第29講直線與直線的位置關(guān)系第7章簡(jiǎn)單幾何體與立體幾何

能力層級(jí)考試內(nèi)容

了解理解掌握共面直線空間中直線與直線的位置關(guān)系.共面直線的類型及判斷.平行直線的性質(zhì)及相交直線的夾角的取值范圍.異面直線異面直線所成的角的概念.(2023，T50)異面直線的定義及判定方法.異面直線垂直的判定方法.復(fù)習(xí)建議：1.考情小結(jié)：本講知識(shí)近三年考查1次，內(nèi)容為異面直線所成角的大小計(jì)算.2.備考攻略：本講內(nèi)容是學(xué)習(xí)直線與平面位置關(guān)系及度量和平面與平面位置關(guān)系及度量的基礎(chǔ).1.空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)異面直線：一般地，把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線.(2)共面直線：相交或平行的兩條直線稱為共面直線.備考講義考點(diǎn)1共面直線2.平行直線(1)定義：同一平面內(nèi)兩條直線沒有公共點(diǎn)稱為平行直線.(2)平行直線的傳遞性：空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行，這稱為平行直線的傳遞性.(3)規(guī)定：兩條平行直線所成的角為0.

5.等角定理如果兩條相交直線l1與l2分別平行于另外兩條相交直線l'1與l'2，那么l1與l2所成的角和l'1與l'2所成的角相等.例1

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是A1D1和A1B1的中點(diǎn).(1)判斷直線AB與BD、直線AB與A1B1、直線AB與B1D1的位置關(guān)系；(2)求證：MN∥BD；(3)求MN與B1D1、MN與A1B1所成的角大小分別為多少.

跟蹤訓(xùn)練1

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖所示.(1)判斷直線AA1與CC1、直線AA1與AC、直線AA1與B1D1的位置關(guān)系；(2)求證：AB∥C1D1；(3)求BD與B1D1、A1C1所成角的大小分別是多少.【試題分析】本題考查空間中線線位置關(guān)系判斷、平行線的傳遞性和共面直線所成角大小.【解題過程】

(1)直線AA1與CC1是正方形的兩個(gè)對(duì)邊，故是平行直線；直線AA1與AC只有一個(gè)公共點(diǎn)A，故是相交直線；直線AA1與B1D1既不平行又不相交，故是異面直線.(2)由ABCD是正方形得：AB//CD，CC1D1D是正方形得：CD//C1D1，由平行線的傳遞性可得：AB//C1D1.

1.異面直線的定義一般地，把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線.備考講義考點(diǎn)2異面直線2.異面直線的判斷定理：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.如圖所示，M∈n且M?α，P∈n且P∈α，m?α，P?m，m和n是異面直線.注意：畫異面直線時(shí)，通常利用平面“襯托”：表示兩條異面直線的線段分別畫在不同的平面內(nèi)，并且使它們既不相交也不平行，如圖所示：3.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a與b，如圖1所示.在空間上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作a'∥a，b'∥b，得到兩條相交直線a'和b'，如圖2所示，相交直線a'與b'所成的角θ稱為異面直線a與b所成的角.圖1

圖2注意：在作異面直線a與b所成的角時(shí)，常在其中的一條直線上取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作另一條直線的平行線，如圖3所示.相交直線a'與b所成的角即為異面直線a與b所成的角.圖3

4.異面直線的距離(1)與兩條異面直線同時(shí)垂直且相交的直線稱為這兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線有且只有一條.(2)兩條異面直線的公垂線夾在兩條異面直線之間的部分，稱為這兩條異面直線的公垂線段，公垂線段的長(zhǎng)度稱為兩條異面直線的距離.例2

已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，如圖所示.(1)判斷直線A1C1與BC的位置關(guān)系；(2)求直線A1C1與BC所成角的大?。?3)求異面直線A1B1與AD的距離.【試題分析】本題考查異面直線的判斷、求異面直線所成角和求異面直線的距離.判斷兩條直線是否異面，除了定義外，定理也是重要依據(jù)；求異面直線所成角的關(guān)鍵是找“第三條直線”與異面直線其中一條直線平行，與另一條直線相交所成的角即為異面直線所成角；求兩條異面直線的距離關(guān)鍵找到它們的公垂線段.

(3)因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面都是正方形，所以AA1⊥A1B1，AA1⊥AD，且AA1∩A1B1＝A1，AA1∩AD＝A，所以線段AA1是異面直線A1B1與AD的公垂線段.因?yàn)锳A1＝1，所以異面直線A1B1與AD的距離等于1.

1.空間中兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、異面，因此判斷兩條直線是否異面，可以依據(jù)既不平行也不相交來認(rèn)定.2.兩條異面直線所成角的定義提供了求兩條異面直線所成角的重要方法：平移法——將兩條直線或其中一條平移(找出平行線)至它們相交，把異面轉(zhuǎn)化為相交.1.(原創(chuàng))若空間中兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線(

)A.平行 B.共面

C.異面 D.平行或異面D【試題分析】本題考查空間直線的位置關(guān)系.【解題過程】?jī)蓷l直線平行或異面時(shí)都沒有公共點(diǎn)，故選D.

D

B

4.(原創(chuàng))若平面α∩平面β＝l，直線AB?平面α，直線AB∩l＝M，C∈β，如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.過點(diǎn)C的直線與直線AB位置關(guān)系一定是異面直線B.在平面β內(nèi)，過點(diǎn)C的所有直線與直線AB

位置關(guān)系都是異面直線

C.在平面β內(nèi)，過點(diǎn)C的直線與直線AB位置

關(guān)系不可能是平行

D.在平面β內(nèi)，過點(diǎn)C的直線若與直線l相交，

則該直線與直線AB位置是異面直線C【試題分析】本題考查異面直線的判斷.【解題過程】在平面β內(nèi)，過點(diǎn)C的直線：若與直線l相交，交點(diǎn)是M點(diǎn)則與直線AB相交，交點(diǎn)不是M點(diǎn)則與直線AB異面；若與直線l平行則與直線AB異面，總之不可能是平行，故選C.5.(原創(chuàng))已知兩條異面直線a與b，關(guān)于它們的公垂線下列說法正確的是(

)A.只要與a與b都垂直的直線都是它們的公垂線

B.直線a與b的公垂線有無數(shù)條

C.直線a與b的公垂線線段長(zhǎng)是它們的距離D.直線a與b的公垂線與直線a與b都垂直且相交D【試題分析】本題考查異面直線距離.【解題過程】與兩條異面直線a與b都垂直且相交才能是它們的公垂線.夾在兩條異面直線a與b之間的公垂線段長(zhǎng)才是它們的距離，故選D.6.(原創(chuàng))如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線AB平行的棱有________條.

3【試題分析】本題考查平行直線的判斷.【解題過程】與直線AB平行的棱有CD、A1B1、C1D1.7.(原創(chuàng))如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，則異面直線A1C1與BD的距離是________.

2【試題分析】本題考查異面直線的距離.【解題過程】分別取A1C1與BD中點(diǎn)O1、O，連接O1O.，則O1O與異面直線A1C1、BD都垂直且相交，故O1O是異面直線A1C1與BD的公垂線段，