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試題試題2025年廣東省廣州市增城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題(本題有10個(gè)小題,每小題3分,滿分30分.下面每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是正確的)1.(3分)下列字母中是中心對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.2.(3分)實(shí)數(shù)﹣2的相反數(shù)是()A.﹣2 B.±2 C.2 D.13.(3分)下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()A.x3?x4=x7 B.(xy2)3=xy6 C.﹣x5÷x3=x2 D.﹣x?(﹣x)2=x34.(3分)若a>b,則下列不等式成立的是()A.a(chǎn)+2<b+2 B.a(chǎn)﹣2>b﹣2 C.2a<2b D.﹣2a>﹣2b5.(3分)近年來(lái),網(wǎng)購(gòu)的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活.某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送,若每個(gè)快遞員派送12件,還剩6件;若每個(gè)快遞員派送15件,則差9件,設(shè)該分派站有m名快遞員,則可列方程為()A.12(m+6)=15(m﹣9) B.12m+6=15m﹣9 C.12(m﹣6)=15(m+9) D.12m﹣6=15m+96.(3分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AC=10,BD=24,則菱形的邊長(zhǎng)為()A.26 B.20 C.15 D.137.(3分)為了解某校九年級(jí)學(xué)生的體能情況,隨機(jī)抽查了其中30名學(xué)生,測(cè)試了1分鐘仰臥起坐的次數(shù),并繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖,則圖中陰影部分(仰臥起坐次數(shù)25~30次)的頻率為()A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.18.(3分)二次函數(shù)y=ax2﹣a與反比例函數(shù)y=aA. B. C. D.9.(3分)如圖,在⊙O中,直徑AB=4,點(diǎn)C、D在⊙O上,點(diǎn)C關(guān)于弦AD的對(duì)稱點(diǎn)恰好與圓心O重合,則AD的長(zhǎng)為()A.3 B.23 C.5 D.10.(3分)如圖是一個(gè)圓錐的三視圖,如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)B出發(fā)沿表面爬到AC的中點(diǎn)D,則這只螞蟻爬行的最短路程是()A.63 B.42 C.33 D.32二、填空題(本題有6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.(3分)聲音在某介質(zhì)中傳播的速度隨著溫度的變化而變化,若用v表示聲音在該介質(zhì)中的傳播速度,t表示溫度,則v,t滿足公式:v=0.6t+b(b為常數(shù)),當(dāng)t=10時(shí),v=337;當(dāng)t=﹣10時(shí),則v=.12.(3分)如圖,AB∥CD,若∠1=130°,則∠2=.13.(3分)若a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的一個(gè)解,則2a2+4a﹣1的值為.14.(3分)如圖,在矩形ABCD中,若AB=3,BD=5,BC=4DE,則線段CE的長(zhǎng)為.15.(3分)規(guī)定:a≠b時(shí),[a,b]表示兩數(shù)中較大的一個(gè),如[1,﹣2]=1,則方程[x﹣3,﹣2]=3x的解為.16.(3分)如圖,已知點(diǎn)A(a,b)是反比例函數(shù)y=8x(x>0)圖象上的動(dòng)點(diǎn),AB∥x軸,AC∥y軸,分別交反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象于點(diǎn)B、C,交坐標(biāo)軸于E、D,且①k=2;②在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ABC的面積始終不變,面積為92③連接DE,則BC∥DE;④存在點(diǎn)A,使得△ABC∽△OED.其中正確的結(jié)論有.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))三、解答題(本題有9個(gè)小題,共72分,解答要求寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟)17.(4分)如圖,△ABC中,D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn).證明:△ADE∽△ABC.18.(4分)解方程組:3x+y=7x?y=119.(6分)2024年11月4日,神舟十八號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功,為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的快速發(fā)展,某班組織了一次手抄報(bào)比賽,該班每位同學(xué)從A.“北斗導(dǎo)航”;B.“5G時(shí)代”;C.“東風(fēng)快遞”;D.“人工智能”四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜歡的主題.統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選主題的頻數(shù),繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題:(1)該班共有名學(xué)生;(2)補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖;(3)小明和小麗從A、B、C、D四個(gè)主題中任選一個(gè)主題,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率.20.(6分)已知T=a(1)化簡(jiǎn)T;(2)若點(diǎn)P(a,b)在反比例函數(shù)y=2x的圖象上,求21.(8分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).(1)尺規(guī)作圖:以線段BC為直徑作⊙O,交AB于點(diǎn)D(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);(2)連接PD,求證:PD是⊙O的切線.22.(10分)某食用油的沸點(diǎn)遠(yuǎn)高于水的沸點(diǎn).小聰想用刻度不超過(guò)100℃的溫度計(jì)測(cè)算出這種食用油沸點(diǎn).在老師的指導(dǎo)下,他在鍋中倒入一些這種食用油在特定條件下均勻加熱,并每隔10s測(cè)量一次鍋中油溫,得到的數(shù)據(jù)記錄如下:時(shí)間t/s010203040油溫y/℃1030507090(1)根據(jù)以上信息,判斷油溫y(單位:℃)與加熱的時(shí)間t(單位:s)可能是函數(shù)關(guān)系(填寫(xiě):“一次”或“二次”或“正比例”或“反比例”),并求出y與t的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)加熱100s時(shí),油沸騰了,求出此時(shí)的油溫.23.(10分)如圖1所示是廣東醒獅,它是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一,其中高樁醒獅更是由現(xiàn)代藝術(shù)演出轉(zhuǎn)變而來(lái)的體育競(jìng)技.如圖2,三根梅花樁AM,BP,CN垂直于地面放置,醒獅少年從點(diǎn)A跳躍到點(diǎn)B,隨后縱身躍至點(diǎn)C,已知∠A=59°,∠C=45°,MP=0.25m,PN=1.35m.(參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,2(1)直接寫(xiě)出∠ABC的度數(shù);(2)求醒獅少年從點(diǎn)B縱身躍至點(diǎn)C的路徑BC的長(zhǎng)度;(結(jié)果保留一位小數(shù))(3)醒獅少年在某次演出時(shí)需要從點(diǎn)A直接騰躍至點(diǎn)C進(jìn)行“采青”,求線段AC的長(zhǎng)度.24.(12分)如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊AD的上方,AE=AF,∠EAF=90°,連接EF、BE、DF.(1)求證:△ABE≌△ADF;(2)延長(zhǎng)BE交DF所在直線于點(diǎn)G;①若AE=2,∠BAE=45°時(shí),求△②若AE=2,當(dāng)∠BAE從0°到60°的變化過(guò)程中,求點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).25.(12分)已知拋物線G:y=12x(1)求拋物線G的解析式;(2)已知直線l:y=﹣2x﹣6交x軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線G上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線l上一動(dòng)點(diǎn),求PQ的最小值;(3)在(2)的條件下,將拋物線G向左平移t個(gè)單位得到拋物線G1,頂點(diǎn)為D,問(wèn)拋物線G1的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得以點(diǎn)C、D、M組成的三角形與△BOC相似?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2025年廣東省廣州市增城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.選擇題(共10小題)題號(hào)12345678910答案DC.ABBDADBC一、選擇題(本題有10個(gè)小題,每小題3分,滿分30分.下面每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是正確的)1.(3分)下列字母中是中心對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.【解答】解:選項(xiàng)A、B、C都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn),使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合,所以不是中心對(duì)稱圖形.選項(xiàng)D能找到這樣的一個(gè)點(diǎn),使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合,所以是中心對(duì)稱圖形.故選:D.2.(3分)實(shí)數(shù)﹣2的相反數(shù)是()A.﹣2 B.±2 C.2 D.1【解答】解:﹣2的相反數(shù)是2.故選:C.3.(3分)下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()A.x3?x4=x7 B.(xy2)3=xy6 C.﹣x5÷x3=x2 D.﹣x?(﹣x)2=x3【解答】解:A、x3?x4=x7,故該項(xiàng)正確,符合題意;B、(xy2)3=x3y6,故該項(xiàng)不正確,不符合題意;C、﹣x5÷x3=﹣x2,故該項(xiàng)不正確,不符合題意;D、﹣x?(﹣x)2=﹣x3,故該項(xiàng)不正確,不符合題意;故選:A.4.(3分)若a>b,則下列不等式成立的是()A.a(chǎn)+2<b+2 B.a(chǎn)﹣2>b﹣2 C.2a<2b D.﹣2a>﹣2b【解答】解:若a>b,兩邊同時(shí)加上2得:a+2>b+2,則A不符合題意,兩邊同時(shí)減去2得:a﹣2>b﹣2,則B符合題意,兩邊同時(shí)乘2得:2a>2b,則C不符合題意,兩邊同時(shí)乘﹣2得:﹣2a<﹣2b,則D不符合題意,故選:B.5.(3分)近年來(lái),網(wǎng)購(gòu)的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活.某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送,若每個(gè)快遞員派送12件,還剩6件;若每個(gè)快遞員派送15件,則差9件,設(shè)該分派站有m名快遞員,則可列方程為()A.12(m+6)=15(m﹣9) B.12m+6=15m﹣9 C.12(m﹣6)=15(m+9) D.12m﹣6=15m+9【解答】解:由題意得:12m+6=15m﹣9.故選:B.6.(3分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AC=10,BD=24,則菱形的邊長(zhǎng)為()A.26 B.20 C.15 D.13【解答】解:∵四邊形ABCD是菱形,AC=10,BD=24,∴AB=BC=CD=AD,AO=CO=12AC=5,BO=DO=12BD=12,∴∠AOB=90°,∴AB=O即菱形的邊長(zhǎng)為13,故選:D.7.(3分)為了解某校九年級(jí)學(xué)生的體能情況,隨機(jī)抽查了其中30名學(xué)生,測(cè)試了1分鐘仰臥起坐的次數(shù),并繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖,則圖中陰影部分(仰臥起坐次數(shù)25~30次)的頻率為()A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【解答】解:利用頻數(shù)分布直方圖可得出:仰臥起坐次數(shù)在25~30次的頻數(shù)為12,則仰臥起坐次數(shù)在25~30次的頻率為:12÷30=0.4.故選:A.8.(3分)二次函數(shù)y=ax2﹣a與反比例函數(shù)y=aA. B. C. D.【解答】解:A、由拋物線開(kāi)口方向可知a<0,這與拋物線與y軸的交點(diǎn)(0,﹣a)相矛盾,故本選項(xiàng)不符合題意;B、由拋物線開(kāi)口方向可知a>0,這與拋物線與y軸的交點(diǎn)(0,﹣a)相矛盾,故本選項(xiàng)不符合題意;C、由拋物線開(kāi)口方向可知a<0,這與拋物線與y軸的交點(diǎn)(0,﹣a)相矛盾,故本選項(xiàng)不符合題意;D、由拋物線開(kāi)口方向可知a<0,反比例函數(shù)y=a故選:D.9.(3分)如圖,在⊙O中,直徑AB=4,點(diǎn)C、D在⊙O上,點(diǎn)C關(guān)于弦AD的對(duì)稱點(diǎn)恰好與圓心O重合,則AD的長(zhǎng)為()A.3 B.23 C.5 D.【解答】解:如圖,連接OC交AD于點(diǎn)E.∵點(diǎn)C關(guān)于弦AD的對(duì)稱點(diǎn)恰好與圓心O重合,∴AD是OC的垂直平分線,∵AB=4,∴OA=OC=12∴OE=12在Rt△AOE中利用勾股定理,得AE=O∴AD=2AE=23.故選:B.10.(3分)如圖是一個(gè)圓錐的三視圖,如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)B出發(fā)沿表面爬到AC的中點(diǎn)D,則這只螞蟻爬行的最短路程是()A.63 B.42 C.33 D.32【解答】解:如圖將圓錐側(cè)面展開(kāi),得到扇形ABB′,設(shè)∠BAB′=n°,∵弧BB′=底面圓周長(zhǎng),∴nπ×6180=4∴n=120,即∠BAB′=120°,∵C′為弧BB′中點(diǎn),∴∠BAD=60°,∴△BAC'是等邊三角形,∵D是AC'的中點(diǎn),∴∠ADB=90°,∴BD=AB?sin∠BAD=6×32=∴這只螞蟻爬行的最短路程是33.故選:C.二、填空題(本題有6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.(3分)聲音在某介質(zhì)中傳播的速度隨著溫度的變化而變化,若用v表示聲音在該介質(zhì)中的傳播速度,t表示溫度,則v,t滿足公式:v=0.6t+b(b為常數(shù)),當(dāng)t=10時(shí),v=337;當(dāng)t=﹣10時(shí),則v=325.【解答】解:將t=10,v=337代入v=0.6t+b,得0.6×10+b=337,解得b=331,∴v,t滿足的公式為v=0.6t+331,當(dāng)t=﹣10時(shí),v=0.6×(﹣10)+331=225.故答案為:325.12.(3分)如圖,AB∥CD,若∠1=130°,則∠2=130°.【解答】解:∵AB∥CD,∠1=130°,∴∠2=∠1=130°,故答案為:130°.13.(3分)若a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的一個(gè)解,則2a2+4a﹣1的值為5.【解答】解:將x=a代入x2+2x﹣3=0得a2+2a﹣3=0,∴a2+2a=3,∴2a2+4a﹣1=2(a2+2a)﹣1=2×3﹣1=5.故答案為:5.14.(3分)如圖,在矩形ABCD中,若AB=3,BD=5,BC=4DE,則線段CE的長(zhǎng)為10.【解答】解:在矩形ABCD中,AB=3,BD=5,∴AD=B∵BC=4DE,∴DE=1,∴EC=C故答案為:10.15.(3分)規(guī)定:a≠b時(shí),[a,b]表示兩數(shù)中較大的一個(gè),如[1,﹣2]=1,則方程[x﹣3,﹣2]=3x的解為x=?23【解答】解:當(dāng)x﹣3>﹣2時(shí),即x>1時(shí),有x﹣3=3x,解得x=?3當(dāng)x﹣3<﹣2時(shí),即x<1時(shí),有﹣2=3x,解得x=?2故答案為:x=?216.(3分)如圖,已知點(diǎn)A(a,b)是反比例函數(shù)y=8x(x>0)圖象上的動(dòng)點(diǎn),AB∥x軸,AC∥y軸,分別交反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象于點(diǎn)B、C,交坐標(biāo)軸于E、D,且①k=2;②在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ABC的面積始終不變,面積為92③連接DE,則BC∥DE;④存在點(diǎn)A,使得△ABC∽△OED.其中正確的結(jié)論有①③④.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))【解答】解:∵A(a,b),且A在反比例函數(shù)y=8x(∴b=8∵AC∥y軸,且C在反比例函數(shù)y=kx(∴C(a,ka又∵AC=3CD,∴AD=4CD,即8a=4?∴k=2,故①正確.∵A(a,8a),C(a,2(a,),C(a,).∵AB∥x軸,∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8a∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=2∴8a=2x∴點(diǎn)B(a4,8∴AB=a?a4=3a∴S=12AB?AC=12?∴在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ABC面積不變,始終等于94,故②連接DE,如圖所示.∵由已知可知:∠BAC=∠DOE=90°,∵ABAE=3∴ABAE∴BC∥DE,故③正確,若△ABC∽△OED.則有ABOE∴3a4∴a=22,∴在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)a=22時(shí),△ABC∽△OED,故④正確,故答案為:①③④.三、解答題(本題有9個(gè)小題,共72分,解答要求寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟)17.(4分)如圖,△ABC中,D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn).證明:△ADE∽△ABC.【解答】證明:∵D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC.18.(4分)解方程組:3x+y=7x?y=1【解答】解:3x+y=7①x?y=1②①+②得:4x=8,解得x=2,把x=2代入②,得2﹣y=1,解得y=1,∴方程組3x+y=7x?y=1的解為x=219.(6分)2024年11月4日,神舟十八號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功,為了讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的快速發(fā)展,某班組織了一次手抄報(bào)比賽,該班每位同學(xué)從A.“北斗導(dǎo)航”;B.“5G時(shí)代”;C.“東風(fēng)快遞”;D.“人工智能”四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜歡的主題.統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選主題的頻數(shù),繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題:(1)該班共有50名學(xué)生;(2)補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖;(3)小明和小麗從A、B、C、D四個(gè)主題中任選一個(gè)主題,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率.【解答】解:(1)該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)為20÷40%=50(名),故答案為:50.(2)D主題的學(xué)生人數(shù)為50﹣10﹣20﹣5=15(名),補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如下:(3)由題意,畫(huà)出樹(shù)狀圖如下:由樹(shù)狀圖圖可知,他們選擇相同主題的結(jié)果共有4種,則他們選擇相同主題的概率為P=4答:他們選擇相同主題的概率為1420.(6分)已知T=a(1)化簡(jiǎn)T;(2)若點(diǎn)P(a,b)在反比例函數(shù)y=2x的圖象上,求【解答】解:(1)T==(a?2=(a?2)2=4(2)∵點(diǎn)P(a,b)在反比例函數(shù)y=2∴ab=2,∴T=2.21.(8分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).(1)尺規(guī)作圖:以線段BC為直徑作⊙O,交AB于點(diǎn)D(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);(2)連接PD,求證:PD是⊙O的切線.【解答】(1)解:圖形如圖所示:(2)證明:連接OP,OD,CD.∵BC是直徑,∴∠CDB=∠CDA=90°,∵AP=PC,∴PD=PC=PA,∵OC=OD,OP=OP,∴△ODP≌△OCP(SSS),∴∠ODP=∠OCP=90°,∴OD⊥PD,∴PD是⊙O的切線.22.(10分)某食用油的沸點(diǎn)遠(yuǎn)高于水的沸點(diǎn).小聰想用刻度不超過(guò)100℃的溫度計(jì)測(cè)算出這種食用油沸點(diǎn).在老師的指導(dǎo)下,他在鍋中倒入一些這種食用油在特定條件下均勻加熱,并每隔10s測(cè)量一次鍋中油溫,得到的數(shù)據(jù)記錄如下:時(shí)間t/s010203040油溫y/℃1030507090(1)根據(jù)以上信息,判斷油溫y(單位:℃)與加熱的時(shí)間t(單位:s)可能是一次函數(shù)關(guān)系(填寫(xiě):“一次”或“二次”或“正比例”或“反比例”),并求出y與t的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)加熱100s時(shí),油沸騰了,求出此時(shí)的油溫.【解答】解:(1)由圖表中給出的信息可得,變化過(guò)程是時(shí)間每過(guò)10秒,油溫上升20度,是勻速變化的過(guò)程,過(guò)為一次函數(shù).設(shè)鍋中油溫y與加熱的時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為y=kt+b(k≠0),將點(diǎn)(0,10),(10,30)代入:b=1030=10k+b解得:k=2b=10,∴y=2t故答案為:一次;解析式是y=2t+10;(2)當(dāng)t=100時(shí),y=2×100+10=210,此時(shí)的油溫是210℃.23.(10分)如圖1所示是廣東醒獅,它是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一,其中高樁醒獅更是由現(xiàn)代藝術(shù)演出轉(zhuǎn)變而來(lái)的體育競(jìng)技.如圖2,三根梅花樁AM,BP,CN垂直于地面放置,醒獅少年從點(diǎn)A跳躍到點(diǎn)B,隨后縱身躍至點(diǎn)C,已知∠A=59°,∠C=45°,MP=0.25m,PN=1.35m.(參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,2(1)直接寫(xiě)出∠ABC的度數(shù);(2)求醒獅少年從點(diǎn)B縱身躍至點(diǎn)C的路徑BC的長(zhǎng)度;(結(jié)果保留一位小數(shù))(3)醒獅少年在某次演出時(shí)需要從點(diǎn)A直接騰躍至點(diǎn)C進(jìn)行“采青”,求線段AC的長(zhǎng)度.【解答】解:(1)如圖:延長(zhǎng)PB至H,由題意可得:AM∥PH∥CN,∴∠ABH=∠A=59°,∠CBH=∠C=45°,∴∠ABC=∠ABH+∠CBH=104°,故答案為:104°;(2)如圖,過(guò)點(diǎn)B作直線EF∥MN,分別交AM,CN于點(diǎn)E,F(xiàn),過(guò)點(diǎn)A作直線AD∥MN,交CN于點(diǎn)D,連接AC.由題意得∠EMN=∠FNM=∠MAD=∠ADN=∠MEF=∠NFE=∠BPM=∠BPN=90°,∴四邊形AMND,四邊形AEFD,四邊形EMPB,四邊形BPNF均是矩形,∴EB=MP=0.25m,BF=NP=1.35m,DF=AE,∴AD=EF=1.6m.∵∠EAB=59°,∠BCF=45°,∴∠EBA=90°﹣59°=31°,∠CBF=90°﹣45°=45°=∠BCF,∴AE=EB?tan31°≈0.15m,CF=BF=1.35m,∴CD=CF﹣DF=CF﹣AE=1.2m,在Rt△BCF中,BC=CF2+BF答:醒獅少年從點(diǎn)B縱身躍至點(diǎn)C的路徑BC的長(zhǎng)度約為1.9m;(3)在Rt△ACD中,AD=1.6m,CD=1.2m,AC2=AD2+CD2,∴AC=AD2即“采青”路徑AC的長(zhǎng)度約為2m.24.(12分)如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊AD的上方,AE=AF,∠EAF=90°,連接EF、BE、DF.(1)求證:△ABE≌△ADF;(2)延長(zhǎng)BE交DF所在直線于點(diǎn)G;①若AE=2,∠BAE=45°時(shí),求△②若AE=2,當(dāng)∠BAE從0°到60°的變化過(guò)程中,求點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵AE=AF,∠EAF=90°,∴∠BAE=∠DAF=90°﹣∠DAE,在△ABE和△ADF中,AB=AD∠BAE=∠DAF∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)解:①如圖1,延長(zhǎng)BE交直線DF于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)I,由(1)得△ABE≌△ADF,則∠ABE=∠ADF,∵∠AIB=∠DIG,∴∠BGF=∠ADF+∠DIG=∠ABE+∠AIB=90°,∴BG⊥DF,如圖2,作EH⊥AB于點(diǎn)H,則∠AHE=∠BHE=90°,∵∠BAE=45°,AE=2∴∠HEA=∠HAE=45°,∴AH=EH,∵AE=AH2∴AH=EH=1,∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,∴AB=4,∴BH=AB﹣AH=3,∴BE=EH2+BH2=12+32∵AE=AF=2,∠EAF∴∠AEF=∠AFE=45°,EF=AE∴∠AEF=∠BAE,∴EF∥AB,∴∠FEG=∠EBH,∵∠EGF=∠BHE=90°,∴△EGF∽△BHE,∴S△EFG∴S△EFG=25S△BEH∴△EFG的面積為35②如圖3,連接BD,取BD的中點(diǎn)P,連接PG,∵CB=

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