方差與標準差測試題及參考答案一、選擇題1.一組數(shù)據(jù)$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的方差是（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$2.已知樣本數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的方差為$4$，則數(shù)據(jù)$2x_1+3$，$2x_2+3$，$\cdots$，$2x_n+3$的方差為（）A.$11$B.$9$C.$4$D.$16$3.若一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的平均數(shù)是$\overline{x}=5$，方差是$s^2=2$，則另一組數(shù)據(jù)$3x_1-2$，$3x_2-2$，$\cdots$，$3x_n-2$的平均數(shù)和方差分別是（）A.$13$，$18$B.$13$，$10$C.$15$，$18$D.$15$，$10$4.甲、乙兩人在相同條件下各射擊$10$次，他們的成績的平均數(shù)相同，方差分別是$s_{甲}^{2}=0.2$，$s_{乙}^{2}=0.5$，則兩人中成績更穩(wěn)定的是（）A.甲B.乙C.一樣穩(wěn)定D.無法確定5.若樣本$x_1+1$，$x_2+1$，$\cdots$，$x_n+1$的平均數(shù)為$10$，方差為$2$，則對于樣本$x_1+2$，$x_2+2$，$\cdots$，$x_n+2$，下列結(jié)論正確的是（）A.平均數(shù)為$10$，方差為$2$B.平均數(shù)為$11$，方差為$2$C.平均數(shù)為$10$，方差為$3$D.平均數(shù)為$11$，方差為$3$6.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，$x_5$的方差是$2$，則數(shù)據(jù)$2x_1-1$，$2x_2-1$，$2x_3-1$，$2x_4-1$，$2x_5-1$的標準差為（）A.$2$B.$2\sqrt{2}$C.$4$D.$8$7.已知數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$x_3$的平均數(shù)是$5$，則數(shù)據(jù)$3x_1+2$，$3x_2+2$，$3x_3+2$的平均數(shù)是（）A.$5$B.$7$C.$15$D.$17$8.若一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的方差為$3$，則數(shù)據(jù)$2x_1-1$，$2x_2-1$，$\cdots$，$2x_n-1$的方差為（）A.$3$B.$6$C.$12$D.$24$9.甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試，每人$10$次射擊成績的平均數(shù)均是$9.2$環(huán)，方差分別為$s_{甲}^{2}=0.56$，$s_{乙}^{2}=0.60$，$s_{丙}^{2}=0.50$，$s_{丁}^{2}=0.45$，則成績最穩(wěn)定的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁10.若一組數(shù)據(jù)$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$的方差是$5$，則一組新數(shù)據(jù)$2a_1$，$2a_2$，$\cdots$，$2a_n$的方差是（）A.$5$B.$10$C.$20$D.$50$11.有一組數(shù)據(jù)：$3$，$a$，$4$，$6$，$7$，它們的平均數(shù)是$5$，那么這組數(shù)據(jù)的方差是（）A.$2$B.$\sqrt{2}$C.$10$D.$\sqrt{10}$12.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$x_3$的方差是$4$，則數(shù)據(jù)$2x_1+3$，$2x_2+3$，$2x_3+3$的標準差是（）A.$3$B.$2$C.$4$D.$8$13.若一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的方差為$S^2$，將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個非零常數(shù)$a$，得到一組新數(shù)據(jù)$x_1+a$，$x_2+a$，$\cdots$，$x_n+a$，則這組新數(shù)據(jù)的方差為（）A.$S^2$B.$S^2+a$C.$S^2+2a$D.$S^2+a^2$14.已知樣本數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_{10}$的方差為$4$，則數(shù)據(jù)$2x_1+1$，$2x_2+1$，$\cdots$，$2x_{10}+1$的標準差是（）A.$4$B.$2$C.$8$D.$16$15.甲、乙兩名運動員在$10$次百米跑練習中的成績（單位：秒）如下：甲：$10.8$，$10.9$，$11.0$，$10.7$，$11.2$，$11.1$，$10.8$，$11.0$，$10.7$，$10.9$；乙：$10.9$，$10.9$，$10.8$，$10.8$，$11.0$，$10.9$，$10.8$，$11.1$，$10.9$，$10.8$。若甲、乙兩人的平均成績分別為$\overline{x}_{甲}$，$\overline{x}_{乙}$，方差分別為$s_{甲}^{2}$，$s_{乙}^{2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}$，$s_{甲}^{2}\lts_{乙}^{2}$B.$\overline{x}_{甲}=\overline{x}_{乙}$，$s_{甲}^{2}\gts_{乙}^{2}$C.$\overline{x}_{甲}\gt\overline{x}_{乙}$，$s_{甲}^{2}\gts_{乙}^{2}$D.$\overline{x}_{甲}\lt\overline{x}_{乙}$，$s_{甲}^{2}\lts_{乙}^{2}$二、填空題1.數(shù)據(jù)$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的標準差是______。2.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，$x_5$的方差是$2$，則數(shù)據(jù)$3x_1-2$，$3x_2-2$，$3x_3-2$，$3x_4-2$，$3x_5-2$的方差是______。3.若一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的平均數(shù)是$3$，方差是$2$，則數(shù)據(jù)$2x_1-3$，$2x_2-3$，$\cdots$，$2x_n-3$的平均數(shù)是______，方差是______。4.甲、乙兩人各射擊$6$次，甲所中的環(huán)數(shù)是$8$，$5$，$5$，$a$，$b$，$c$，且甲所中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)是$6$，眾數(shù)是$8$；乙所中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)是$6$，方差是$4$。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，對甲、乙射擊成績的穩(wěn)定程度的判斷是______。5.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_{10}$的方差是$2$，且$(x_1-3)^2+(x_2-3)^2+\cdots+(x_{10}-3)^2=120$，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)$\overline{x}=$______。6.若樣本$x_1+1$，$x_2+1$，$\cdots$，$x_n+1$的平均數(shù)為$10$，方差為$2$，則樣本$2x_1+1$，$2x_2+1$，$\cdots$，$2x_n+1$的平均數(shù)為______，方差為______。7.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$x_3$的平均數(shù)為$5$，方差為$4$，則由$2x_1+1$，$2x_2+1$，$2x_3+1$組成的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______，方差為______。8.一組數(shù)據(jù)$2$，$3$，$5$，$4$，$4$，$6$的中位數(shù)是______，方差是______。9.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的方差為$S^2$，若將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以$2$，再加上$3$，得到一組新數(shù)據(jù)$2x_1+3$，$2x_2+3$，$\cdots$，$2x_n+3$，則新數(shù)據(jù)的方差為______。10.甲、乙兩個樣本的容量相同，甲樣本的方差是$0.102$，乙樣本的方差是$0.06$，那么______（填“甲”或“乙”）樣本的波動比較大。三、解答題1.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_{10}$的平均數(shù)是$2$，方差是$\frac{1}{4}$，求數(shù)據(jù)$3x_1-2$，$3x_2-2$，$\cdots$，$3x_{10}-2$的平均數(shù)和方差。2.甲、乙兩人在相同條件下各射靶$10$次，每次射靶的成績情況如下表所示：|甲|7|8|6|8|6|5|9|10|7|4||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||乙|9|5|7|8|7|6|8|6|7|7|（1）分別計算甲、乙兩人成績的平均數(shù)；（2）分別計算甲、乙兩人成績的方差；（3）根據(jù)計算結(jié)果，評價兩人的射擊水平。3.某公司招聘員工，對甲、乙兩名應聘者進行了面試和筆試，面試中包括形體和口才，筆試中包括專業(yè)水平和創(chuàng)新能力，他們的成績（百分制）如下表所示：|應聘者|面試（形體）|面試（口才）|筆試（專業(yè)水平）|筆試（創(chuàng)新能力）||---|---|---|---|---||甲|86|90|96|92||乙|92|88|95|93|（1）若公司根據(jù)經(jīng)營性質(zhì)和崗位要求，以面試成績和筆試成績的權(quán)重分別為$4$和$6$計算兩人的平均成績，請計算甲、乙兩人各自的平均成績，看看誰將被錄??；（2）若公司根據(jù)經(jīng)營性質(zhì)和崗位要求，以形體、口才、專業(yè)水平和創(chuàng)新能力的成績按$1:3:4:2$的比例計算兩人的平均成績，請計算甲、乙兩人各自的平均成績，看看誰將被錄取。4.為了考察甲、乙兩種小麥的長勢，分別從中抽取$10$株麥苗，測得苗高如下（單位：$cm$）：甲：$12$，$13$，$14$，$15$，$10$，$16$，$13$，$11$，$15$，$11$；乙：$11$，$16$，$17$，$14$，$13$，$19$，$6$，$8$，$10$，$16$。（1）分別計算兩種小麥的平均苗高；（2）分別計算兩種小麥的方差，并比較哪種小麥的長勢更整齊。5.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的方差是$S^2$，若數(shù)據(jù)$ax_1+b$，$ax_2+b$，$\cdots$，$ax_n+b$（$a\neq0$）的方差是$8S^2$，求$a$的值。6.某學校為了了解學生的身體素質(zhì)情況，對初三（1）班的$50$名學生進行了立定跳遠、鉛球、$100$米跑三個項目的測試，每個項目滿分為$10$分?，F(xiàn)將該班學生的各項測試成績整理后，得到如下統(tǒng)計圖表：|測試項目|立定跳遠|鉛球|100米跑||---|---|---|---||平均成績|8|7|6||方差|1.2|0.8|1.8|（1）請分別計算該班學生在立定跳遠、鉛球、$100$米跑三個項目上的成績的標準差；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該班學生在哪個項目上的成績更穩(wěn)定？請說明理由。7.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，$x_5$的平均數(shù)是$3$，方差是$\frac{1}{2}$，求另一組數(shù)據(jù)$3x_1-2$，$3x_2-2$，$3x_3-2$，$3x_4-2$，$3x_5-2$的平均數(shù)和方差。8.甲、乙兩名同學在相同條件下各射擊$10$次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：$8$，$6$，$7$，$8$，$6$，$5$，$9$，$10$，$4$，$7$；乙：$6$，$7$，$7$，$8$，$6$，$7$，$8$，$7$，$9$，$5$。（1）分別計算甲、乙兩人射擊成績的平均數(shù)；（2）分別計算甲、乙兩人射擊成績的方差；（3）根據(jù)計算結(jié)果，評價兩人的射擊水平。9.已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的平均數(shù)是$\overline{x}$，方差是$s^2$，求數(shù)據(jù)$ax_1+b$，$ax_2+b$，$\cdots$，$ax_n+b$（$a\neq0$）的平均數(shù)和方差。10.某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔$30$分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲車間：$102$，$101$，$99$，$98$，$103$，$98$，$99$；乙車間：$110$，$115$，$90$，$85$，$75$，$115$，$110$。（1）這種抽樣方法是什么抽樣？（2）估計甲、乙兩個車間產(chǎn)品的平均重量；（3）分析甲、乙兩個車間產(chǎn)品重量的穩(wěn)定性。參考答案一、選擇題1.B2.D3.A4.A5.B6.B7.D8.C9.D10.C11.A12.C13.A14.A15.B二、填空題1.$\sqrt{2}$2.$18$3.$3$；$8$4.乙比甲穩(wěn)定5.$-3$或$9$6.$19$；$8$7.$11$；$16$8.$4$；$\frac{5}{3}$9.$4S^2$10.甲三、解答題1.-設數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_{10}$為數(shù)據(jù)\(A\)，數(shù)據(jù)$3x_1-2$，$3x_2-2$，$\cdots$，$3x_{10}-2$為數(shù)據(jù)\(B\)。-已知數(shù)據(jù)\(A\)的平均數(shù)\(\overline{x}_{A}=2\)，根據(jù)平均數(shù)性質(zhì)，數(shù)據(jù)\(B\)的平均數(shù)\(\overline{x}_{B}=3\overline{x}_{A}-2=3\times2-2=4\)。-已知數(shù)據(jù)\(A\)的方差\(s_{A}^{2}=\frac{1}{4}\)，根據(jù)方差性質(zhì)，數(shù)據(jù)\(B\)的方差\(s_{B}^{2}=3^{2}s_{A}^{2}=9\times\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)。2.-（1）甲的平均數(shù)\(\overline{x}_{甲}=\frac{7+8+6+8+6+5+9+10+7+4}{10}=7\)；乙的平均數(shù)\(\overline{x}_{乙}=\frac{9+5+7+8+7+6+8+6+7+7}{10}=7\)。-（2）甲的方差\(s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(5-7)^{2}+(9-7)^{2}+(10-7)^{2}+(7-7)^{2}+(4-7)^{2}]=3\)；乙的方差\(s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(9-7)^{2}+(5-7)^{2}+(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(7-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(7-7)^{2}]=1.2\)。-（3）兩人的平均成績相同，但乙的方差小于甲的方差，說明乙的射擊成績更穩(wěn)定，甲的成績波動較大。3.-（1）甲的平均成績\(\overline{x}_{甲}=\frac{4\times(86+90)+6\times(96+92)}{4+6}=\frac{4\times176+6\times188}{10}=\frac{704+1128}{10}=183.2\div10=92.32\)；乙的平均成績\(\overline{x}_{乙}=\frac{4\times(92+88)+6\times(95+93)}{4+6}=\frac{4\times180+6\times188}{10}=\frac{720+1128}{10}=184.8\div10=92.48\)。因為\(\overline{x}_{乙}\gt\overline{x}_{甲}\)，所以乙將被錄取。-（2）甲的平均成績\(\overline{x}_{甲}=\frac{1\times86+3\times90+4\times96+2\times92}{1+3+4+2}=\frac{86+270+384+184}{10}=\frac{924}{10}=92.4\)；乙的平均成績\(\overline{x}_{乙}=\frac{1\times92+3\times88+4\times95+2\times93}{1+3+4+2}=\frac{92+264+380+186}{10}=\frac{922}{10}=92.2\)。因為\(\overline{x}_{甲}\gt\overline{x}_{乙}\)，所以甲將被錄取。4.-（1）甲的平均苗高\(\overline{x}_{甲}=\frac{12+13+14+15+10+16+13+11+15+11}{10}=13\)；乙的平均苗高\(\overline{x}_{乙}=\frac{11+16+17+14+13+19+6+8+10+16}{10}=13\)。-（2）甲的方差\(s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(12-13)^{2}+(13-13)^{2}+(14-13)^{2}+(15-13)^{2}+(10-13)^{2}+(16-13)^{2}+(13-13)^{2}+(11-13)^{2}+(15-13)^{2}+(11-13)^{2}]=3.6\)；乙的方差\(s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(11-13)^{2}+(16-13)^{2}+(17-13)^{2}+(14-13)^{2}+(13-13)^{2}+(19-13)^{2}+(6-13)^{2}+(8-13)^{2}+(10-13)^{2}+(16-13)^{2}]=15.8\)。因為\(s_{甲}^{2}\lts_{乙}^{2}\)，所以甲種小麥的長勢更整齊。5.-已知數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差是\(S^2\)，根據(jù)方差性質(zhì)，數(shù)據(jù)\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)（\(a\neq0\)）的方差為\(a^{2}S^2\)。-因為\(a^{2}S^2=8S^2\)，且\(S^2\neq0\)，所以\(a^{2}=8\)，解得\(a=\pm2\sqrt{2}\)。6.-（1）立定跳遠成績的標準差\(s_{1}=\sqrt{1.2}=\frac{\sqrt{30}}{5}\approx1.095\)；鉛球成績的標準差\(s_{2}=\sqrt{0.8}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx0.894\)；\(100\)米跑成績的標準差\(s_{3}=\sqrt{1.8}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\approx1.342\)。-（2）因為\(s_{2}\lts_{1}\lts_{3}\)，方差或標準差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，所以該班學生在鉛球項目上的成績更穩(wěn)定。7.-設數(shù)據(jù)\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，\(x_4\)，\(x_5\)為數(shù)據(jù)\(A\)，數(shù)據(jù)\(3x_1-2\)，\(3x_2-2\)，\(3x_3-2\)，\(3x_4-2\)，\(3x_5-2\)為數(shù)據(jù)\(B\)。-已知數(shù)據(jù)\(A\)的平均數(shù)\(\overline{x}_{A}=3\)，則數(shù)據(jù)\(B\)的平均數(shù)\(\overline{x}_{B}=3\overline{x}_{A}-2=3\times3-2=7\)。-已知數(shù)據(jù)\(A\)的方差\(s_{A}^{2}=\frac{1}{2}\)，則數(shù)據(jù)\(B\)的方差\(s_{B}^{2}=3^{2}s_{A}^{2}=9\times\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)。8.-（1）甲的平均數(shù)\(\overline{x}_{甲}=\frac{8+6+7+8+6+5+9+10+4+7}{10}=7\)；乙的平均數(shù)\(\overline{x}_{乙}=\frac{6+7+7+8+6+7+8+7+9+5}{10}=7\)。-（2）甲的方差\(s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(5-7)^{2}+(9-7)^{2}+(10-7)^{2}+(4-7)^{2}+(7-7)^{2}]=3\)；乙的方差\(s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(8-7)^{2}+(7-7)^{2}+(9-7)^{2}+(5-7)^{2}]=1.2\)。-（3）兩人平均成績相同，但乙的方差小于甲的方差，說明乙的射擊成績更穩(wěn)定，甲的成績波動較大。9