\(i=1,2,3\)），這里\(a=2\)，\(b=-3\)，其方差\(s_{2}^{2}=a^{2}s_{1}^{2}=2^{2}\times4=16\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s=\sqrt{s_{2}^{2}}=\sqrt{16}=4\)。7.若\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(x\)的平均數(shù)是\(3\)，且\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(x\)，\(y\)的方差是\(2\)，則\(y\)的值是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：C解析：由\(\frac{1+2+3+x}{4}=3\)，可得\(x=6\)。又因?yàn)閈(\frac{1+2+3+6+y}{5}=\frac{12+y}{5}\)，且方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-\frac{12+y}{5})^{2}+(2-\frac{12+y}{5})^{2}+(3-\frac{12+y}{5})^{2}+(6-\frac{12+y}{5})^{2}+(y-\frac{12+y}{5})^{2}]=2\)，將\(x=6\)代入解得\(y=5\)。8.一組數(shù)據(jù)\(a-1\)，\(a\)，\(a+1\)，\(a+2\)，\(a+3\)的方差為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：B解析：平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+(a+3)}{5}=a+1\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[((a-1)-(a+1))^{2}+(a-(a+1))^{2}+((a+1)-(a+1))^{2}+((a+2)-(a+1))^{2}+((a+3)-(a+1))^{2}]=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)=2\)。9.樣本數(shù)據(jù)\(3\)，\(6\)，\(a\)，\(4\)，\(2\)的平均數(shù)是\(5\)，則這個(gè)樣本的方差是（）A.\(8\)B.\(5\)C.\(3\)D.\(2\)答案：A解析：由\(\frac{3+6+a+4+2}{5}=5\)，解得\(a=10\)。平均數(shù)\(\bar{x}=5\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(3-5)^{2}+(6-5)^{2}+(10-5)^{2}+(4-5)^{2}+(2-5)^{2}]=\frac{1}{5}(4+1+25+1+9)=8\)。10.已知一組數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差是\(s^{2}\)，將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以\(k\)（\(k\neq0\)），得到一組新數(shù)據(jù)\(kx_{1}\)，\(kx_{2}\)，\(\cdots\)，\(kx_{n}\)，則這組新數(shù)據(jù)的方差是（）A.\(s^{2}\)B.\(ks^{2}\)C.\(k^{2}s^{2}\)D.\(\frac{s^{2}}{k^{2}}\)答案：C解析：根據(jù)方差性質(zhì)，若數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(s^{2}\)，則\(kx_{i}\)（\(i=1,\cdots,n\)）的方差為\(k^{2}s^{2}\)。11.已知樣本\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(2\)，則樣本\(2x_{1}+5\)，\(2x_{2}+5\)，\(\cdots\)，\(2x_{n}+5\)的方差為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(10\)答案：C解析：根據(jù)方差性質(zhì)，若樣本\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(s^{2}\)，對于樣本\(ax_{i}+b\)（\(i=1,\cdots,n\)），其方差為\(a^{2}s^{2}\)。這里\(a=2\)，\(s^{2}=2\)，所以方差為\(2^{2}\times2=8\)。12.若一組數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的平均數(shù)是\(3\)，則數(shù)據(jù)\(2x_{1}-1\)，\(2x_{2}-1\)，\(2x_{3}-1\)的平均數(shù)是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：C解析：已知\(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}=3\)，則\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=9\)。數(shù)據(jù)\(2x_{1}-1\)，\(2x_{2}-1\)，\(2x_{3}-1\)的平均數(shù)\(\bar{y}=\frac{(2x_{1}-1)+(2x_{2}-1)+(2x_{3}-1)}{3}=\frac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3})-3}{3}=\frac{2\times9-3}{3}=5\)。13.一組數(shù)據(jù)\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(9\)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）A.\(2\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(4\)D.\(4\sqrt{2}\)答案：B解析：平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{1+3+5+7+9}{5}=5\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-5)^{2}+(3-5)^{2}+(5-5)^{2}+(7-5)^{2}+(9-5)^{2}]=\frac{1}{5}(16+4+0+4+16)=8\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)。14.已知數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)，\(x_{4}\)，\(x_{5}\)的方差為\(2\)，則數(shù)據(jù)\(2x_{1}-3\)，\(2x_{2}-3\)，\(2x_{3}-3\)，\(2x_{4}-3\)，\(2x_{5}-3\)的方差為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)答案：D解析：根據(jù)方差性質(zhì)，若數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(s^{2}\)，對于數(shù)據(jù)\(ax_{i}+b\)（\(i=1,\cdots,n\)），其方差為\(a^{2}s^{2}\)。這里\(a=2\)，\(s^{2}=2\)，所以方差為\(2^{2}\times2=8\)。15.若\(n\)個(gè)數(shù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的平均數(shù)為\(\bar{x}\)，方差為\(s^{2}\)，則數(shù)據(jù)\(3x_{1}+1\)，\(3x_{2}+1\)，\(\cdots\)，\(3x_{n}+1\)的平均數(shù)和方差分別為（）A.\(3\bar{x}+1\)，\(9s^{2}\)B.\(3\bar{x}+1\)，\(3s^{2}\)C.\(3\bar{x}\)，\(9s^{2}\)D.\(3\bar{x}\)，\(3s^{2}\)答案：A解析：平均數(shù)\(\bar{y}=\frac{(3x_{1}+1)+(3x_{2}+1)+\cdots+(3x_{n}+1)}{n}=\frac{3(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})+n}{n}=3\bar{x}+1\)；方差\(s_{y}^{2}=\frac{1}{n}[(3x_{1}+1-(3\bar{x}+1))^{2}+(3x_{2}+1-(3\bar{x}+1))^{2}+\cdots+(3x_{n}+1-(3\bar{x}+1))^{2}]=\frac{1}{n}[9(x_{1}-\bar{x})^{2}+9(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+9(x_{n}-\bar{x})^{2}]=9s^{2}\)。16.一組數(shù)據(jù)\(2\)，\(4\)，\(6\)，\(8\)，\(10\)的方差是（）A.\(6\)B.\(7\)C.\(8\)D.\(9\)答案：C解析：平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]=\frac{1}{5}(16+4+0+4+16)=8\)。17.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的標(biāo)準(zhǔn)差為\(4\)，則數(shù)據(jù)\(\frac{1}{2}x_{1}-1\)，\(\frac{1}{2}x_{2}-1\)，\(\cdots\)，\(\frac{1}{2}x_{n}-1\)的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)答案：B解析：已知樣本數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的標(biāo)準(zhǔn)差\(s_{1}=4\)，則方差\(s_{1}^{2}=16\)。對于數(shù)據(jù)\(\frac{1}{2}x_{i}-1\)（\(i=1,\cdots,n\)），其方差\(s_{2}^{2}=(\frac{1}{2})^{2}s_{1}^{2}=\frac{1}{4}\times16=4\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s_{2}=\sqrt{4}=2\)。18.若一組數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)，\(x_{4}\)的平均數(shù)是\(5\)，方差是\(4\)，則另一組數(shù)據(jù)\(2x_{1}-3\)，\(2x_{2}-3\)，\(2x_{3}-3\)，\(2x_{4}-3\)的平均數(shù)和方差分別是（）A.\(7\)，\(16\)B.\(7\)，\(8\)C.\(10\)，\(16\)D.\(10\)，\(8\)答案：A解析：平均數(shù)\(\bar{y}=\frac{(2x_{1}-3)+(2x_{2}-3)+(2x_{3}-3)+(2x_{4}-3)}{4}=\frac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-12}{4}=2\times5-3=7\)；方差\(s_{y}^{2}=2^{2}\times4=16\)。19.一組數(shù)據(jù)\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(9\)，\(11\)的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(2\sqrt{3}\)C.\(2\sqrt{5}\)D.\(4\)答案：A解析：平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{3+5+7+9+11}{5}=7\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(3-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(9-7)^{2}+(11-7)^{2}]=\frac{1}{5}(16+4+0+4+16)=8\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)。20.已知數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的方差為\(s^{2}\)，則數(shù)據(jù)\(2x_{1}+1\)，\(2x_{2}+1\)，\(2x_{3}+1\)的方差為（）A.\(s^{2}\)B.\(2s^{2}\)C.\(4s^{2}\)D.\(8s^{2}\)答案：C解析：根據(jù)方差性質(zhì)，若數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(s^{2}\)，對于數(shù)據(jù)\(ax_{i}+b\)（\(i=1,\cdots,n\)），這里\(a=2\)，其方差為\(a^{2}s^{2}=4s^{2}\)。21.若一組數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的平均數(shù)是\(\bar{x}\)，方差是\(s^{2}\)，則數(shù)據(jù)\(x_{1}+3\)，\(x_{2}+3\)，\(\cdots\)，\(x_{n}+3\)的平均數(shù)和方差分別是（）A.\(\bar{x}+3\)，\(s^{2}\)B.\(\bar{x}+3\)，\(s^{2}+3\)C.\(\bar{x}\)，\(s^{2}\)D.\(\bar{x}\)，\(s^{2}+3\)答案：A解析：平均數(shù)\(\bar{y}=\frac{(x_{1}+3)+(x_{2}+3)+\cdots+(x_{n}+3)}{n}=\frac{(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})+3n}{n}=\bar{x}+3\)；方差\(s_{y}^{2}=\frac{1}{n}[((x_{1}+3)-(\bar{x}+3))^{2}+((x_{2}+3)-(\bar{x}+3))^{2}+\cdots+((x_{n}+3)-(\bar{x}+3))^{2}]=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}]=s^{2}\)。22.一組數(shù)據(jù)\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(2\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(3\)答案：A解析：平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{5}[(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}]=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)=2\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s=\sqrt{2}\)。23.已知樣本數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(9\)，則數(shù)據(jù)\(3x_{1}-2\)，\(3x_{2}-2\)，\(\cdots\)，\(3x_{n}-2\)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）A.\(3\)B.\(6\)C.\(9\)D.\(27\)答案：C解析：已知樣本數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差\(s_{1}^{2}=9\)，對于數(shù)據(jù)\(3x_{i}-2\)（\(i=1,\cdots,n\)），其方差\(s_{2}^{2}=3^{2}s_{1}^{2}=9\times9=81\)，標(biāo)準(zhǔn)差\(s_{2}=\sqrt{81}=9\)。24.若一組數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的平均數(shù)是\(4\)，方差是\(3\)，則數(shù)據(jù)\(2x_{1}-1\)，\(2x_{2}-1\)，\(2x_{3}-1\)的平均數(shù)和方差分別是（）A.\(7\)，\(12\)B.\(7\)，\(6\)C.\(8\)，\(12\)D.\(8\)，\(6\)答案：A解析：平均數(shù)\(\bar{y}=\frac{(2x_{1}-1)+(2x_{2}-1)+(2x_{3}-1)}{3}=\frac{2(x_{1}+x_{2}+x_{3})-3}{3}=2\times4-1=7\)；方差\(s_{y}^{2}=2^{2}\times3=12\)。25.一組數(shù)據(jù)\(2\)，\(4\)，\(6\)，\(8\)的方差是（）A.\(4\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(8\)答案：D解析：平均數(shù)\(\bar{x}=\frac{2+4+6+8}{4}=5\)，方差\(s^{2}=\frac{1}{4}[(2-5)^{2}+(4-5)^{2}+(6-5)^{2}+(8-5)^{2}]=\frac{1}{4}(9+1+1+9)=5\)。二、多選題1.下列關(guān)于方差和標(biāo)準(zhǔn)差的說法正確的是（）A.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量B.方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大C.標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大D.方差和標(biāo)準(zhǔn)差都不能為負(fù)數(shù)答案：ABCD解析：方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來衡量一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，即波動(dòng)大小的量，A正確；方差和標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，B、C正確；根據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，它們的值都不能為負(fù)數(shù)，D正確。2.已知數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的方差為\(s^{2}\)，則下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)\(x_{1}+1\)，\(x_{2}+1\)，\(x_{3}+1\)的方差為\(s^{2}\)B.數(shù)據(jù)\(2x_{1}\)，\(2x_{2}\)，\(2x_{3}\)的方差為\(2s^{2}\)C.數(shù)據(jù)\(2x_{1}+1\)，\(2x_{2}+1\)，\(2x_{3}+1\)的方差為\(4s^{2}\)D.數(shù)據(jù)\(-x_{1}\)，\(-x_{2}\)，\(-x_{3}\)的方差為\(s^{2}\)答案：ACD解析：根據(jù)方差性質(zhì)，若數(shù)據(jù)\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(\cdots\)，\(x_{n}\)的方差為\(s^{2}\)，則\(x_{i}+b\)（\(i=1,\cdots,n\)）的方差為\(s^{2}\)，A正確；\(ax_{i}\)（\(i=