專題08二次函數(shù)(4大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測)

力內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析工：學(xué);一教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：4大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識

知識點1.二次函數(shù)

1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如>=依2+公+。(縱b、c是常數(shù)，aWO)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中X、

y是變量，a、6、c是常量，。是二次項系數(shù)，6是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.^cur+bx+c(a、b、c是常數(shù)，

a=0)也叫做二次函數(shù)的一般形式.

2.二次函數(shù)的一般式

任何一個二次函數(shù)的解析式都可化成yuad+bx+c(a、6、c是常數(shù)，。#0)的形式，因此，把、=加+加出:(a、

b、c是常數(shù)，aWO)叫做二次函數(shù)的一般式.

判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后

再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為。這個關(guān)鍵條件.

【課前熱身】

1.指出下列二次函數(shù)中相應(yīng)的a,b,c的值：

(1)y=-5x2+3尤+1；(2)y=(x-1)2-1；(3)y=-x2+6.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義解答.

【詳解】解：(1)y=-5x2+3x+1,

a=—59Z?=3,c=l；

(2)y=(^x—I)2—1=%2—2x,

a=l,Z?=—2,c=0；

(3)y=-x2+6,

a=—lfZ?=O,c=6.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的定義，形如y=a%2+"+c(a、b、。是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次

函數(shù).其中x、y是變量，a、b、c是常量，。是二次項系數(shù)，人是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

2.下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？

3

(1)y=—x；(2)y=-0.5x2+1；(3)y=x(2x—1)；

(4)y=(x+2>-3；(5)y=(x+4)2-x2.

【答案】(2)(3)(4)是二次函數(shù).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：(1)y不是二次函數(shù)，不符合題意；

4

(2)y=-0.5/+1是二次函數(shù)，符合題意；

(3)y=x(2x-l)是二次函數(shù)，符合題意；

(4)y=(x+2)2-3是二次函數(shù)，符合題意；

(5)y=(x+4)2-d不是二次函數(shù)，不符合題意.

故(2)(3)(4)是二次函數(shù).

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟知一般地，形如y=af+6x+cm、b、c是常數(shù)，的函

數(shù)，叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.當(dāng)系數(shù)a,b,c滿足什么條件時，函數(shù)y=aY+6x+c是二次函數(shù)？是一次函數(shù)？是正比例函數(shù)？

【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)、正比例函數(shù)定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：函數(shù)y=^2+bx+c中awO,b和c為任意常數(shù)時是二次函數(shù)，

a=0,bwO,c為任意常數(shù)時是一次函數(shù)；

4=0,6H0,c=0時是正比例函數(shù).

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)、正比例函數(shù)，關(guān)鍵是掌握三種函數(shù)定義.

知識點2.根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式

根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題.需要注意的是

實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定.

①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，

再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題.

②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；

有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式.

【課前熱身】

1.正方形的邊長為4,當(dāng)邊長增加x時，面積增加y,求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式.這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎？

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出y與無的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷.

【詳解】解：y是尤的二次函數(shù).

由題意得，(尤+4)2=y+4。，

整理得，y=/+8x,

故y是x的二次函數(shù).

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的定義、正方形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的定義、正方形的面積公式是解題

的關(guān)鍵.

2.某商場第1年銷售計算機(jī)5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x,寫出第3年的銷售

量y關(guān)于每年增加的百分率尤的函數(shù)解析式.

【答案】>=5000(1+尤了.

【分析】利用第3年的銷售量=第一年的銷售量x(l+每年銷售量的增長率)2,即可得出第3年的銷售量y

關(guān)于每年增加的百分率x的函數(shù)解析式.

【詳解】解：根據(jù)題意得：,=5000(1+元了.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式

是解題的關(guān)鍵.

3.已知：一個邊長為8sl的正方形，把它的邊長延長后得到一個新的正方形，那么，周長增大的

部分s(皿)和面積增大的部分％9")分別是x(cm)的函數(shù).

求出這兩個函數(shù)的表達(dá)式，并判定它們的類型；如果是二次函數(shù)，寫出表達(dá)式中a,b,c的值.

【分析】根據(jù)題意可得：周長增大的部分新正方形的周長-原正方形的周長；面積增大的部分

%(c/)=新正方形的面積一原正方形的面積，根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)解析式即可.

【詳解】解：由題意得：x=4(8+x)-4x8=4x,此函數(shù)是正比例函數(shù)；

=(8+x)2-82=x2+16x,此函數(shù)是二次函數(shù)，

其中a=l,b=16,c=0.

【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系.

8練題型強(qiáng)知識

【題型1】二次函數(shù)的有關(guān)概念

1.(2025?普陀區(qū)三模)下列函數(shù)中，y關(guān)于x的二次函數(shù)的是()

A.y=--vB.y=2xC.y=(x+2)2D.y=ax2+bx+c

x

【答案】C

【分析】形如y=加+法+c(〃、b>c為常數(shù)，。w0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，由此判斷即可.

【詳解】解：A、y不是關(guān)于1的二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

B、y是光的正比例函數(shù)，故此選項不符合題意；

C、y是關(guān)于X的二次函數(shù)，故此選項符合題意；

D、當(dāng)。=0時，y不是關(guān)于尤的二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.(2024秋?仙游縣期末)二次函數(shù)y=2f-l的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為()

A.2,0,-1B.2,2,-1C.2,2,1D.2,0,1

【答案】A

【分析】二次函數(shù)y=ox2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，awO)中af叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；叫做

一次項，6叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項；由此判斷即可.

【詳解】解：二次函數(shù)y=2/-l的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為2,0,-1,

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟知二次函數(shù)的各項及各項系數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.在下列表達(dá)式中，x為自變量，問哪些是二次函數(shù)？

y=3x2-1,y=5x2-2x,y=-2x2+x-l,y=4-x3,y=-2x2+—,y=(無一2)(2元+1).

x~x

【答案】二次函數(shù)有：y=3f-l,J=5X2-2X,y=-2x2+x-l,y=(尤一2)(2尤+1).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可得出答案.

【詳解】解：二次函數(shù)有：y=3x2-1,y=5x2-2x,y=-2x2+x-l,y=(x-2)(2x+l).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義條件：(1)一次函數(shù)

、=區(qū)+6的定義條件是：k、6為常數(shù)，k豐0,自變量次數(shù)為1；(2)二次函數(shù)y=a/+bx+c的定義條

件是：a、b、c為常數(shù)，a/0,自變量最高次數(shù)為2.

4.判斷下列函數(shù)是不是二次函數(shù).如果是二次函數(shù)，請說出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

(1)y=2f-3.

(2)y=3x—\.

(3)y=(2x-l)(l-x).

(4)y=±+l.

X

【答案】(1)是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是2、一次項系數(shù)是0,常數(shù)項是-3；

(2)不是二次函數(shù)；

(3)是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是-2、一次項系數(shù)是3,常數(shù)項是-1；

(4)不是二次函數(shù).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：(1)y=2f_3,是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是2、一次項系數(shù)是0,常數(shù)項是-3；

（2）y=3x-l不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)；

（3）丫=（2尤-1）（1-尤）=-2/+3尤-1,是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是-2、一次項系數(shù)是3,常數(shù)項是-1；

（4）y=±+l不是二次函數(shù).

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y=^2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，。/0）的函數(shù),

叫做二次函數(shù).其中尤、y是變量，。、6、c是常量，。是二次項系數(shù)，6是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

【題型2】根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)的值

5.（2024秋?譙城區(qū)期末）已知丫=（4+1）/包+3工-6是二次函數(shù)，貝i|a=（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得4+1=2且。+1工0,從而可得答案.

【詳解】解：由條件可知4+1=2,

解得0t=-1或2=1,

?「a+1wO,

aw—1,

Q=1.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義.熟練掌握定義是關(guān)鍵.

6.（2024秋?鄲都區(qū)期末）若函數(shù)＞=（%-2）鏟+3x+l表示y是x的二次函數(shù)，貝心的值為2_.

【答案】—2.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義得到左-2/0且|%|=2,然后解不等式和方程即可得到左的值.

【詳解】解「?函數(shù)y=（02）/+3x+l是關(guān)于x的二次函數(shù),

k\=2,解得左=—2或&:=2,

■:k—2w0,

.,.左w2,

/.k=~2.

故答案為：-2.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

7.（2024秋?涼州區(qū)校級期中）已知y=（m+3）/2+2i+%—5是y關(guān)于x的二次函數(shù)，求相的值.

【分析】根據(jù)題意可得，m+3^0,m2+2m-l=2,因式分解求值即可.

【詳解】解：由已知條件可得：m+3w0,m2+2m-l=2,

解得：相w—3,叫=-3,恤=1,

：.m—\.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的概念，因式分解求一元二次方程的解，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵.

8.（2024秋?上思縣期中）已知關(guān)于x的函數(shù)y=（加-加+如+（w+]）.

（1）當(dāng)7"為何值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？

（2）當(dāng)機(jī)為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)？

【答案】（1）"7W0且"7W1；

（2）m—1.

【分析】（1）形如>=依2+法+。（。、b、c為常數(shù)，。*0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，由此解答即可；

（2）形如y=fcc+6（左、6為常數(shù)，左20）的函數(shù)叫做一次函數(shù)，由此解答即可.

【詳解】解：（1）由二次函數(shù)的概念可得蘇-帆/0,

砥〃2—1）#0，

解得7%工0且加工1；

（2）由一次函數(shù)的概念可得

Jm2-m=0

[m^O

解得m=l.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義，熟練掌握這兩個定義是解題的關(guān)鍵.

9.（2024秋?蟀炯區(qū)校級月考）已知函數(shù)y=（1-l）尤2+Q，-2W—3）X-W-1.

（1）當(dāng)〃為何值時，y是x的一次函數(shù)？

（2）當(dāng)”為何值時，y是x的二次函數(shù)？

【答案】（1）當(dāng)〃=1時，y是x的一次函數(shù)；

（2）當(dāng)〃2±1時，y是尤的二次函數(shù).

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可求解；

2I=o

【詳解】解：（1）由題意得，\r?\_,

[rr-2n-3^0

解得〃=1,

.?.當(dāng)〃=1時，y是x的一次函數(shù)；

（2）由題意得，I/O,

/.〃W±1,

二當(dāng)"±1時，y是x的二次函數(shù).

【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【題型3】判斷是否是二次函數(shù)關(guān)系

10.（2025?朝陽區(qū)校級模擬）如圖，矩形ABCD的面積為10。/,點E在鉆邊上，點尸在CD邊上，四

邊形AEFD是正方形，記線段4）的長為xcm,AB的長為yew,正方形也表的面積為內(nèi).當(dāng)x在

一定范圍內(nèi)變化時，%,為隨x的變化而變化，則%,當(dāng)與尤滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

D_____F_______c

AEB

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

【答案】D

【分析】分別根據(jù)題意得％=3，即可得%,必與尤滿足的函數(shù)關(guān)系.

X

【詳解】解：,矩形ABCD的面積為IO。"，，線段4）的長為尤cm,4?的長為必???,

x”=10,

10

%=—>

x

2

正方形AEFD的面積為y2cm,

..%=尤-,

必與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系.

故選：D.

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)和二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系.

11.（2025春?銀川校級月考）把圖①中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形

拼成如圖②所示的正方形，記其中一個直角三角形的一條直角邊長為xcm,另一條直角邊的長為ycm,

圖②中的較小正方形面積為San2.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x,S

與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

【答案】C

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以分別寫出y與尤的關(guān)系和S與x的關(guān)系，從而可以得到y(tǒng)與x滿足的函數(shù)關(guān)

系和S與尤滿足的函數(shù)關(guān)系.

【詳解】解：?.?x+y=6,

則y=6-x,y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，

S=尤？+y-=x?+(6—尤)-=2尤2—12尤+36,

則S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理，菱形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

12.(2024秋?平輿縣期末)如圖，矩形綠地的長、寬分別為305，20m,現(xiàn)將矩形綠地的長、寬各增加x

m.設(shè)新綠地的周長為ym,面積為Sm2,當(dāng)尤在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與尤，

S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是()

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

D.正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

【答案】A

【分析】依據(jù)題意，矩形的周長為y=2(30+x+20+x)=100+4x,面積S=(30+x)(20+x)=600+50尤+/,

即可判定.

【詳解】解：由題意得，y=2(30+x+20+x)=100+4x,

即y與x是一次函數(shù)關(guān)系，

S=(30+x)(20+x)

=600+50x+x2,

矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S=x?+5O.r+600,

即滿足二次函數(shù)關(guān)系，

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次

函數(shù)的解析式形式是解題的關(guān)鍵.

【題型4】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式

13.(2024秋?城關(guān)區(qū)校級期末)為了解決藥價虛高給老百姓帶來的求醫(yī)難的問題，國家決定對某藥品分兩

次降價.若設(shè)平均每次降價的百分率為x,該藥品的原價是50元，降價后的價格是y元，則y與x之間的

函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=100(1-%)B.y=100(1+%)C.y=50(l+x)2D.y=50(l-x)2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，得出第一次降價后的價格為50(l-x)元，第二次降價后的價格為50(1-元，再根據(jù)兩

次降價后的價格為y元，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：由題意可得：

第一次降價后的價格為50(l-x)元，

第二次降價后的價格為50(1-x)2元，

又?.?兩次降價后的價格為y元，

與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=50(1-x)2.

故選：D.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)的關(guān)系式，正確根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出式子是解題關(guān)鍵.

14.(2025?云南校級模擬)某暢銷書的售價為每本20元，每星期可賣出300本，書城準(zhǔn)備開展“讀書節(jié)

活動”，決定降價促銷.經(jīng)調(diào)研，如果調(diào)整書籍的售價，每降價2元，每星期可多賣出20本.設(shè)每本降價

x元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為y元，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=(20-x)(300+10%)B.y=(20-x)(300+20x)

C.y=(20-2x)(300+10%)D.y=(20-2x)(300+20x)

【答案】A

【分析】根據(jù)降價x元，則售價為(20-x)元，銷售量為(300+lOx)本，由題意可得等量關(guān)系：總銷售額為y=

銷量x售價，根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)解析式即可.

【詳解】解：設(shè)每本降價x元，則售價為(20-尤)元，銷售量為(300+10x)本，

根據(jù)題意得，y=(20-x)(300+10x),

故選：A.

【點評】本題考查由實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

15.(2024秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末)深高小學(xué)部飼養(yǎng)了兩只萌萌的羊駝，建筑隊在學(xué)校一邊靠墻處，計劃用15米

長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，倉庫總面積為y平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留

出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，若設(shè)AB=x米，則y關(guān)于x的

函數(shù)關(guān)系式為()

All

B——?—?——.

A.y=x(18—4%)B.y=x(18—2x)C.y=x(12—4x)D.y=x12—2x

【答案】A

【分析】由鐵柵欄的全長及AB的長，可得出平行于墻的一邊長為(18-4x)米，再利用長方形的面積公式,

即可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：平行于墻的一邊長為15+3-4x=(18-4x)米.

根據(jù)題意得：y=x(18-4x).

故選：A.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確找到題中的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

16.在一塊一邊長為35相、另一邊長為20租的矩形空地上修建花壇，如果在四周留出寬度為x機(jī)的小路,

中間花壇面積為ym2,求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】y=(35-2元)(20-2x)(0<x<10).

【分析】由矩形空地的長、寬及四周所留小路的寬度，可得出中間花壇的長為(35-2幻加，寬為(20-2X)〃7,

利用矩形的面積公式，可得出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，再找出x的取值范圍即可.

【詳解】解：?.■矩形空地的長為35機(jī)，寬為20機(jī)，且四周留出小路的寬度為xm,

中間花壇的長為(35-2x)〃z,寬為(20-2x)〃z.

根據(jù)題意得：y=(35-2x)(2。-2?,

fx>0

1120-2x>0'

.,.0<x<10,

r.y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=(35-2x)(20-2x)(0<x<10).

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與x之間的函數(shù)表達(dá)

式是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，一塊矩形田地長100相，寬80根，現(xiàn)計劃在田地中修2條互相垂直且寬度為x(加)的小路，剩

余面積種植莊稼，設(shè)剩余面積為y(/),求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍.

【答案】、=尤2-180尤+8000（0<;<;<80）.

【分析】首先表示出矩形面積進(jìn)而減去小路面積即可得出答案.

【詳解】解：由題意可得：y=（100-尤）（80-x）

=x2—180尤+8000（0<x<80）

【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)面積關(guān)系得出等式是解題關(guān)鍵.

一般地，若兩f變量叫y之間的對應(yīng)審題

列二次函數(shù)表（----

關(guān)系可以表示成V=aa;2+bz+c（a,b,達(dá)式的步驟!找等量關(guān)系

c是常數(shù),aKO）的形式，則稱〃是h

的二次函數(shù)列表達(dá)式

等號兩邊是關(guān)于自變量的整式。嶙

O母門e一片面積、體積公式

---------------------------滿足念數(shù)表達(dá)式常見的一次f------------------------

自變量最高次項的次數(shù)是2」條件J函數(shù)關(guān)系物理學(xué)中的有關(guān)公式

------------------------.......q.…—...............-6——.....---------------------

二次項系數(shù)a#0利潤與售價的關(guān)系

然型4】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)［題型1］:欠函數(shù)的有關(guān)概念

?--------------------------------

二次函數(shù)（4大考點精

［題型3］判斷是否是二次函數(shù)關(guān)系/隹練）0s型2］根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?宜州區(qū)期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

1271

A.y=x+—B.y=3（九一1）C.y=ax2+bx+cD.y=---x

2x

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=af+6x+c（。、b、c是常數(shù)，。*0）的函數(shù)，叫做二次

函數(shù)，即可解答.

【詳解】解：A、y=x是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；

2

B、y=3（尤-1）2是二次函數(shù)，故此選項符合題意；

C＞當(dāng)〃=0時，y="2+尿+。不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

D、丫=二-彳不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

%2

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2024秋?路橋區(qū)期末）已知y=（a+2）龍2-5》是關(guān)于x的二次函數(shù)，則。的取值范圍是（）

A.a...-2B.C.a..2D.g-2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，＞=（a+2）/-5x是關(guān)于x的二次函數(shù)，

所以a+2/O,

即a片一2.

故選：D.

【點評】此題考查了二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是關(guān)鍵.

3.（2024秋?碑林區(qū)期末）若關(guān)于x的函數(shù)y=（%+2）x"2-2+x-3是二次函數(shù)，則加的值為（）

A.0B.2C.-2或2D.-2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義得出777+2/0且療-2=2,求出即可.

【詳解】解：?.?關(guān)于x的函數(shù)丁=（〃?+2），-2+》-3是二次函數(shù)，

〃7+2w0且〃/—2=2,

解得：777=2.

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如＞=依2+&+,（。、b、c是常數(shù)，的函數(shù),

叫做二次函數(shù).

4.（2024秋?譙城區(qū)期末）已知y=（a+l）/+i+3x-6是二次函數(shù)，貝普=（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得a?+l=2且。+1/0,從而可得答案.

【詳解】解：由條件可知"+1=2,

解得％=-1或%=1,

aw—11

a=1"

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義.熟練掌握定義是關(guān)鍵.

5.(2024?金平區(qū)校級二模)正方形的面積S和邊長a的函數(shù)關(guān)系是()

A.正比例函數(shù)B.一次函數(shù)C.反比例函數(shù)D.二次函數(shù)

【答案】D

【分析】利用正方形的面積公式和函數(shù)的相關(guān)定義解答即可.

【詳解】解：正方形的面積S和邊長a之間的關(guān)系可以表示5=。2,則S與a之間的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)，

故選：D.

【點評】本題主要考查了正方形的面積，二次函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

6.(2024秋?集賢縣期末)某超市1月份的營業(yè)額為200萬元，第一季度的營業(yè)額為y萬元，如果平均每

月增長率為x,那么y與尤的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=200(l+x)2B.y=200+200x2x

C.y=200+200x3xD.y=200[l+(l+x)+(l+尤了]

【答案】D

【分析】由該超市1月份的營業(yè)額及平均每月的增長率，可得出該超市2、3月份的營業(yè)額，再結(jié)合該超市

第一季度的營業(yè)額為y萬元，即可得出y與尤的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：?.?某超市1月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為X,

該超市2月份的營業(yè)額為200(1+x)萬元，3月份的營業(yè)額為200(1+x)2萬元.

根據(jù)題意得：y=200+200(1+x)+200(1+x)2,

即y=200[l+(l+x)+(l+x)2].

故選：D.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與x的函數(shù)關(guān)系式是

解題的關(guān)鍵.

7.(2023秋?和平區(qū)校級期末)有一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外邊用長為20租的籬笆圍成.已知

墻長為15根，若平行于墻的一邊長不小于8m，設(shè)這個苗圃園的寬AB為x,面積為S,則S與x之間的函數(shù)

表達(dá)式為()

A.S=x(20-x),(8M15)B.S=x(20-2x),(2.5強(qiáng)/6)

C.S=x(20-x),(2.5g!k6)D.S=x(-2x+20),(x.2.5)

【答案】B

【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出BC=(20-2x)機(jī)，利用矩形的面積公式，可得出S關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系

式，再結(jié)合“墻長為15根，且平行于墻的一邊長不小于8加”，即可求出x的取值范圍.

【詳解】解：?.?籬笆的總長為20m，AB=xm,

BC=(20—2x)m.

根據(jù)題意得：S=x(20-2x).

?.?墻長為15〃z,且平行于墻的一邊長不小于，

j20-2x<15

"[20-2^>8'

,2.5黜6,

S與尤之間的函數(shù)表達(dá)式為S=x(20-2x)(2.5M6).

故選：B.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與x的函數(shù)關(guān)系式是

解題的關(guān)鍵.

8.(2024秋?東城區(qū)校級月考)線段AB=5,動點尸以每秒1個單位長度的速度從點5出發(fā)，沿線段84運

動至點A,以線段"為邊作正方形43cD,線段Pfi長為半徑作圓，設(shè)點P的運動時間為f,正方形APCD

周長為y,的面積為S,則S與f,y與f滿足的函數(shù)關(guān)系分別是()

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

D.二次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得出S與f,y與f的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的定義和一次函數(shù)的定義即可得

出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：PB=t,

:.PA=AB-PB=5-t,

的面積S=萬尸笈=加2,屬于二次函數(shù)關(guān)系，

正方形APCD周長y=4PA=4（5-t）=Yf+20,屬于一次函數(shù)關(guān)系，

故選：C.

【點評】本題主要考查了用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系，二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義等知識點，熟練

掌握二次函數(shù)的定義和一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

9.（2024秋?虹口區(qū)期末）已知y=2尤""2是二次函數(shù)，那么。的值是0.

【答案】0.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：根據(jù)已知，得病+2=2,

解得：m—O.

故答案為：0.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

10.（2024秋?泗水縣期中）已知丫=（加-2）鏟1+2是y關(guān)于x的二次函數(shù)，那么加的值為_-2_.

【分析】直接利用二次函數(shù)的定義分析得出答案.

【詳解】解：???,=（2廿+2是y關(guān)于x的二次函數(shù)，

m\=2,且%—2x0,

解得：m=—2.

故答案為：-2.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確把握系數(shù)與次數(shù)是解題關(guān)鍵.

11.（2024秋?廣饒縣期中）若y=（%+l）--2"T_x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則加的值為3.

【答案】3.

【分析】根據(jù)>=依2+6尤+c（。是不為。的常數(shù)）是二次函數(shù)，可得答案.

【詳解】解：根據(jù)？=加+區(qū)+9是不為0的常數(shù)）是二次函數(shù)可得：

m2-2m-1=2,且m+lwO,

解得m=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵，注意二次項的系數(shù)不等于零.

12.(2024秋?豐臺區(qū)校級期中)某商場第一年銷售計算機(jī)5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同

的百分率x,則第三年的銷售量y關(guān)于每年增加的百分率x的表達(dá)式為—y=5000(1+x)2

【分析】首先表示出第二年的為5000(1+x),然后表示出第三年的為5000(1+x)2,從而確定答案.

【詳解】解：設(shè)每年的銷售量比上一年增加相同的百分率尤，

根據(jù)題意得：y=5000(1+x)2,

故答案為：>=5000(1+尤了

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是分別表示出第二年和第三年的銷售

量，難度中等.

13.(2024秋?無為市期中)某商店以40元的價格購進(jìn)了一批服裝，若按每件50元出售時，一周內(nèi)可銷售

100件；當(dāng)售價每提高1元時，其周售量就會減少5件.若設(shè)每件售價為尤元，總利潤是y元，則y關(guān)于X的

函數(shù)解析式為_>=-5無2+550x-14000_.

【分析】根據(jù)每月售出襯衫的利潤=每件的利潤x每周的銷售量得到y(tǒng)=(x-40)[100-5(》-50)],整理即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得出：

y=(%-40)[100-5(x-50)]

=-5x2+550%-14000.

故答案為：J=-5X2+550%-14000.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，表示出每件利潤以及其銷量是解題關(guān)鍵.

14.(2024秋?東城區(qū)校級月考)如圖，要在空地上用40米長的竹籬笆圍出一個矩形園地，矩形的一邊靠

教學(xué)樓25米的外墻，其余三邊用竹籬笆.設(shè)矩形垂直的一邊為x米，面積為y平方米.寫出y與x的函數(shù)

關(guān)系式_y=-2f+40x_,自變量x的取值范圍是.

教學(xué)樓

/.////////〃/

[答案]y=-2x2+4O.r,7.5?x<20.

【分析】先用x表示出矩形的長，再利用矩形的面積公式得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合矩形的性質(zhì)與墻

的長度列不等式組解題即可.

【詳解】解：由題意，設(shè)矩形垂直于教學(xué)樓的一邊為x米，則矩形的長為(40-2x)米，

則矩形的面積y=x(40-2x)=-2x2+4O.r,

即y與x的函數(shù)關(guān)系式為>=-2x2+40x；

jx>0

"[0<40-2x<25'

解得：7.5,,尤<20；

故答案為：y=-2/+40x,7.5?x<20.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

三.解答題(共4小題)

15.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)y=x2-2.

(2)y=2x-3.

(3)y=x1-叵x+1.

(4)y=(x-5)2-x2.

(5)y=(x—l)(x+