2025/9/5中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院何曉群《多元統(tǒng)計分析》第5版1第1章多元正態(tài)分布及其抽樣分布§1.1多元分布的基本概念§1.2統(tǒng)計距離§1.3多元正態(tài)分布§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計§1.5常用分布及抽樣分布2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2第1章多元正態(tài)分布一元正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)的理論和實際應(yīng)用中都有著重要的地位。同樣，在多變量統(tǒng)計學(xué)中，多元正態(tài)分布也占有相當(dāng)重要的位置。原因是：許多隨機(jī)向量確實遵從正態(tài)分布，或近似遵從正態(tài)分布；對于多元正態(tài)分布，已有一整套統(tǒng)計推斷方法，并且得到了許多完整的結(jié)果。目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3第1章多元正態(tài)分布

多元正態(tài)分布是最常用的一種多元概率分布。除此之外，還有多元對數(shù)正態(tài)分布，多項式分布，多元超幾何分布，多元分布、多元分布、多元指數(shù)分布等。本章從多維變量及多元分布的基本概念開始，著重介紹多元正態(tài)分布的定義及一些重要性質(zhì)。目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4§1.1多元分布的基本概念目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量§1.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)§1.1.3多元隨機(jī)向量的獨立性§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心5§1.1.1隨機(jī)向量表示對同一個體觀測的個變量。若觀測了個個體，則可得到如下表1-1的數(shù)據(jù)，稱每一個個體的個變量為一個樣品，而全體個樣品形成一個樣本。假定所討論的是多個變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時觀測個指標(biāo)（即變量），又進(jìn)行了次觀測得到的，把這個指標(biāo)表示為常用向量目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心6…n

…2…1…變量序號目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心7因此,樣本資料矩陣可用矩陣語言表示為:定義1.1

設(shè)為個隨機(jī)變量，由它們組成的向量稱為隨機(jī)向量。目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量若無特別說明，本書所稱向量均指列向量如,全國各省市、自治區(qū)城鎮(zhèn)居民消費便為一隨機(jī)向量，2025/9/5中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院何曉群《多元統(tǒng)計分析》第五版8表：2023年各地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費性支出X=(食品,衣著,居住,家庭設(shè)備用品及服務(wù),醫(yī)療保健,交通和通信,教育文化娛樂服務(wù),雜項商品和服務(wù))具體數(shù)據(jù)略§1.1.1隨機(jī)向量2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心9定義1.2

設(shè)是一隨機(jī)向量，它的多元分布函數(shù)是

式中，，并記成。§1.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)描述隨機(jī)變量的最基本工具是分布函數(shù)，類似地描述隨機(jī)向量的最基本工具還是分布函數(shù)。目錄上頁下頁返回結(jié)束多元分布函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)此處從略。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心10§1.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.3：設(shè)=,若存在一個非負(fù)的函數(shù)

,使得對一切成立，則稱

（或

）有分布密度

并稱

為連續(xù)型隨機(jī)向量。一個

維變量的函數(shù)

能作為

中某個隨機(jī)向量的分布密度，當(dāng)且僅當(dāng)2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心11§1.1.3多元隨機(jī)向量的獨立性目錄上頁下頁返回結(jié)束對一切成立。若

為的聯(lián)合分布函數(shù)，分別為

和

的分布函數(shù)，則

與

獨立當(dāng)且僅當(dāng)（1.4）定義1.4：兩個隨機(jī)向量

和

稱為是相互獨立的，若注意:在上述定義中，和的維數(shù)一般是不同的。若有密度

，用分別表示

和的分布密度，則

和

獨立當(dāng)且僅當(dāng)

(1.5)2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心12類似地,設(shè)X1,X2,…,Xk(k≥3)為k個多元隨機(jī)向量,若它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于各自分布函數(shù)的乘積,則稱k個隨機(jī)向量X1,X2,…,Xk相互獨立。由X1,X2,…,Xk相互獨立可以推知任何Xi與Xj(i≠j)獨立;但是,若已知任何Xi與Xj(i≠j)獨立,并不能推出X1,X2,…,Xk相互獨立?！?.1.3多元隨機(jī)向量的獨立性2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心13§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征是一個

維向量，稱為均值向量.目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)為常數(shù)矩陣時，由定義可立即推出如下性質(zhì)：1、隨機(jī)向量

的均值設(shè)有個分量。若

存在，定義隨機(jī)向量

的均值為)(????éPPm)()6.1)(

)((2121μX=úúúúùêêêêé=úúúúùêêêê=XEXEXEEmm2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心142025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心15§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征目錄上頁下頁返回結(jié)束2、隨機(jī)向量的協(xié)方差陣稱它為

維隨機(jī)向量

的協(xié)方差陣，簡稱為

的協(xié)方差陣。稱為

的廣義方差，它是協(xié)差陣的行列式之值。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心16目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征3、隨機(jī)向量X和Y的協(xié)差陣設(shè)分別為

維和

維隨機(jī)向量，它們之間的協(xié)方差陣定義為一個

矩陣，其元素是，即

當(dāng)A、B為常數(shù)矩陣時，由定義可推出協(xié)差陣有如下性質(zhì)：2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心17目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征（3）設(shè)X為維隨機(jī)向量，期望和協(xié)方差存在記則對于任何隨機(jī)向量

來說，其協(xié)差陣∑都是對稱陣，同時總是非負(fù)定（也稱半正定）的。大多數(shù)情形下是正定的。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心18目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征4、隨機(jī)向量X的相關(guān)陣若隨機(jī)向量的協(xié)差陣存在,且每個分量的方差大于零，則X的相關(guān)陣定義為:

也稱為分量

與

之間的（線性）相關(guān)系數(shù)。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心19在數(shù)據(jù)處理時，為了克服由于指標(biāo)的量綱不同對統(tǒng)計分析結(jié)果帶來的影響，往往在使用某種統(tǒng)計分析方法之前，常需將每個指標(biāo)“標(biāo)準(zhǔn)化”，即做如下變換目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心20§1.2統(tǒng)計距離目錄上頁下頁返回結(jié)束歐氏距離馬氏距離2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心21§1.2統(tǒng)計距離歐氏距離

在多指標(biāo)統(tǒng)計分析中,距離的概念十分重要,樣品間的不少特征都可用距離去描述。大部分多元方法是建立在簡單的距離概念基礎(chǔ)上的。即平時人們熟悉的歐氏距離,或稱直線距離.如幾何平面上的點p=(x1,x2)到原點O=(0,0)的歐氏距離,依勾股定理有目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心22§1.2統(tǒng)計距離但就大部分統(tǒng)計問題而言，歐氏距離是不能令人滿意的。這里因為，每個坐標(biāo)對歐氏距離的貢獻(xiàn)是同等的。當(dāng)坐標(biāo)軸表示測量值時，它們往往帶有大小不等的隨機(jī)波動，在這種情況下，合理的辦法是對坐標(biāo)加權(quán)，使得變化較大的坐標(biāo)比變化小的坐標(biāo)有較小的權(quán)系數(shù)，這就產(chǎn)生了各種距離。歐氏距離還有一個缺點，這就是當(dāng)各個分量為不同性質(zhì)的量時，“距離”的大小竟然與指標(biāo)的單位有關(guān)。

目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心23§1.2統(tǒng)計距離目錄上頁下頁返回結(jié)束例如，橫軸代表重量（以kg為單位），縱軸

代表長度（以cm為單位）。有四個點A、B、C、D見圖1.1，它們的坐標(biāo)如圖1.1所示2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心24§1.2統(tǒng)計距離目錄上頁下頁返回結(jié)束這時顯然AB比CD要長?，F(xiàn)在，如果

用mm作單位，

單位保持不變，此時A坐標(biāo)為（0，50），C坐標(biāo)為（0，100），則結(jié)果CD反而比AB長！這顯然是不夠合理的。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心25§1.2統(tǒng)計距離目錄上頁下頁返回結(jié)束

因此，有必要建立一種距離，這種距離要能夠體現(xiàn)各個變量在變差大小上的不同，以及有時存在著的相關(guān)性，還要求距離與各變量所用的單位無關(guān)。看來我們選擇的距離要依賴于樣本方差和協(xié)方差。因此，采用“統(tǒng)計距離”這個術(shù)語，以區(qū)別通常習(xí)慣用的歐氏距離。最常用的一種統(tǒng)計距離是印度統(tǒng)計學(xué)家馬哈拉諾比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距離，稱為“馬氏距離”。

2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心26§1.2統(tǒng)計距離和馬氏距離目錄上頁下頁返回結(jié)束下面先用一個一維的例子說明歐氏距離與馬氏距離在概率上的差異。設(shè)有兩個一維正態(tài)總體。若有一個樣品，其值在A處，A點距離哪個總體近些呢？由圖1-2圖1-22025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心27§1.2統(tǒng)計距離目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心28§1.2統(tǒng)計距離馬氏距離設(shè)X、Y從均值向量為μ，協(xié)方差陣為∑的總體G中抽取的兩個樣品，定義X、Y兩點之間的馬氏距離為(1.21)

)()(),(1/2YXΣYXYX--=-dmXG(1.22)

)()(),(1/2μXΣμXX--=-Gdm的馬氏距離為與總體定義目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心29§1.2統(tǒng)計距離設(shè)表示一個點集，表示距離，它是到的函數(shù)，可以證明,馬氏距離符合如下距離的四條基本公理:；（1），（2）當(dāng)且僅當(dāng)；（3）（4）目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心30§1.3多元正態(tài)分布

多元正態(tài)分布是一元正態(tài)分布的推廣。迄今為止,多元分析的主要理論都是建立在多元正態(tài)總體基礎(chǔ)上的,多元正態(tài)分布是多元分析的基礎(chǔ)。另一方面，許多實際問題的分布常是多元正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于多元正態(tài)分布。本節(jié)將介紹多元正態(tài)分布的定義，并簡要給出它的基本性質(zhì)。目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心31§1.3多元正態(tài)分布目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.3.1多元正態(tài)分布的定義§1.3.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)§1.3.3條件分布和獨立性2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心32§1.3.1多元正態(tài)分布的定義|∑|為協(xié)差陣∑的行列式。目錄上頁下頁返回結(jié)束

定義1.5：若

元隨機(jī)向量

的概率密度函數(shù)為：則稱遵從

元正態(tài)分布，也稱X為

元正態(tài)變量。記為2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心33?！?.3.1多元正態(tài)分布的定義2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心34§1.3.1多元正態(tài)分布的定義2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心354.用結(jié)構(gòu)方法（Hsu.P.L.）注：上述方法2-4是等價的。§1.3.1多元正態(tài)分布的定義2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心36定理1.1將正態(tài)分布的參數(shù)μ和∑賦于了明確的統(tǒng)計意義。有關(guān)這個定理的證明可參見文獻(xiàn)[3]。目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.3.1多元正態(tài)分布的定義定理1.1：設(shè)

則

2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心37§1.3.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)目錄上頁下頁返回結(jié)束1、如果正態(tài)隨機(jī)向量

的協(xié)方差陣∑是對角陣，則X的各分量是相互獨立的隨機(jī)變量。證明參見文獻(xiàn)[4]，p.33。

容易驗證，

，但

顯然不是正態(tài)分布。2、多元正態(tài)分布隨機(jī)向量X的任何一個分量子集的分布（稱為X的邊緣分布）仍然遵從正態(tài)分布。而反之，若一個隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)，并不能導(dǎo)出它是多元正態(tài)分布。例如，設(shè)

有分布密度2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心38§1.3.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心39§1.3.3條件分布和獨立性目錄上頁下頁返回結(jié)束

我們希望求給定

的條件分布，即的分布。下一個定理指出：正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。設(shè)

p≥2,將X、μ和Σ剖分如下：則多元正態(tài)分布的任何邊緣分布仍為正態(tài)分布；反之，一個隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)，并不能導(dǎo)出它是多元正態(tài)分布。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心40證明參見文獻(xiàn)[3]。目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨立性定理1.2：設(shè)

，Σ>0，則2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心41

(1.28)目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨立性定理1.3設(shè)

，Σ>0，將X，μ，Σ剖分如下：2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心42則有如下的條件均值和條件協(xié)差陣的遞推公式：(1.29)

(1.30)

其中，證明參見[3]目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨立性2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心43服裝標(biāo)準(zhǔn)例子科民(1976),運用條件分布的理論修定我國服裝國家標(biāo)準(zhǔn),應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2,62-74女14個部位(X1:身高，X2：胸圍，X3：腰圍，X4：上體長，X5：臀圍等;男12個部位(身高)等.2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心44定理1.2和定理1.3在20世紀(jì)70年代中期為國家標(biāo)準(zhǔn)部門制定服裝標(biāo)準(zhǔn)時有成功的應(yīng)用，見參考文獻(xiàn)[3]。在制定服裝標(biāo)準(zhǔn)時需抽樣進(jìn)行人體測量，現(xiàn)從某年齡段女子測量取出部分結(jié)果如下：X1：身高，X2：胸圍，X3：腰圍，X4：上體長，X5：臀圍，已知它們遵從N5（μ，Σ），其中2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心452025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心462025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心47再利用（1.30）式得

2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心48這說明,若已知一個人的上體的長和臀圍,則身高、胸圍和腰圍的條件方差比原來的方差大大縮小。

此時我們可看到2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心49在定理1.2中，我們給出了對X、μ和Σ作形如(1.25)式剖分時條件協(xié)差陣的表達(dá)式及其與非條件協(xié)差陣的關(guān)系，令表示的元素，則可以定義偏相關(guān)系數(shù)的概念如下：定義1.6：當(dāng)給定時，與的偏相關(guān)系數(shù)為：目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨立性2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心50

偏相關(guān)系數(shù)以x1表示某種商品的銷售量，

x2表示消費者人均可支配收入，

x3表示商品價格。從經(jīng)驗上看，銷售量x1與消費者人均可支配收入x2之間應(yīng)該有正相關(guān)，簡單相關(guān)系數(shù)r12應(yīng)該是正的。但是如果你計算出的r12是個負(fù)數(shù)也不要感到驚訝，這是因為還有其它沒有被固定的變量在發(fā)揮影響，例如商品價格x3在這期間大幅提高了。反映固定x3后x1與x2相關(guān)程度的偏相關(guān)系數(shù)r12；3會是個正數(shù)。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心51§1.3.3條件分布和獨立性

在上面制定服裝標(biāo)準(zhǔn)的例子中,給出X4和X5時,X1與X2,X1與X3,X2與X3的偏相關(guān)系數(shù)分別為:2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心52目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.3.3條件分布和獨立性定理1.4：設(shè)將X、μ、Σ按同樣方式剖分為其中，

證明參見文獻(xiàn)[3]2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心53§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計上節(jié)已經(jīng)給出了多元正態(tài)分布的定義和有關(guān)的性質(zhì),在實際問題中,通?？梢约俣ū谎芯康膶ο笫嵌嘣龖B(tài)分布,但分布中的參數(shù)μ和Σ是未知的,一般的做法是通過樣本來估計。目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心54§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計均值向量的估計在一般情況下,如果樣本資料陣為：目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心55§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計即均值向量μ的估計量,就是樣本均值向量.這可由極大似然法推導(dǎo)出來。推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)[3]。目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)樣品相互獨立,同遵從于P元正態(tài)分布

,而且

,Σ>0,則總體參數(shù)均值μ的估計量是2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心56§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計協(xié)方差陣的估計總體參數(shù)協(xié)差陣Σ的極大似然估計是目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心57§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計目錄上頁下頁返回結(jié)束其中L是離差陣，它是每一個樣品（向量）與樣本均值（向量）的離差積形成的n個

階對稱陣的和。同一元相似，不是Σ的無偏估計，為了得到無偏估計我們常用樣本協(xié)差陣作為總體協(xié)差陣的估計。2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心58【補(bǔ)充定理】1.5設(shè)為由總體中抽取的樣本，，則和的極大似然估計是和。此時，似然函數(shù)的極大值為其實，曾有引理：（1）與立獨，（2）2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心59注：回歸系數(shù)、相關(guān)系數(shù)、條件協(xié)差陣和偏相關(guān)系數(shù)都是和的函數(shù)，如果我們想獲得它們的極大似然估計，能否將和的極大似然估計和來代替和到原來的函數(shù)中，從而獲得它們的極大似然估計呢？這個結(jié)論在很寬的條件下都是對的，在部分情況下可用如下充分條件：2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心60設(shè)的極大似然估計是，而且變換是一一映射的，則的極大似然估計是例如相關(guān)系數(shù)

其中的最大似然估計是，其中條件協(xié)差陣的最大似然估計是?；貧w系數(shù)2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心61§1.5常用分布及抽樣分布多元統(tǒng)計研究的是多指標(biāo)問題,為了了解總體的特征,通過對總體抽樣得到代表總體的樣本,但因為信息是分散在每個樣本上的,就需要對樣本進(jìn)行加工,把樣本的信息濃縮到不包含未知量的樣本函數(shù)中,這個函數(shù)稱為統(tǒng)計量,如前面介紹的樣本均值向量、樣本離差陣等都是統(tǒng)計量.統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.在數(shù)理統(tǒng)計中常用的抽樣分布有分布、分布和分布.在多元統(tǒng)計中,與之對應(yīng)的分布分別為Wishart分布、

分布和Wilks分布.目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心62§1.5常用分布及抽樣分布1.5.2分布與分布1.5.1分布與Wishart分布1.5.3中心分布與Wilks分布目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心63分布有兩個重要的性質(zhì):§1.5.1分布與Wishart分布在數(shù)理統(tǒng)計中,若(),且相互獨立,則所服從的分布為自由度為的分布(chisquareddistribution),記為.目錄上頁下頁返回結(jié)束1、若,且相互獨立,則稱為相互獨立的具有可加性2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心642.設(shè)(),且相互獨立,為個階對稱陣,且(階單位陣),記,則為相互獨立的分布的充要條件為.此時,.這個性質(zhì)稱為Cochran定理,在方差分析和回歸分析中起著重要作用.目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心65目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心66由Wishart分布的定義知,當(dāng)時,退化為,此時中心Wishart分布就退化為,由此可以看出,Wishart分布實際上是分布在多維正態(tài)情形下的推廣.下面不加證明的給出Wishart分布的5條重要性質(zhì):目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心673.若,為非奇異陣,則,為任一4.若元常向量,滿足則

目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2.若且相互獨立,則2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心68特別的,設(shè)和分別為和的第個對角元,則：5.若,為任一元非零常向量,比值目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.5.1分布與Wishart分布2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心69§1.5.2分布與分布在數(shù)理統(tǒng)計中,若,,且與相互獨立,則稱服從自由度為的分布,又稱為學(xué)生分布(studentdistribution),記為.如果將平方,即,則,即分布的平方服從第一自由度為1第二自由度為的中心分布.目錄上頁下頁返回結(jié)束2025/9/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心70中心分布可化為中心分布,其關(guān)系為