第一章《一元二次方程》單元測試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．）1．下列方程中，一定是關(guān)于的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．將一元二次方程配方成的形式，則，的值為（

）A．， B．，C．， D．，3．一元二次方程根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根4．某次女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽（每兩支隊伍之間都賽1場），單循環(huán)比賽共進行了45場，則參加比賽的隊伍有（

）A．8支 B．10支 C．7支 D．9支5．已知m，n是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（）A．2025 B．2028 C．2030 D．40486．根據(jù)表格中的信息，估計一元二次方程的一個解的范圍是（

）x0125A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．一元二次方程化成一般形式后為．8．寫一個解為，的一元二次方程．（答案不唯一）9．已知一元二次方程的二次項系數(shù)為3，則一次項系數(shù)為．10．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是．11．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為．12．如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個長，寬的矩形場地上，修建一個小型停車場，陰影部分為停車位所在區(qū)域，兩側(cè)是寬的道路，中間是寬的道路．如果陰影部分的總面積是，那么x滿足的方程是．13．已知是一元二次方程的一個根，則的值為．14．已知一元二次方程的兩個根為，則的值為．15．已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是16．若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且其面積為4，則該菱形的邊長為．三、解答題（本大題共11小題，17,18每小題7分，19,20,21,22,23,24,25每小題8分，26,27每小題9分，共88分．）17．按要求解下列關(guān)于的一元二次方程：(1)（公式法）(2)（因式分解法）18．（1）解方程：；（2）解方程：在學(xué)完一元二次方程解法后，老師出了這樣一道試題“”，讓同學(xué)們求解．球?qū)毢吞饘殐晌煌瑢W(xué)的做法如下：球?qū)毻瑢W(xué)的解答甜寶同學(xué)的解答解：原方程可化為．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，．解：原方程可化為，，．所以，所以，．①小組在交流過程中發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的結(jié)果不同，請判斷（填球?qū)毣蛱饘殻┩瑢W(xué)的解法有誤，錯誤的原因是；②請你寫出其他的正確解法．19．已知關(guān)于的方程(1)為何值時，此方程是一元一次方程？(2)為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數(shù)及常數(shù)項．20．已知是方程的兩根，求下列兩個代數(shù)式的值：(1)；(2)．21．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)當(dāng)方程的一個根是1時，求的值．22．已知關(guān)于的方程．(1)求證：無論取何值，方程一定有兩個實數(shù)根；(2)若等腰?ABC的一邊長，另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根，求?ABC的周長．23．如圖，用長為的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在邊上用其他材料做了寬為的兩扇小門．若花圃的面積恰好為．(1)求此時花圃邊的長；(2)花圃的面積能達到嗎？若能，求出邊的長；若不能，請說明理由．24．已知關(guān)于的一元二次方程，如果，，滿足，我們就稱這個一元二次方程為美妙方程．(1)判斷方程是否為美妙方程，并說明理由．(2)已知關(guān)于的美妙方程的一個根是，求這個美妙方程．25．在2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會上，新年吉祥物“巳升升”特別惹人注目，其設(shè)計靈感源于中華傳統(tǒng)文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調(diào)，外形愁態(tài)可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，我們在電商平臺和實體店了解其銷售情況．(1)統(tǒng)計某電商平臺，2024年12月份吉祥物一月的銷售量是5萬件，2025年2月份吉祥物一月的銷售量是7.2萬件，若近三個月月平均增長率相同，求月平均增長率；(2)對某實體店的銷售情況進行了解，該店吉祥物的進價為每件60元，若售價定為每件100元，則每天能銷售量20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每降價1元，每天可多售出2件，為了進一步推廣宣傳，商家決定降價促銷，要求盡量減少庫存，且使每天銷售獲利1200元，請你分析售價應(yīng)降低多少元？26．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時，解該一元二次方程；(2)求證：無論為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；(3)若是方程的兩個實數(shù)根，且，求的值．27．如圖，在?ABC中，，，，點從點出發(fā)，以的速度沿著運動；點從點出發(fā)，以的速度沿著運動．已知兩點同時出發(fā)，當(dāng)點運動到點時，點和點的運動停止．(1)經(jīng)過多長時間，的長為？(2)經(jīng)過多長時間，的面積為？(3)的面積會等于?ABC面積的一半嗎？若會，請求出此時的運動時間；若不會，請說明理由．參考答案一、選擇題1．C【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】解：．分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故該選項不符合題意；．時，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；．是一元二次方程，故該選項符合題意；．含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；故選：C．2．D【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．先化二次項系數(shù)為，然后把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到、的值．【詳解】解：，∴，∴∴，所以故選：D．3．A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根是解決問題的關(guān)鍵，先計算判別式，再利用判別式的意義進行判斷即可．【詳解】解：在中，，，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：．4．B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)參加比賽的隊伍有支，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)參加比賽的隊伍有支，根據(jù)題意得，解得：，（舍去）故選：B．5．B【分析】本題考查了一元二次方程的根以及根與系數(shù)的關(guān)系，利用方程根的定義將高次項降次，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．【詳解】解：∵是方程的實數(shù)根，∴．代入所求表達式：由根與系數(shù)的關(guān)系，方程的兩根之和為：，∴．故選：B．6．A【分析】本題考查估算一元二次方程的近似值．由表格數(shù)據(jù)可知當(dāng)時，的值大于0，當(dāng)時，的值小于0，因此的一個解的取值范圍是．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可知當(dāng)時，的值大于0，當(dāng)時，的值小于0，因此的一個解的取值范圍是．故選：A．二、填空題7．【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式：，熟記一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．去括號，將移到方程的左邊即可．【詳解】解：去括號，得，移項，得，故答案為：．8．【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的知識，解題的關(guān)鍵是了解一元二次方程的解的定義，難度不大．根據(jù)一元二次方程的定義直接構(gòu)造即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故答案為：（答案不唯一）．9．【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項式的項和單項式的系數(shù)等知識點，注意：找多項式的項或項的系數(shù)時，帶著前面的符號．根據(jù)一元二次方程的一般形式得出答案即可．【詳解】解：∵一元二次方程的二次項的系數(shù)為3，∴一次項的系數(shù)為，故答案為：．10．【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義．根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程進行解答即可．【詳解】解：依題意可得，解得，故答案為：．11．【分析】此題主要考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程求解．由方程有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于m的方程，則可求得m的值．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根∴，解得．故答案為：．12．【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形場地的長、寬及道路的寬度，可得出停車位（即陰影部分）可合成長為，寬為的矩形，結(jié)合陰影部分的總面積是，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵矩形場地的長為長，寬，且所修建停車位的兩側(cè)是寬的道路，中間是寬的道路，∴停車位（即陰影部分）可合成長為，寬為的矩形．根據(jù)題意，得，故答案為：13．【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，根據(jù)題意得出，再整體代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴∴∴故答案為：．14．【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可進行求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為、，∴，∴，故答案為：．15．且【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，由一元二次方程的定義可得，由根的判別式可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，∴且，故答案為：且．16．【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì)，掌握菱形對角線與菱形的面積、邊長間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系及等式的變形是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關(guān)系求出菱形的邊長．【詳解】解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，由題意得：，∵菱形面積為4，∴，解得：，∴菱形的邊長為，故答案為：．三、解答題17．（1）解：∴，，，∴，∴，解得：（2）因式分解得移項得，提取公因式得，即，解得18．（1）解：方程左邊分解因式，得：，可得：或，解得：，；（2）①甜寶同學(xué)的解法有誤，錯誤的原因是原方程常數(shù)項移項時未變號；故答案為：甜寶，原方程常數(shù)項移項時未變號；②∵，∴，所以，所以·19．（1）解：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．由題意得：，．當(dāng)時此方程是一元一次方程；（2）由題意得：，．當(dāng)時，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次項系數(shù)為，常數(shù)項為m.20．（1）解：∵是方程的兩根，∴，∴；（2）解：∵是方程的兩根，∴，∴．21．（1）解：∵，∴無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：將代入，得，解得：．22．（1）證明：，，即，無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）解：當(dāng)時，，則，方程化為，解得，的周長；當(dāng)或時，把代入方程得，解得，方程化為，解得，，此時不符合三角形三邊的關(guān)系，此情況舍去，的周長為5．23．（1）解：設(shè)花圃邊的長為x，則花圃的邊的長為米，∵墻的最大可用長度為，∴，解得：由題意可得：，整理得：，解得：或（舍棄）．答：花圃邊的長為4米．（2）解：花圃的面積不能達到，理由如下：令，整理得：，因為，所以方程無解，即花圃的面積不能達到．24．（1）解：是美妙方程，理由如下：∵中，，，，∴，故該方程是美妙方程；（2）解：∵美妙方程的一個根是，∴，解得：，∴這個美妙方程是．25．（1）解：設(shè)月平均增長率為，由題意得，，解得：（不合題意，舍去），答：月平均增長率為；（2）解：設(shè)售價應(yīng)降低元，由題意得，，整理得：，解得：，盡量減少庫存，，答：售價應(yīng)降低20元．26．（1）解：當(dāng)時，原方程為，方程