2025年暑期新初二數(shù)學(xué)人教版尖子生專題復(fù)習(xí)《不等式與不等

式組》

一.選擇題（共10小題）

<13—2%>3

1.（2025春?覃塘區(qū)期中）若關(guān)于％的不等式組、一的整數(shù)解共有2個，則小的值可以是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2025春?西城區(qū)校級期中）已知則下列式子中不正確的是（）

A.a-2<b-2B.tz+3</?+3C.2a<.2bD.-3tz<-3Z?

3.（2025春?株洲期中）解下列不等式的過程中有錯誤的是（）

A.-x+l>7x-3,移項，得-x-7x>-l-3

B.5（2+龍）>3（2x-1）,去括號，得10+5尤>6x-3

■X+5

C.2>2%,去分母，得龍+5>4x

D.-3x>4,系數(shù)化為1,得無

4.（2025?讓胡路區(qū)校級一模）如果關(guān)于y的方程紇,一，）=y-2有非負整數(shù)解，且關(guān)于尤的不等式組

2-N的解集為尤21,則所有符合條件的整數(shù)。的和為（）

1%—4<3（%—2）

A.-5B.-8C.-9D.-12

5.（2025春?云溪區(qū)期中）某校計劃組織師生乘坐大、小兩種客車去參加一次大型公益活動，每輛大客車

的乘客座位數(shù)是35,每輛小客車的乘客座位數(shù)是18,這樣租用6輛大客車和5輛小客車恰好全部坐滿，

由于最后參加活動的人數(shù)增加了30,在保持租用車輛總數(shù)不變的情況下，學(xué)校決定調(diào)整租車方案，以

確保乘載全部參加活動的師生，則該校最后所租用小客車輛數(shù)的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2025春?太原期中）2025年春晚《秧802的精彩呈現(xiàn)，是一系列關(guān)鍵技術(shù)的突破與創(chuàng)新.機器人采

用了先進的A/驅(qū)動全身運動控制技術(shù)，最大關(guān)節(jié)扭矩可達360N?〃z,使其動作復(fù)雜而靈動.此款機器人

的關(guān)節(jié)扭矩x（N?機）應(yīng)滿足的不等關(guān)系為（）

A.G360B.尤>360C.xW360D.x<360

7.（2025?興寧區(qū)校級二模）若干名學(xué)生乘船，若每條船坐4人，則2人無船坐；若每條船坐6人，則空

一條船，還有船不空也不滿，設(shè)有％條船，則可列不等式組為（)

AC4x+2-6(x-l)>0

?14%+2-6(%-1)<6

Bf4x+2-6(x-l)>l

?14%+2-6(%-1)<5

Cf4x+2-6(x-2)>0

?Ux+2-6(%-2)<6

Df4x+2-6(x-2)>l

?Ux+2-6(%-2)<5

8（2。25?金水區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的不等式組「一2萬>。的解集為則"b的值是（）

11

A.1B.-C.-1D.-4

22

[％—IV]

9.（2025春?福鼎市期中）不等式組、~的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

（%〉—1

------?-----0-------1---------1-------i-

A.-2-1012

B.-2-1012

----1---6----1-----1-----

C.-2-1012

------1-----6--------1--------1--------4-

D.—2—1012

f2r+—1

10.（2025春?新野縣期中）若關(guān)于X的不等式組的解集為x<4,則機滿足的條件是（）

ix<m

A.m<4B.機=4C.znW-4D,機24

二.填空題（共5小題）

（^>-1

11.（2025春?云溪區(qū)期中）不等式組2-的解集是.

.1-x<-2

—2r<r

12.（2025春?桐柏縣期中）若關(guān)于尤的不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，求a的取值

（2%—l>a

范圍是.

01

13.（2025?大連一模）若關(guān)于x的不等式（a-3）尤>3的解集為x<-1,則。的取值范圍.

14.（2025春?海淀區(qū)校級期中）有人問一位教師所教班級有多少人，教師說：“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分

之一學(xué)生在學(xué)音樂，七分之一學(xué)生在讀外語，還剩下不足六位學(xué)生在操場踢足球”，則這個班有

名學(xué)生.

15.（2025春?鐵西區(qū)期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點尸（x,y）,若x,y均為整數(shù)，則稱

點P為“整點”.特別地，當(dāng)（（其中孫#0）的值為整數(shù)時，稱“整點”尸為“超整點已知點P（2a

-4,。+3）在第二象限，下列說法：①a<-3；②若點尸為“整點”，則點尸的個數(shù)為4個；③若點P

為“超整點”，則點P的個數(shù)為1個；④若點尸為“超整點”，則點尸到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于5.其

中正確的是.（填序號即可）

三.解答題（共5小題）

16.（2025春?徐州期末）已知關(guān)于尤的方程4x+2?"+3=2x+9的解是負數(shù).

（1）求機的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，解關(guān)于x的不等式x-1>粵

17.（2025春?河西區(qū)校級期末）解不等式組.

（2x—l5%+1—,

-............2~〈I.

5支—1<3（%+1）

18.（2025春?金牛區(qū)校級期中）有一段6000米的道路由甲、乙兩個工程隊負責(zé)完成，已知甲工程隊每天

完成600米，乙工程隊每天完成300米.若甲隊先單獨工作若干天，再由甲、乙兩工程隊合作完成剩余

的任務(wù)，設(shè)兩工程隊合作施工x天.

（1）用含x的代數(shù)式表示甲隊單獨工作天數(shù)；

（2）如果甲隊每天需工程費7000元，乙隊每天需工程費5000元，且支付工程隊總費用不超過79000

元，請列不等式求出尤的最大值.

19.（2025春?覃塘區(qū)期中）若一元一次方程的解在某個一元一次不等式組的解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次

fr—1>0

方程為該不等式組的“伴隨方程”.例如：方程3%-6=0的解為x=2,不等式組的解集為1

1%<3

（X—1>0

<x<3,因為1<2V3,所以稱方程3%-6=0為不等式組的“伴隨方程”.

U<3

2—1〉S—Y

(1)在方程①3x-3=0；②x-(3x+l)=-7；③-x—1=0中，不等式組的“伴隨

3(2%<7

方程”是;(填序號)

%+2VI—x

(2)若不等式組。久+3的一個“伴隨方程”的解是整數(shù)，且這個“伴隨方程”是x+機=0,

、2+1)

求常數(shù)相的值；

(3)①解兩個方程(用含m的式子表示)：2(x+m)=x+5和3x-2m=4；②是否存在整數(shù)相，使得

這兩個方程都是不等式組2支一％一町的“伴隨方程”？若存在，求出所有符合條件的m值；若

^x<x+10

不存在，說明理由.

20.(2025春?靜安區(qū)校級期中)靜安購物節(jié)期間甲乙兩家商店各自推出優(yōu)惠活動.

商店優(yōu)惠方式

甲所購商品按原價打八五折

乙所購商品按原價每滿300元減60元

設(shè)顧客在甲乙兩家商店購買商品的原價都為尤元，請根據(jù)條件回答下列問題：

(1)如果顧客在甲商店購買商品選擇優(yōu)惠活動后實際付款元；(用含有尤的代數(shù)式表示)

(2)顧客購買原價在600元(包括600元)以上，900元(不包括900元)以下的商品時，如果選擇

乙商店的優(yōu)惠活動比選擇甲商店的優(yōu)惠活動更合算，求x的取值范圍.

2025年暑期新初二數(shù)學(xué)人教版（2024）尖子生專題復(fù)習(xí)《不等式與不等

式組》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案ADDBBCCCCD

選擇題（共10小題）

（-13-2x>3

1.（2025春?覃塘區(qū)期中）若關(guān)于尤的不等式組、一的整數(shù)解共有2個，則根的值可以是（）

（x>m

A.3B.4C.5D.6

【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解；解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式，據(jù)此求出m的取值范圍即可解決問題.

【解答】解：由不等式13-2x》3得，x<5,

因為此不等式組的整數(shù)解共有2個，

所以3W機<4,

顯然只有A選項符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解及解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式組

的步驟是解題的關(guān)鍵.

2.（2025春?西城區(qū)校級期中）已知則下列式子中不正確的是（）

A.a-2<b-2B.a+3<b+3C.2a<2bD.-3a<-3Z?

【考點】不等式的性質(zhì).

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：根據(jù)不等式的三個基本性質(zhì)逐項分析判斷如下：

A、由條件可知。-2<b-2,正確，故本選項不符合題意；

B、由條件可知“+3<b+3,正確，故本選項不符合題意；

C、由條件可知2a<2b,正確，故本選項不符合題意；

D、'：a<b,

-3a>-3b,錯誤，故本選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或整式，不

等號的方向不變，②不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，③不等式的兩邊

都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

3.（2025春?株洲期中）解下列不等式的過程中有錯誤的是（）

A.-x+l>lx-3,移項，得-尤-7尤>-1-3

B.5（2+x）>3（2x-1）,去括號，得10+5無>6x-3

x+5

C.>2x,去分母，得x+5>4x

2

D.-3尤>4,系數(shù)化為1,得—g

【考點】解一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】去括號時，不要漏乘沒有分母的項；系數(shù)化為1時，如果未知數(shù)的系數(shù)是負數(shù)，則不等號的方

向要改變，如果系數(shù)是正數(shù)，則不等號的方不變.

【解答】解：A、-x+l>7x-3,移項，得-X-7Q-1-3,原計算正確，故A不符合題意；

B、5（2+x）>3（2x-1）,去括號，得10+5x>6x-3,原計算正確，故5不符合題意；

C、—^―>2x,去分母，得x+5>4x,原計算正確，故C不符合題意；

。、-3尤>4,系數(shù)化為1,得xV—全原計算錯誤，故。符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2025?讓胡路區(qū)校級一模）如果關(guān)于y的方程”今包=y-2有非負整數(shù)解，且關(guān)于尤的不等式組

2-N的解集為則所有符合條件的整數(shù)。的和為（）

1%—4<3（%—2）

A.-5B.-8C.-9D.-12

【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解；一元一次方程的解；解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】解方程得出y=雪，根據(jù)關(guān)于y的方程區(qū)一(；一”=y-2有非負整數(shù)解，得出心-5,且與

乙32

為整數(shù)，由不等式的解集得出aW-3,進而即可求解.

【解答】解：=y—2,

解得：丫=竽

???關(guān)于y的方程=y-2有非負整數(shù)解,

Q+5

----->0,

2

解得：。2-5,且方-為整數(shù)，

關(guān)于尤的不等式組2-"整理得：

U-4<3(%-2)

fx>a+4

tx>1)

口>2

...不等式組2—乙的解集為

(%—4<3(%—2)

〃+4Wl,

解得：-3,

Q+5

???-5W〃W-3且——為整數(shù)，

2

??a-—5,-3,

于是符合條件的所有整數(shù)a的值之和為：-5-3=-8.

故選：B.

【點評】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，解決本題的關(guān)鍵是先求出整個解集，然后在解集中

求特殊解.

5.(2025春?云溪區(qū)期中)某校計劃組織師生乘坐大、小兩種客車去參加一次大型公益活動，每輛大客車

的乘客座位數(shù)是35,每輛小客車的乘客座位數(shù)是18,這樣租用6輛大客車和5輛小客車恰好全部坐滿，

由于最后參加活動的人數(shù)增加了30,在保持租用車輛總數(shù)不變的情況下，學(xué)校決定調(diào)整租車方案，以

確保乘載全部參加活動的師生，則該校最后所租用小客車輛數(shù)的最大值為()

A.2B.3C.4D.5

【考點】一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】利用已知數(shù)量關(guān)系可求出該校最后參加活動的總?cè)藬?shù)，設(shè)租用小客車尤輛，則租用大客車（6+5

-%）輛，利用租用的客車可乘坐人數(shù)不少于330人，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得

出x的取值范圍，再結(jié)合尤為整數(shù)，即可得出所租用小客車數(shù)量的最大值為3輛.

【解答】解：該校最后參加活動的總?cè)藬?shù)為35X6+18X5+30=330（人）.

設(shè)租用小客車x輛，則租用大客車（6+5-%）輛.

依題意得：18x+35（6+5-%）》330,

解得：x<

又為整數(shù)，

...X的最大值為3,

故選：B.

【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題

的關(guān)鍵.

6.（2025春?太原期中）2025年春晚《秧3。普的精彩呈現(xiàn)，是一系列關(guān)鍵技術(shù)的突破與創(chuàng)新.機器人采

用了先進的A/驅(qū)動全身運動控制技術(shù)，最大關(guān)節(jié)扭矩可達360N?〃z,使其動作復(fù)雜而靈動.此款機器人

的關(guān)節(jié)扭矩x（N?根）應(yīng)滿足的不等關(guān)系為（）

A.x?360B.尤>360C.xW360D.x<360

【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)最大關(guān)節(jié)扭矩可達360N-m,又結(jié)合此款機器人的關(guān)節(jié)扭矩為xN-m,進而可

以判斷得解.

【解答】解：由題意，???最大關(guān)節(jié)扭矩可達360N?m且此款機器人的關(guān)節(jié)扭矩為

.,.xW360.

故選：C.

【點評】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題時要能熟練掌握并能根據(jù)題目中的不等關(guān)系列出

不等式是關(guān)鍵.

7.(2025?興寧區(qū)校級二模)若干名學(xué)生乘船，若每條船坐4人，則2人無船坐；若每條船坐6人，則空

一條船，還有船不空也不滿，設(shè)有無條船，則可列不等式組為()

Af4x+2-6(x-l)>0

-Ux+2-6(x-1)<6

Bf4x+2-6(x-l)>l

'l4x+2-6(%-1)<5

Cf4x+2-6(x-2)>0

'14%+2-6(x-2)<6

口f4x+2-6(x-2)>l

'14%+2-6(%-2)<5

【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】設(shè)有x條船，根據(jù)“每條船坐4人，則2人無船坐”可得學(xué)生有(4x+2)人，再根據(jù)“每條船

坐6人，則空一條船，還有船不空也不滿”列出不等式組即可.

【解答】解：設(shè)有x條船，則學(xué)生有(4x+2)人，

f4x+2-6(x-2)>0

由題意得：7.

+2-6(%-2)<6

故選：C.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的不

等關(guān)系.

(X—n

8.(2025?金水區(qū)校級模擬)若關(guān)于x的不等式組的解集為-lVxVl,則〃+方的值是()

kb-2%>0

1I

A.1B.-C.-1D.-4

22

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，表示出不等式組的解集，據(jù)此得出關(guān)于a,b的等式即可解

決問題.

【解答】解：由題知，

解不等式x-a>2得，x>a+2；

解不等式b-2x>0得，x<^,

因為不等式組的解集為-IVxVl,

b

所以。+2=-1且—=1,

2

解得a=-3,b=2,

所以a+b=-1.

故選：C.

【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)題意得出關(guān)于。，人的等式是解題的關(guān)鍵.

（X—1v1

9.（2025春?福鼎市期中）不等式組、~的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

{x>—1

—>—6—?---1—

A.-2-1012

B.-2-1012

—?—A—?---1—

C.-2-1012

---10----1--1------1_?

D.—2—1012

【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，求出不等式組的解集，并將解集在數(shù)軸上表示出來即可.

【解答】解：解不等式X-1W1得，x（2,

所以不等式組的解集為：-1<XW2.

數(shù)軸表示如下：

---1---O--1----1----o-?

-2-1012.

故選：c.

【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式組

的步驟是解題的關(guān)鍵.

+3>3丫—1

10.（2025春?新野縣期中）若關(guān)于x的不等式組的解集為x<4,則機滿足的條件是（）

{x<m

A.m<4B.m=4C.-4D.m^4

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式2尤+3>3x-1得：x<4,

2r+3>3久一1

工的解集為尤<4,

{x<m

故選：D,

【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.解集的規(guī)律：同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到.

二.填空題（共5小題）

（^>-1

11.（2025春?云溪區(qū)期中）不等式組2-的解集是尤>3.

1-%<-2

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】無>3.

【分析】首先分別計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)同大取大確定不等式組的解集.

>—i（T）

【解答】解：2-匹，

U-x<-2@

由①得：尤>-2,

由②得：尤>3,

不等式組的解集為：x>3,

故答案為：x>3.

【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小

大中間找；大大小小找不到.

3—2r<x

的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，求。的取值

{2x—l>a

范圍是aW1.

01

【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】aWl.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大并結(jié)合不等式組的解集求解可得答案.

【解答】^-2x<x?

（2x-l>a@

解不等式①得，尤>1,

解不等式②得，X〉竽，

:根據(jù)解集在數(shù)軸上的表示，

（Z+1

-----<L

2

?'.aWl,

故答案為：aWL

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同

小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

13.（2025?大連一模）若關(guān)于彳的不等式（4-3）彳>3-。的解集為；1<-1,則a的取值范圍。<3.

【考點】解一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】a<3.

【分析】根據(jù)已知解集得到a-3為負數(shù)，即可確定出a的范圍.

【解答】解：不等式（a-3）x>3”的解集為元<-1,

a-3<0,

解得a<3.

故答案為：a<3.

【點評】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.不等式的性質(zhì)：不等式的

兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘

以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號

的方向改變.

14.（2025春?海淀區(qū)校級期中）有人問一位教師所教班級有多少人，教師說：“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分

之一學(xué)生在學(xué)音樂，七分之一學(xué)生在讀外語,還剩下不足六位學(xué)生在操場踢足球”,則這個班有28名

學(xué)生.

【考點】一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式，又根據(jù)一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂，七分

之一的學(xué)生在讀外語，可知該班學(xué)生一定是2、4、7的倍數(shù)，從而可以解答本題.

【解答】解：設(shè)這個班有x人，

111

由題意可得：X—7TX--TX—xV6,

N4/

25

整理得，~x<6,

28

解得x<56,

又...一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂，七分之一的學(xué)生在讀外語，

???該班學(xué)生一定是2、4、7的倍數(shù)，

；.x=28,

所以這個班有28名學(xué)生，

故答案為：28.

【點評】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是列出相應(yīng)的不等式，注意要聯(lián)系實際

情況和題目中的要求.

15.（2025春?鐵西區(qū)期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點尸（x,y）,若無，y均為整數(shù)，則稱

點P為“整點特別地，當(dāng)乙（其中孫#0）的值為整數(shù)時，稱“整點”尸為“超整點已知點P（2a

-4,。+3）在第二象限，下列說法：①a<-3；②若點尸為“整點”，則點尸的個數(shù)為4個；③若點尸

為“超整點”，則點P的個數(shù)為1個；④若點尸為“超整點”，則點尸到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于5.其

中正確的是②③④.(填序號即可)

【考點】解一元一次不等式組；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；平面直角坐標(biāo)系；運算能力；推理能力.

【答案】②③④.

【分析】利用各象限內(nèi)點的特征求出a的取值范圍，即可判斷①，利用“整點”定義即可判斷②，利用

“超整點”定義即可判斷③，利用“超整點”和點到坐標(biāo)軸的距離即可判斷④.

【解答】解：???點P(2a-4,a+3)在第二象限，

-4<0

'la+3>0'

-3<a<2,故①錯誤，不符合題意；

:點P(2a-4,o+3)為“整點”，-3<a<2,

，整數(shù)。為-2,-1,0,1,

點尸的個數(shù)為4個，故②正確，符合題意；

“整點”尸為(-8,1),(-6,2),(-4,3),(-2,4),

1121334

,**=一—,———,———,——2,

—88—63—44—2

“超整點"尸為(-2,4),故③正確，符合題意；

;點P(2a-4,a+3)為“超整點P

點尸坐標(biāo)為(-2,4),

.?.點P到兩坐標(biāo)軸的距離之和2+4=6,故④正確，符合題意；

故答案為：②③④.

【點評】本題考查了新定義，點到坐標(biāo)軸的距離，各象限內(nèi)點的特征，不等式組的解法等知識，熟練掌

握以上知識點是關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025春?徐州期末)已知關(guān)于無的方程4x+2m+3=2x+9的解是負數(shù).

(1)求相的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，解關(guān)于x的不等式x-1〉萼上

【考點】解一元一次不等式；一元一次方程的解.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】(1)m>3；

(2)X<y-54—.

3—m

【分析】(1)先求出方程的解，根據(jù)方程的解為負數(shù)，得到關(guān)于機的不等式，進行求解即可；

(2)根據(jù)解不等式的步驟進行求解即可.

【解答】解：(1)4x+2〃z+3=2r+9,

解得尤=3-m,

由條件可知3-m<0,

(2)去分母可得3x-3>/MX+1,

(3-Mx>4,

由(1)知：3-m<0,

.4

??X77.

3—m

【點評】本題考查根據(jù)方程的解的情況求參數(shù)的范圍，求不等式的解集：熟練掌握原式知識點是關(guān)鍵.

17.(2025春?河西區(qū)校級期末)解不等式組.

(2x—l5x+l

-------2-<1.

.5%—1<3(x+1)

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】-1<尤<2.

【分析】先分別求出不等式組中每一個不等式的解集，再根據(jù)“大大取較大，小小取較小，大小小大中

間找，大大小小無處找”的原則確定出不等式組解集即可.

【解答】解：p2-±U,

、5x-1<3(%+1)@

解①得，尤>-1,

解②得，x<2,

根據(jù)“大大取較大，小小取較小，大小小大中間找，大大小小無處找”可得：

-l<x<2.

【點評】本題考查了解不等式組，正確進行計算是解題關(guān)鍵.

18.(2025春?金牛區(qū)校級期中)有一段6000米的道路由甲、乙兩個工程隊負責(zé)完成，已知甲工程隊每天

完成600米，乙工程隊每天完成300米.若甲隊先單獨工作若干天，再由甲、乙兩工程隊合作完成剩余

的任務(wù)，設(shè)兩工程隊合作施工X天.

(1)用含X的代數(shù)式表示甲隊單獨工作天數(shù)；

(2)如果甲隊每天需工程費7000元，乙隊每天需工程費5000元，且支付工程隊總費用不超過79000

元，請列不等式求出x的最大值.

【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式；一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】(1)10—

(2)6.

【分析】(1)根據(jù)工作量、工作時間和工作效率之間的關(guān)系即可得出答案；

(2)設(shè)兩工程隊合作施工尤天，根據(jù)支付工程隊總費用不超過79000元，列出不等式，求出不等式的

解集，即可得出答案.

【解答】解：(1)設(shè)甲隊先單獨工作a天，

根據(jù)題意得：600i?+(600+300)x=6000,

,3

??ct=10—2%,

答：甲隊單獨工作(10-Jr)天；

(2)根據(jù)題意得：7000X(10-|A)+(7000+5000)79000,

解得：尤W6,

.??X的最大值為6.

【點評】此題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂

題意，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程和不等式求解.

19.(2025春?覃塘區(qū)期中)若一元一次方程的解在某個一元一次不等式組的解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次

(x—1>0

方程為該不等式組的“伴隨方程”.例如：方程3x-6=0的解為x=2,不等式組的解集為1

(X—1>0

<x<3,因為1V2V3,所以稱方程3%-6=0為不等式組的“伴隨方程”.

(%<3

2fQY_1_丫

(1)在方程①3x-3=0；②尤-(3^+1)=-7；③一1=0中，不等式組的“伴隨

312%<7

方程”是②；(填序號)

%+2VI—x

(2)若不等式組以+3的一個“伴隨方程”的解是整數(shù)，且這個“伴隨方程”是x+m=O,

2<3(1+1)

求常數(shù)機的值；

(3)①解兩個方程(用含m的式子表示)：2(x+m)=x+5和3x-2m=4；②是否存在整數(shù)m,使得

這兩個方程都是不等式組上”一2>2Q-x)的“伴隨方程”？若存在，求出所有符合條件的加值；若

3%<x+10

不存在，說明理由.

【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解；一元一次方程的解；解一元一次不等式組.

【專題】一次方程(組)及應(yīng)用；一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】(1)②；

(11

(2)①x=5-2如x=&歲；②m=l時，使得這兩個方程都是不等式組2”—2>2Q—x)的“伴隨

(3%<%+10

方程”.

【分析】(1)分別求出方程①②③的解，再求出不等式組的解集，根據(jù)“伴隨方程”的定義進行判斷即

可；

%+2—x

(2)求不等式組4芯+3的解集，再根據(jù)不等式組的一個“伴隨方程"x+m=O的解是整數(shù)，

<3(%+1)

進而求出m的值即可；

(3)①根據(jù)一元一次方程的解法解這兩個方程即可；②求出不等式組的解集，根據(jù)“伴隨方程”的定

義得出1<5-2/<5或歲V5,兩個不等式組公共解是0〈根<2,即可判斷存在整數(shù)根=1,使

/I1

得這兩個方程都是不等式組2"—2>2q-切的，，伴隨方程，，.

3x<x+10

2

【解答】解：(1)方程①3x-3=0的解為％=1；方程②(3x+l)=-7的解為x=3；方程③孑X-1=0

的解為x=

—1>5—X

不等式組的解集為L5VXV3.5,

(2%<7

V1.5<3<3.5,

—1—Y

???不等式組的“伴隨方程”是②X-(3x+l)=-7,

(2x<7

故答案為：②;

%+2VI—xn1

⑵不等式組以+3解集為

<3(%+1)22

%+2<d—x

???不等式組4%+3的一個“伴隨方程”工+m=。的解是整數(shù),

——<3(%+1)

-m=-1,

即m=l,

故常數(shù)機的值為：1;

(3)①2(x+m)=x+5

2x+2m=x+5f

x=5-2m；

3x-2m=4,

3x=2m+4,

②由于關(guān)于x的不等式組2"—2>2Q—X）的解集為1<X<5,

3x<x+10

若這兩個方程都是不等式組2”一zQ一町的“伴隨方程”，

3x<x+10

貝1J1<5-2m<5或1<即呈或<5,

由1V5-2m<5解得0<m<2,

由1v駕丑<5解得一/Vm〈學(xué)，

：.0<m<2,

??in1,

...機=1時，使得這兩個方程都是不等式組2支一”Q一町的“伴隨方程”.

3x<x+10

【點評】本題考查一元一次方程、一元一次不等式組的解，掌握一元一次方程、一元一次不等式組的解

法是解決問題的前提，理解“伴隨方程”的定義是正確解答的關(guān)鍵.

20.（2025春?靜安區(qū)校級期中）靜安購物節(jié)期間甲乙兩家商店各自推出優(yōu)惠活動.

商店優(yōu)惠方式

甲所購商品按原價打八五折

乙所購商品按原價每滿300元減60元

設(shè)顧客在甲乙兩家商店購買商品的原價都為尤元，請根據(jù)條件回答下列問題：

（1）如果顧客在甲商店購買商品選擇優(yōu)惠活動后實際付款0.85x元；（用含有x的代數(shù)式表示）

（2）顧客購買原價在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品時，如果選擇

乙商店的優(yōu)惠活動比選擇甲商店的優(yōu)惠活動更合算，求x的取值范圍.

【考點】一元一次不等式的應(yīng)用；列代數(shù)式.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識.

【答案】（1）0.85x；

（2）600?800.

【分析】（1）由甲商店所購商品按原價打八五折，即可得出結(jié)果；

（2）先算出顧客選擇乙商店的優(yōu)惠活動購買原價在600元（包括600元）以上，900元（不包括900

元）以下的商品時的實際付款，再根據(jù)如果選擇乙商店的優(yōu)惠活動比選擇甲商店的優(yōu)惠活動更合算，結(jié)

合（1）的結(jié)論，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）如果顧客在甲商店購買商品選擇優(yōu)惠活動后實際付款為：0.85x元，

故答案為：0.85尤；

（2）在600900時，選擇乙商店的優(yōu)惠活動后實際付款為：（尤-120）元，

由題意得：x-120＜0.85x,

解得：尤＜800,

，600W尤＜800.

【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、列代數(shù)式，找準數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解

題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.列代數(shù)式

（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式.

（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義.如

“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分.②分清數(shù)量關(guān)系.要正確列

代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.③注意運算順序.列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起

來.④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，

數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用.⑤正確進行代換.列代數(shù)式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“X”簡寫作“丫或

者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù).

4.含有字母的除法，一般不用“!”（除號），而是寫成分數(shù)的形式.

2.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

3.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=等義100%）；（4）工程問題（①工作量=人均效率X人數(shù)

進價

X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求

的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、

求解、作答，即設(shè)、歹人解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x）,根據(jù)實際情況