浙江省湖州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末調(diào)研測試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若集合A={1,2,4,8,16,32},B^{X\X2EA\,則AB=()

A.{1,4,16}B.{1,2,4)C.{2,8,32}D.{8,16,32}

1

2.己知?(2-ip'其中i為虛數(shù)單位，貝1J|z|=()

A.正B.—C.正D.-

252555

3.直線/，平面a,直線〃?ua,貝IJ/與加的位置關(guān)系一定不成立的是（）

A.平行B.相交C.異面D.垂直

4.已知a,。是兩個單位向量，則“03=0"是“K+.=卜_可”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知樣本數(shù)據(jù)4，x2,x3,乙，%的平均數(shù)為方差為d,若樣本數(shù)據(jù)g+6,辦2+6,L,axn+6

的平均數(shù)為元，方差為4s,則7=()

A.3B.-3C.1或3D.-1或3

6.sinx+cosx=2coscr,siiucosx=sin2^,貝。()

A.cos2dz+2cos2；0=0B.2cos2a+cos2尸=0

C.cos2c-2cos24=0D.2cos2a-cos2/7=0

7.在正三棱柱ABC-4耳G中，。為棱AC的中點，A8=AA=2,則異面直線和所成角的余弦值

為（）

A.姮B.叵正

c.D.0

555

8.在VABC中，已知a+c=3b,則cosB=()

昱

A.1B,C.2D.3

2268

二、多選題

9.已知尸（A）=0.5,P（B）=0.4,P（Ac8）=0.2,則（）

A.P（A）=0.5B.P（AuB）=0.9

C.尸（Ac耳=0.3D.P（A豆）=0.8

10.已知"logzS,b=log31,貝。（）

2b-a

A.ab>0B.40-9*=1C.1-1>1D.log12=

ab6b-a

11.在正方體A3CD—A耳CQ］中，點石、F、G分別是棱Ad、CC］、AD的中點，點M是線段AC上一

個動點（不含端點），則（）

A.與M與EG異面B.瓦加〃平面EFG

C.BMLEGD.與平面砂G所成角正弦值的最大值為還

3

三、填空題

12.已知一個圓錐的底面半徑為4,其體積為16兀，則該圓錐的側(cè)面積為.

7T

13.函數(shù)y=sin（2x+§）的圖象向右平移。（0＜。＜無）個單位后可以得到函數(shù)、=$m2工的圖象，貝1］。=.

14.在平面四邊形A3CD中，E,尸分別為AD,BC的中點，若AB=4,CD=2,且EC=9,則,耳=.

四、解答題

15.隨著暑假的臨近，某市A景區(qū)將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，該市文旅局隨

機選擇100名青年游客對該景區(qū)出行體驗進行滿意度評分（滿分100分），80分及以上為良好等級，根據(jù)評

分數(shù)據(jù)，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中x的值，并估計評分數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；

⑵若采用分層隨機抽樣的方法從評分在［60,70）,［80,90）的兩組中共抽取4人，再從這4人中隨機抽取2人

進行單獨交流，求選取2人的評分等級都為良好的概率.

16.如圖，在三棱臺A3C-A4c［中，平面ABC,AB=BC=BB1=2^=2,AB±BC.

⑴求三棱臺ABC-AB?的體積；

(2)證明：平面ABB,A1平面BCCA.

⑶求AC與平面ABB^所成角的正弦值.

17.記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知c=6(l+2cosA).

⑴證明：A=2B;

(2)若〃=6,b=5,

(i)求cosA的值；

(ii)若點M,N分別在邊BC和AC上，且CMN與VABC的面積之比為:，求線段長的最小值.

6

18.設(shè)函數(shù)/(x)=ln^^—+QX—人(a>O,b￡R).

6-x

⑴判斷函數(shù)“X)的單調(diào)性(無需證明)；

⑵證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

⑶若3a=b,解關(guān)于實數(shù)/的不等式/■卜2―力+3)+〃3+f)>0.

19.四邊形ABC。中，AB^AD=4,連接3D,BC:BD.CD=3:4:5,將△ABD沿3D翻折至△尸3。，其

中點P為動點.

(1)若BD=4壺,且平面PBD_L平面BCD,

(i)求三棱錐P-BCD外接球的半徑；

(ii)求二面角8-尸￡>-。的正切值；

(2)在翻折過程中，若四邊形尸BCO為平面四邊形，求線段尸C長的最大值.

題號12345678910

答案BDACCBDCACBCD

題號11

答案ABD

1.B

根據(jù)給定條件，利用列舉法表示集合3,再利用交集的定義求解.

【詳解】集合A={1,2,4,8,16,32},由匹詞/馬},

得8={-1,1,夜,-2,2,-2A/2,2^,-4,4,-464回，

所以AB={1,2,4}.

故選：B

2.D

先應(yīng)用復(fù)數(shù)的四則運算，化簡復(fù)數(shù)，最后再求模長即可.

1134.

【詳解】=/=五+三

故選：D.

3.A

根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)及線線位置關(guān)系逐項判斷.

【詳解】由直線平面直線根ua,得/_Lm,A錯誤,D正確；

令/I當(dāng)Awm時，/與加相交；當(dāng)人仁加時，/與加是異面直線，BC正確.

故選：A

4.C

由單位向量、向量的數(shù)量積與模長結(jié)合充分必要條件的概念判斷即可.

【詳解】因為a,b是兩個單位向量，所以向=|力|=1

充分性:若a-b=O,則卜+同=|a|2+|z?|,卜—可=悶~+忖,所以歸+在卜卜叫,

必要性:若k+/=卜_q,則卜+或=,一萬「，

即同+2a-/?+1/?|=|a|-2（z-Z?+|/?|,所以a.B=O，

所以，“a-6=0”是++。|=—中的充分必要條件.

故選：C.

5.C

根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式計算即可.

【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)X],尤2，對，X4，%的平均數(shù)為（，方差為S2,

則樣本數(shù)據(jù)g+6,ax2+6,L,以“+6的平均數(shù)為。1+6,方差為a2s"

fdx+6=4x[a=2[a=-2

所以24，解得一w或一..

[a=4[x=3[x=l

故選：C.

6.B

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式探索。、夕的三角函數(shù)的關(guān)系.

【詳解】因為（sinx+cosxj=l+2sinxcosx,

所以（2cosdz）2=1+2sin2（3=>4cos2a=1+2sin?萬，

所以2（l+cos2a）=l+（l-cos2（3）n2cos2a+cos2/7=0.

故選：B

7.D

先利用線線平行確定異面直線4。與所成角的角，再利用勾股定理結(jié)合中點求得。耳。民5石，從而利用

余弦定理即可得解.

【詳解】記4A的中點為E,連接皿,石8,如圖，

因為。為棱AC的中點，E為AA的中點，所以。E//4C,

所以NED3為異面直線AC與3。的所成角（或補角）,

因為在正三棱柱ABC-ABC1中，AB=44,=2,

所以AC=JM+AC?=20,BE7AB2+AE?=5BD=ylAB2-AD2=73-ED——A.C—A/2,

2

b,3八qED-+DB2-BE22+3-5

所以在/\EDB中，cosZEDB=-----------------------=0,

ZED-DB2x75x1

所以異面直線AC與所成角的余弦值為0.

故選：D.

8.C

根據(jù)給定條件，利用余弦定理邊化角，再利用和差角的正弦及二倍角的余弦公式求解.

【詳解】在VABC中，由a+c=3Z?,得sinA+sinC=3sin3,

./A+C+生工）+（如一生）

Bnnpsin（-------sinCt=3sin8,

222

整理得2sinW^cos41c=3sin8,而A—C=],則否sing-gxSsinB,

于是6cos0=6sin0cos0,而cosO>0

解得sin—=—,

222226

所以cos2=l—2sin2'=l-2（B^）2=：.

故選：C

9.AC

根據(jù)對立事件的概率公式，可判斷A的真假；根據(jù)概率的加法公式，可判斷B的真假；根據(jù)互斥事件的概

率公式，可判斷C的真假，根據(jù)摩根定律和對立事件概率公式，可判斷D的真假.

【詳解】對A：根據(jù)對立事件的概率公式，可得：尸（可=1-P（A）=l-0.5=0.5,故A正確；

對B：根據(jù)概率的力口法公式，可得：P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AnB）=0.5+04-0.2=0.7,故B錯誤;

對C：因為A=（ACB）U（AC國，且Ac3與AcX互斥，根據(jù)互斥事件概率加法公式，

可得P（A）=P（AcB）+P（Ac與）nO.5=O.2+P（Ac豆），所以P（Ac5）=0.3,故C正確；

對D：根據(jù)摩根定律，AUB=Ar^B，所以尸（ZC耳）=P（NUZ）=1—P（AU3）=1-0.7=0.3,故D錯誤.

故選：AC.

10.BCD

應(yīng)用指對數(shù)互化、對數(shù)運算法則、換底公式及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,a=log25>log2l=0,b=log31<log3l=0,所以念<0,故A不正確;

對于B,由a=logz5,8=log3；得2"=5,3"=g,40-9*=（2°）2.（3fc）2=52=1,故B正確;

對于C,：一丁32-1。包3=1鳴2+1叫3=1嗝6>1,故c正確;

121g5lg521

2b-a_21嗎§_log?5_+垣_扇+說「gQ。義3）_lgl2

對于D,-故D正確.

…一logj-log25姮+姮-X+X-lg（2x3）-lg6-='

562lg3lg2lg3lg2

故選：BCD.

11.ABD

先證旦G,C，4共面，再根據(jù)異面直線的判定可判斷A；先由線線平行，得到線面平行，進而得到面面平行,

再利用面面平行的性質(zhì)即可判斷B,先得到與平面期C所成角即為與平面EFG所成角，設(shè)正方

體ABCD-4BGR的棱長為1,則8。=百，令BDJ平面AB,C=0，則ZD.MO為D.M與平面AB.C所成角，

由等體積法求得DQ,當(dāng)航為AC中點時，DtM±AC,此時4M最小，從而求得sin/，MO=^的最大

值，即可判斷D.

(詳解】對于A,如圖①,正方體ABCD-ABC"中，E、G分別是9、AD的中點，所以EG〃A。//與C,

所以E,G,C,q共面，由EGu平面EGC耳，耳€平面成?(?四,

EG,Mg平面EGCB],得與M與EG異面，故A正確;

對于B,如圖②，正方體A8CO-4gG2中，令4c的中點為H,又因為E、F、G分別是4人、CG、AD

的中點,

所以ABJ/GH,FH//B、C,AqZ平面EFG,平面￡FG,GH,FHu平面EFG,

故AB"/平面E尸G,8〈//平面EFG,4月c耳C=耳,4月,8夕u平面AB0,

所以平面EGFH//平面做C,B|Mu平面做C,所以4M〃平面跳G,故B正確;

對于C,如圖②，由選項A,知EG//BQ,所以為EG與片M的所成角，在正△△4c中,

ZMBtC<ZABtC=60°,故C不正確;

對于D,由選項B,知平面EGM//平面做C,故與平面做C所成角即為RM與平面EFG所成角,

如圖③,

設(shè)正方體ABCD-A耳G2的棱長為1.貝I臺2=百，令8。；平面AB。=O,因_L平面ABXC,

sinZD.MO=^~

則ZD.MO為D.M與平面AB.C所成角,

DXM

由匕3-A向C=^BX-ABC得SAfi1c.BO=SABC?BtB,與x附.BO=g,

得B0=?,2。=友，

313

在正ARC中，當(dāng)M為AC中點時，D.M1AC,此時RM最小，的最小值為3=立,

22

2」

此時sin/RMOu/g的值最大，最大值為sin/RMO=q^=3^,故D正確.

u\iV1，63

③

故選：ABD.

12.20K

根據(jù)圓錐的體積公式可得〃=3,即可根據(jù)勾股定理求解母線/,由圓錐的側(cè)面積公式代入計算即可.

【詳解】由題意可知：圓錐的底面圓半徑為r=4,則丫=16兀，解得力=3,

故圓錐的母線I="+后=“2+32=5，故側(cè)面積為S=兀力=20兀.

故答案為：2071.

13.-

6

利用圖象平移變換求出函數(shù)式，進而求出。值.

【詳解】函數(shù)y=sin(2x+§)的圖象向右平移。個單位得y=sin[2(x-⑼+1=sin[2.x+(--20)]的圖象,

依題意，sin[2%+(--2^)]=sin2x,而0＜。＜兀，所以。=—.

36

故答案為：~~

6

14.46

結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律可得AB.CD=-2,進而可得同

【詳解】如圖所示，連接AC,取AC中點為G,連接GE,GF,則GE=1C￡＞,GF=^AB,

貝!JEF=GF—=工。。，

22

因為AB=4,CD=2,AB2=16^CD2=4

(11、121

EFAB=\-AB——CD\AB=-AB——ABCD=9,

u2J22

整理可得ABCD=-2,

則|用=^AB-^CD^=^AB-^ABCD+^CD=娓,

故答案為：V6.

15.（l）x=0.03,93.75

⑵之

（1）根據(jù)頻率和為1求X的值，利用品頻率分布直方圖估計百分位數(shù).

（2）利用列舉法求古典概型的概率.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

0.005xl0+0.010xl0+0.015xl0+10x+0.040xl0-l,

解得x=0.03.

因為［90,100］的頻率為10x0.040=0.4>0.25,且［90,100］為最后一組，

所以評分數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)位于區(qū)間［90,100］中，

04-025

所以上四分位數(shù)為：90+———xl0=93.75.

0.4

（2）評分在［60,70）與［80,90）兩組的頻率分別為0.1,0.3,

采用分層隨機抽樣的方法，在［60,7。）內(nèi)抽取人數(shù)為4*S九=1,

na

在［80,90）內(nèi)抽取人數(shù)為4x萬黑百=3，

故4人中評分等級不良好的有1人（記為卬），評分等級良好的有3人（記為4，%,4），

試驗的樣本空間。=｛（?,，4）,（?1也）,（。1也），（偽也），（偽也），（62也）｝，

設(shè)事件A=“選取2人的評分等級都為良好”，

則4=｛（4也卜（4也）,但也）｝,

31

所以P（A）=Z=W.

OZ

16.⑴友

（2）證明見解析

(3)答

(1)利用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合已知求出AA，再利用棱臺的體積公式計算得解.

(2)利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理得證.

(3)利用線面角的定義求解.

【詳解】(1)在三棱臺ABC-AB?中，平面ABC,ABu平面ABC,貝ijA4,，AB,

在直角梯形ABBA中，由AB=83]=24q=2,得A4j=百，

而神3c=2,則SEC=；A*8C=2,^,=1SAABC=1.

所以匕BC-ABQ=3(SABC+SA0G+JrABC■二9口)‘怎1=g'

(2)由AA，平面ABC,3Cu平面ABC,得AAjJLBC,

又AB_L3C,MlAB=A,AApABu平面,則3C_L平面488出,

又3Cu平面BCC中,所以平面AB4A，平面BCC#.

(3)連接AB,

由(2)知，平面488出，則4c與平面AB4A所成角即為NR4。,

2

在Rt^ABC中，BC=2,AiB=ylAA^+AB=A/7,\C=^B^+BC'=V1T,

則sinNBAC=/==①,即AC與平面ABB^所成角的正弦值為也.

而1111

17.(1)證明見解析

7.4

(2)⑴一石；㈤J

(1)利用正弦定理，可得sinC=sinB(l+2cosA),再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和三角恒等變換公式，即可得

到4=23.

(2)(i)結(jié)合二倍角公式與同角三角函數(shù)關(guān)系式，即可求解.

(ii)利用三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，可求線段長的最小值.

【詳解】(1)因為c=b(l+2cosA),由正弦定理可得：sinC=sinB(l+2cosA),

則sin(A+B)=sinB+2sinBcosA=>sinAcosB+cosAsinB=sinB+2sinBcosA,

故sinAcos3-cosAsin3=sinB，即sin(A-B)=sinB,

而A氏4+8?0,兀)，則A—3=3(A—3+3=無不成立)，即A=2B.

(2)(i)因為A=2瓦則sinA=sin25,即sinA=2sin^cos5,

所以cosB=s'11^,貝UsinB=Jl-cos%=—,

2sinB2b55

7

所以cosA=cos2B=2cos2B-l=-云.

24

(ii)由sinA=sin2B=2sinBcosB=一,

25

「/人示人..73244117

cosC=—cosA+B]=-cosAcosBD+sinA4sinBD=——x—H-----X—=----.

v7255255125

117

設(shè)CM=根，CN=n,由(2)知cosC=j『

又SACMN=NS&ABC，BPmnsinC=7xabsinC,得〃m=5,

o262

所以MN2=m2+n2—2mHeosC>2mn—2mnxmn=—,

12512525

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=舊時等號成立，線段MN長的最小值為g.

18.⑴函數(shù)f(x)在(0,6)上單調(diào)遞增

(2)證明見解析

(3)-1</<0或1々<3

(1)根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

(2)根據(jù)〃x)+〃6-力或〃3+力+〃3-尤)為常數(shù)，判斷函數(shù)圖象的對稱性.

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，求f的取值范圍.

【詳解】(1)的定義域為(。,6),

/(x)=lnx-ln(6-x)+ov-&,

當(dāng)a〉0時，y=ln%、y=—ln(6—x)、、=狽一〃者K是增函數(shù),

所以函數(shù)，(x)在(0,6)上單調(diào)遞增.

(2)〃x)的定義域為(0,6),

由于/（x）+/（6—x）=ln——Fox-Z?+In-——+a（<6-x）-b=6a-2b,

a?丫3丫

（或/（3+x）+/（3-=In------FQ（3+%）-6+In-------FQ（3-1）-b=6。-2b）

3—x3+x

所以/'（x）關(guān)于點（3,3a—b）中心對稱.

(3)當(dāng)3a=6時，由(2)知，了⑺關(guān)于點(3,0)中心對稱，

關(guān)于/的不等式F(產(chǎn)一2f+3)+/(3+f)>。等價于』一2/+3+3+/>6,

3^,0<產(chǎn)—21+3<6,0<3+才<6,

〃-/>0或01

由<0<%2-2/+3<6,解得一1<%<3,

0<￡+3<6—3</<3

所以不等式解為_1</<0或1</<3.

19.(1)(i)求三棱錐P-BCD外接球的半徑；

(u)也

4

(2)8

(1)(i)利用勾股定理逆定理得BC_LBD,利用面面垂直的性質(zhì)定理證得尸D_LPC,從而得到三棱錐

尸—3C￡)外接球的球心即為C。中點。，半徑R=LC。，求解即可；

2

(ii)由(i)證得二面角B-PD-C的平面角為ZBPC,求解即可；

(2)由題意知尸，C兩點在3D異側(cè)，設(shè)NBPD=a,則/尸3。==2,NPBC=n-g利用正、余弦定