2024.2025學(xué)年甘肅省臨夏州高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若z=—2+5i,則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知△力8c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2b,si7h4=弓，則sinB=()

A1B*Dl

3.已知4B,C為隨機(jī)事件，A與8互斥，B與C互為對(duì)立,且P(A)=0.2,P(C)=0.6,則PG4UB)=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.已知角6的終邊過點(diǎn)尸(一，5,1),則sin怎+2。)的值為()

A.B.|C.(D.

5.已知五?匕二-16且網(wǎng)=2,則向量五在向量加上的投影向量為()

A.25B.-2bC.4bD.-4b

6.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)半圓，其母線長為40，被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面半

徑為門的小圓錐，則所得圓臺(tái)的體積為()

A.2171B.427rC.637rD.847r

7.在直角梯形ABC。中，已知4B//CO,/-DAB=90°,AB=24D=2CD=4,點(diǎn)尸ix---六￡

是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).則麗?前的取值范圍是()/

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-i,0]D.[-i,2]

A

8.設(shè)函數(shù)/'(x)=cos?竽+gsi/i3X>0),若函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,J)上恰有4

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)3的取值范圍為()

A.S韻B店為C.直號(hào)謂號(hào)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.我市某中學(xué)高一三班有50人，其中男生、女生的人數(shù)及其團(tuán)員人數(shù)如表所示.

項(xiàng)目團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)

男生102030

女生51520

合計(jì)153550

記事件4為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到男生”，事件8為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到團(tuán)員”.下列說法

正確的是()

A.事件認(rèn)的對(duì)立事件為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到女生”

B.事件4與事件8互斥

CPS)/P(B)=、

D.事件力與事件8相互獨(dú)立

10.對(duì)于平面向量G,認(rèn)下列說法正確的是()

A.若d〃G,則di=0

B.若天不＜0,則2與3的夾角為鈍角

C.a=(V-2,sinOyb=(1,2yf2cosd),則五與B可能垂直

D.若@+弓)?位一力=另-a2,M|a|=\b\

11.正八面體是一種正多面體，由8個(gè)正三角形面組成，對(duì)角面為正方形.如

圖，正八面體E4BC。尸的棱長為5,M為棱FC上一點(diǎn),且CM=1,則()

A.平面EDC〃平面FB力

B.咳正八面體外接球的表面積為507r

C.二面角E-AD-尸的余弦值為一：

D.異面直線4E與BM所成角的余弦值為粵

三、填空題：本題共3小題，共如分。

12.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3i,貝“z|=.

13.甲、乙二人進(jìn)行一場(chǎng)游戲比賽，且比賽中不存在平局，先贏三局者獲勝，并可以獲得800元獎(jiǎng)金,已知

甲、乙二人在每局比賽中獲勝的可能性均相同已知當(dāng)甲連贏兩局，乙一局未贏時(shí)，因某種特疾情況需要終

止比賽.現(xiàn)將800元獎(jiǎng)金按兩人各自最終獲勝的可能性的比例進(jìn)行分配，則甲應(yīng)該分得元

14.直三棱柱48c-的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=2,=4,乙BAC=120°,則此球

的表面積為，體積為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量沅=(8一a,—c),元=(b++c),且沅1元.

(1)求B

(2)若b=2/3,求^ABC面積的最大值.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=2sin2x—4V~3COS2X+2V-3.

(1)求函數(shù)/(%)的圖象的對(duì)稱軸方程；

(2)求函數(shù)/?(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)當(dāng)工€[0,芻時(shí)，求函數(shù)/(幻的值域.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—48C。中，底面4BCD為平行四邊形，CD=4MD=4/2,△PCD為等邊三角形，平面

PACPA1CD.

(1)設(shè)G,H分別為PB,4c的中點(diǎn)，求證：GH〃平面PCO；

(2)求證：PA1平面PCD；

(3)求直線4D與平面PAC所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

科技進(jìn)步能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展，如人工智能中的。eepSeek小明、小華兩位同學(xué)報(bào)名參加某公司擬

開展的OeepSeek培訓(xùn)，培訓(xùn)前需要面試，面試時(shí)共有3道題目，答對(duì)2道題則通過面試(前2道題都答對(duì)或

都答錯(cuò)，第3道題均不需要回答).已知小明答對(duì)每道題目的概率均為本小華答對(duì)每道題目的概率依次為

盆，，且小明、小華兩人時(shí)每道題能否答對(duì)相互獨(dú)立.記“小明只回答2道題就結(jié)束面試”為事件4,記

DD4

“小華3道題都回答且通過面試”為事件8.

(1)求事件月發(fā)生的概率P(A);

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：z=-2-53

則復(fù)數(shù)之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-5),在第三象限.

故選：C.

先求得復(fù):數(shù)z=-2十5i?的共挽狂數(shù)，再由發(fā)數(shù)的幾何意義確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限即可.

本題主要考查共挽更數(shù)的定義，以及亞數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)镼=2b,sinA=

所以由可得sinB=處絲=Jx1=

sinAstnBa233

故詵：A.

利用正弦定理計(jì)算易得.

本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：力，B,C為隨機(jī)事件，4與B互斥，B與C互為對(duì)立，且P(A)=0.2,P(C)=0.6,

由B與C互為對(duì)立，

則P(8)=1-P(C)=1-0.6=0.4,

又4與8互斥，

則P(4UF)=P(4)+P(B)=0.2+0.4=0.6.

故選:B.

利用B與C互為對(duì)立求出P(8),再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案.

本題考查相互獨(dú)立事件概率概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【脩析】解：角。的終邊過點(diǎn)P(-1)，

則r=\OP\=J(-V-3)2+I2=2,所以sin。=

故原式=-cos23=—(1-2sin20')=—[1-2x(i)2]=—

故選:A.

利用三角函數(shù)的定義求出sin%然后利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.

本題主要考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】0

【解析[解：向量五在向量b上的投影向量為：=二”方=一41

故選：D.

根據(jù)投影向量的定義即可求解.

本題考查了投影向量的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：作出圖形的軸截面如下：

C

AB

其中E,8分別為圓臺(tái)的上下底面圓的圓心，設(shè)圓錐底面半徑為r,

則根據(jù)題意可知2nr=4，5rr,解得r=2，5，

其中DE=6,AC=4/3M5=r=273?則CB=AC2-AB1=6，

由需=器=點(diǎn)可得CE=3,BE=3,

所以圓臺(tái)的體積為V=|TTX[(73)24-(2/3)2+/3x2/3]x3=217r.

故選：A.

作出圖形的軸截面，利用勾股定理及相似比求出圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式即可得解.

本題考查圓臺(tái)的體積的求解，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：建系如圖：

則4(0,0),C(2,2),8(4,0),F(3,l),

設(shè)E(%2),xe[0,2],

所以麗=(-x,-2),FF=(3—％-1)，

所以”-FF=-x(3一%)+2=7-3%+2=(%—,)2一:，乂xe[0,2],

所以京.前W[—也2].

故選：D.

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(x,2),%W[0,2],求出瓦5,阮的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)

的性質(zhì)即可求得答案.

本題考查向量數(shù)最積的最值的求解，坐標(biāo)法的應(yīng)用，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意得/'(%)=:(1+Coss)+Wsincox—=4sizuox+〈Coss=sin3%+5，

設(shè)t=3%+],由％E(0[),可得？v3%+*v1+9即tw&Jg+g)，

OLOOZOOZO

因?yàn)??(%)在區(qū)間(0,今上恰有4個(gè)零點(diǎn)，sint=0在區(qū)間第釧+》上有4個(gè)根，

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得47T<3+髀5幾，解得口￡育，軟.

故選：C.

運(yùn)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得八乃二sln(s+”，根據(jù)1=破+熱取值范固，運(yùn)用正弦法數(shù)的性質(zhì)建

立關(guān)于e的不等式，解之即可得到本題的答案.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：記事件力為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到男生”，事件B為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到團(tuán)

員”，

對(duì)于4事件A的對(duì)立事件為“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到的不是男生”，

即“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到女生”，故A正確；

對(duì)于8,由于存在既是男生又是團(tuán)員的人，

故事件4與事件B可能同時(shí)發(fā)生，從而不是互斥事件，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,總?cè)藬?shù)為50,男生30人，團(tuán)員15人，

則P⑷=黑=|,尸⑻=葛=K，故C正確;

對(duì)于。，總?cè)藬?shù)為50,既是男生又是團(tuán)員的人數(shù)為10,則P(48)=弓二!，

DUD

結(jié)合選項(xiàng)?？芍狿(A8)*P(A)P(B),

事件4與事件B不相互獨(dú)立，故Z)錯(cuò)誤，

故選：AC.

對(duì)于4根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷即可；對(duì)于從根據(jù)互斥事件的定義判斷即可；對(duì)于C,直接用古典概型

概率的公式計(jì)算即可：對(duì)于。，直接使用獨(dú)立事件的定義驗(yàn)證即可.

本題考查對(duì)立事件、互斥事件、占典概型、相互獨(dú)立事件等基砧知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】CD

【解析】解?：因?yàn)橐?=0等價(jià)于,13,由顯然得不到五1隹故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)槲?b<0可得五與B的夾角為鈍角或平角，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)??萬=+2，5s出OcosJ=0可得sin28=-1,當(dāng)9=當(dāng)時(shí)值?B=0成立，此時(shí)&與B垂直，故C選

項(xiàng)正確：

2222

(a^-by(a-b)=a-b=b-af因此得|引=巧］,故D選項(xiàng)正確.

故選：CD.

對(duì)于4利用等價(jià)于G1右判斷；對(duì)于8,利用向量數(shù)量積的定義判斷：對(duì)于C,利用向量垂直的坐

標(biāo)計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷；對(duì)于D,由向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,由正八面體的性質(zhì)，ED//BF,8尸(=平面產(chǎn)84，EDC平面尸84,

所以EO〃平面尸84,

又因DC〃4B,4Bu平面/BA,DCC平面?84

所以DC〃平面F84

又EDCDC=D,ED,0Cu平面EOC,

所以平面〃平面FB4故選項(xiàng)4正確；

E

對(duì)于選項(xiàng)6,連接￡尸，AC,設(shè)EFn/lC=O,則月。即該正八面體的外接球的半徑,

該正八面體的外接球的表面積為：4兀x（六工）2=50幾，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,取40中點(diǎn)N,連接EN,FN,

易得EN1AD,FNLAD,

所以NENr即二面角E-AD-F的平面角，

因?yàn)檎嗣骟wE4BC。尸的棱長為5,則￡N=FN=零,"=5/2，

rkAHAlffl7TT陽，=RJLEN:+FN?-E產(chǎn)（苧）2+（苧）2_（5、/"2）21f

由余弦定理,可得C0SZEN昨2.FN=2、54<5門一=一§'故選項(xiàng)0正確;

對(duì)于選項(xiàng)。，因?yàn)镕C〃AE,

故ZBMF為異面直線AE與BM所成的角，

又因CM=1,FM=4.Z-BFM=^,

由余弦定理，BM=Js2+42-2x5x4xcos^=/21,

則cos4=的里瑪三=包，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

2X4X/7114

故選:ABC.

由線面平行結(jié)合面面平行判定定理判斷人

再根據(jù)正八面體的性質(zhì)結(jié)合外接球表面積公式計(jì)算判斷從

運(yùn)用二面角定義得到NEN尸即二面角E—4D—尸的平面角，再結(jié)合余弦定理求解判斷C；

根據(jù)線線平行得出異面直線所成角為乙BM凡利用余弦定理計(jì)算即可判斷。.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

12.【答案】75

【解析】解：(1+2i)z=4+33

4+3i(4+30(1-2010-5i_.

z=1T2I=(1+20(1-20=-5-=2-n

M|z|=75.

故答案為：Vs.

把己知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z,即可求模.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】700

【解析】解?：根據(jù)題意，當(dāng)中連嬴兩局，乙一局未贏時(shí)，

如果比賽繼續(xù)，乙需要連贏三局才能獲勝，則乙連贏三局獲勝的概率為:x[x；=：,

ZZZ0

甲獲勝的概率為1一!=!，

oO

所以甲應(yīng)該分得獎(jiǎng)金的！乙應(yīng)該分得獎(jiǎng)金的1即甲應(yīng)該分得(x800=700元.

故答案為:700.

由題意，如果比賽繼續(xù)，乙要連贏三局才能獲勝，根據(jù)二人在每局比賽中獲勝的可能性相同，計(jì)算出他們

最終獲勝的概率，即可得甲應(yīng)該分到的獎(jiǎng)金數(shù).

本題考查概率的應(yīng)用，涉及對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】32兀竺善兀

【解析】解：作出示意圖如下：

因?yàn)?8=4。=2,/.BAC=120°,

所以BC=2x2s出60。=2/3.

設(shè)底面△4BC外接圓半徑為r,則根據(jù)正弦定理可得r==2.

2sml20°

設(shè)底面△4BC的外接圓圓心為0],過。]作平面4BC的垂線，

在三棱柱4鳳;一為&。1的同側(cè)取點(diǎn)。，使得/。=第=2,

則0為三棱柱4BC-4當(dāng)6外接球的球心，設(shè)球的半徑為R,

則=產(chǎn)+0]02=22+22=8,所以R=2合，

所以球的表面積為4TTR2=4TTx8=32TT：

球的體積為③&=*x16/2=罕小

故答案為：32小警7T.

先求底面三角形的外接圓半徑，再根據(jù)外接球球心在三棱柱的中截面上，求出外接球半徑，進(jìn)而根據(jù)公式

求球的表面枳和體枳.

本題考查三棱柱的外接球問題，屬中檔題.

15.【答案】8=^

6.

【蟀析】(1)因?yàn)橛?元，向量布=(b-a,-c),n=(b+a,Q+c),

所以沅n=(b-Q)(b+a)—c(a+c)=0,

即/+c2—b2=—ac,

由余弦定理得cosB=心中式=一，因?yàn)?€(0,TT),所以8=未

2ac2'，3

(2)由(1)得一ac=a2+c2-12>2ac-12,即ac<4,

當(dāng)且僅當(dāng)Q=C=2時(shí)，等號(hào)成立，

則SMBC=^acsinB=^-ac<V~3,

所以當(dāng)Q=C=2時(shí)，△ABC面積的最大值為

(1)利用向量垂直的坐標(biāo)公式和余弦定理，余弦函數(shù)的圖象即可求得答案；

(2)先由(1)的結(jié)論和基本不等式推出ac<4,利用三角形面積公式即可求得其最大值.

本題主要考杳解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】x=^+kn,kEZ；

+憶7r'駕+攵7rLk￡Z；

[-2/3,2/3].

【解析】(1)因?yàn)?'(%)=2sin2x-4\T3cos2x+2V~3=2sin2x-2y/~3cos2x=4sin(2x—^),

由2'一彳=5+kn,kGZ,可得x=看+等,〃GZ,

即函數(shù)/(%)的圖象的對(duì)稱軸方程為無=瑞+k￡Z；

(2)由-*+2kH<2x—+2kn,k￡Z,可得一卷+kn<x<4-kn,kE.Z,

LJ/JL4JL4

即函數(shù)/'(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[弋+時(shí)塔+kn],kGZ；

(3)當(dāng)口W[0幣時(shí),則2%—在[一三,芻，

所以sin(2x—勺e[—苧,苧卜則以配(2%—^)6[―2>/-3,2V~3],

故/(%)的值域?yàn)閇一24,2/3].

(1)先利用三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱軸求解即得;

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列不等式，求解即得；

(3)先由給定區(qū)間求出整體角2%的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的值域.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】證明見解析.

證明見解析.

/6

~T,

【解析】解：(1)證明：如圖，連接8。，

因?yàn)榈酌鍭BC。為平行四邊形，yilMCAFD=H,BH=HD,

因?yàn)锽G=GP,

所以G”〃皿

因?yàn)镚HU平面PCD,PCu平面PC。，

所以GH〃平面PCD.

(2)證明：取PC中點(diǎn)E,連接OE,

因?yàn)椤鱌CO為等邊三角形，則0E1PC,

乂平面P4C1平面PCD,平面P4Cn平面PCD=PC,DEu平面PCD,

則DE1平面24C,

又24u平面P4C,

所以O(shè)E1PA,

因?yàn)楫a(chǎn)力1CD,CDCDE=D,CDcffiPCD,DEu平面PCD,

所以P4_L平面PCD.

(3)由(2)已得DE1平:面P/1C,連接4E,

則由線面所成角的定義可得ND4E即直線與平面P4C所成角，

因?yàn)椤鱌CO為等邊三角形，CD=4,則DE=苧。0=2，1，

又4。=471，

在中，sinZ.DAE==7S=

AD4V24

所以直線力。與平面/MC所成角的正弦值為當(dāng)

4

(1)連接80,^ACOBD=H,利用三角形中位線定理證明GH//PD,由線線平行即可證得線面平行.

(2)取PC中點(diǎn)E,連接DE,證明DEJ.PC,利用平面PAC1平面PCD證明DE1平面PAC,得。E1P4結(jié)合

條件，再由線線垂直即可證得P41平面PCD.

(3)由(2)已得。￡1平面P4C,則N￡ME即直線力。與平面P4C所成角，則可借助于Rt△AED,利用三角函數(shù)

的定義即可求得.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】|；

_5_

36；

37

96-

【解析】(1)根據(jù)題意，若事件月發(fā)生，即小明只回答2道題就結(jié)束面試，則小明前兩題都答對(duì)或都答錯(cuò)，

所以P⑷=(令2+(扔.

(2)根據(jù)題意，若事件B發(fā)生，即個(gè)華3道題都回答且通過面試，則小華前兩題答對(duì)一題，答錯(cuò)一題，第三

題答對(duì)，

MPW=|x|xi+ix|xi=1,

又由事件4，相互獨(dú)立，則以皿=。(4)?")=亞"袤.

(3)記小明沒有通過面試為事件C,

即分前兩