幻燈片1：標(biāo)題頁標(biāo)題：22.3.1二次函數(shù)與圖形面積問題——用函數(shù)刻畫面積的變化規(guī)律副標(biāo)題：建立函數(shù)模型，求解面積最值與相關(guān)問題配套元素：背景圖：展示矩形、三角形等圖形與二次函數(shù)圖象結(jié)合的示意圖，體現(xiàn)面積與變量的關(guān)系。署名：學(xué)科、年級、教師姓名幻燈片2：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)：能夠根據(jù)圖形的特征，結(jié)合已知條件，建立二次函數(shù)模型表示圖形的面積與某個(gè)變量之間的關(guān)系。會運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)（如最值、增減性等）解決圖形面積的最值問題。熟練掌握利用二次函數(shù)解決矩形、三角形等基本圖形面積問題的方法和步驟。過程與方法目標(biāo)：通過分析圖形面積與變量之間的關(guān)系，經(jīng)歷“實(shí)際問題—建立函數(shù)模型—解決問題”的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。在探究面積最值的過程中，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，提升分析和解決問題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：感受二次函數(shù)在解決實(shí)際圖形面積問題中的實(shí)用性，激發(fā)對數(shù)學(xué)應(yīng)用的興趣，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。體驗(yàn)通過建立函數(shù)模型解決復(fù)雜問題的成就感，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心?；脽羝?：復(fù)習(xí)回顧——銜接舊知二次函數(shù)最值回顧：對于二次函數(shù)\(y=ax?2+bx+c\)（\(aa?

0\)），當(dāng)\(a>0\)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為\(y=\frac{4ac-b?2}{4a}\)，此時(shí)\(x=-\frac{2a}\)；當(dāng)\(a<0\)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為\(y=\frac{4ac-b?2}{4a}\)，此時(shí)\(x=-\frac{2a}\)。圖形面積公式回顧：矩形面積公式：\(S=é???????\)。三角形面積公式：\(S=\frac{1}{2}???o???é??\)。梯形面積公式：\(S=\frac{1}{2}??(????o?+????o?)??é??\)。提問引入：在圖形中，當(dāng)某些邊的長度發(fā)生變化時(shí)，圖形的面積也會隨之變化，這種變化關(guān)系能否用二次函數(shù)來表示？如何利用二次函數(shù)求出圖形面積的最大值或最小值呢？本節(jié)課我們就來探究這些問題?；脽羝?：探究一——矩形面積問題例題：用一根長為\(40cm\)的鐵絲圍成一個(gè)矩形，設(shè)矩形的一邊長為\(xcm\)，面積為\(Scm?2\)。求\(S\)與\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量\(x\)的取值范圍。當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？分析過程：確定變量關(guān)系：已知鐵絲長\(40cm\)，即矩形的周長為\(40cm\)，一邊長為\(xcm\)，則另一邊長為\((20-x)cm\)。建立面積函數(shù)：根據(jù)矩形面積公式，可得\(S=x(20-x)=-x?2+20x\)。確定自變量取值范圍：因?yàn)檫呴L為正數(shù)，所以\(x>0\)且\(20-x>0\)，即\(0<x<20\)。求面積最大值：函數(shù)\(S=-x?2+20x\)中\(zhòng)(a=-1<0\)，所以函數(shù)有最大值。當(dāng)\(x=-\frac{2a}=-\frac{20}{2??(-1)}=10\)時(shí)，\(S_{????¤§???}=\frac{4ac-b?2}{4a}=\frac{0-400}{4??(-1)}=100cm?2\)。結(jié)論：當(dāng)矩形的一邊長為\(10cm\)時(shí)（此時(shí)為正方形），面積最大，最大面積為\(100cm?2\)。展示矩形邊長變化與面積關(guān)系的圖象，直觀呈現(xiàn)最值情況?；脽羝?：探究二——利用圖形分割求面積例題：如圖，在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90?°\)，\(AC=6cm\)，\(BC=8cm\)。點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)沿\(AC\)向點(diǎn)\(C\)以\(1cm/s\)的速度移動，同時(shí)點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(C\)出發(fā)沿\(CB\)向點(diǎn)\(B\)以\(2cm/s\)的速度移動。設(shè)運(yùn)動時(shí)間為\(ts\)（\(0<t<4\)），求\(\trianglePCQ\)的面積\(S\)與\(t\)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出\(S\)的最大值。分析過程：表示相關(guān)線段長度：經(jīng)過\(ts\)后，\(AP=tcm\)，則\(PC=AC-AP=(6-t)cm\)；\(CQ=2tcm\)。建立面積函數(shù)：因?yàn)閈(\angleC=90?°\)，所以\(\trianglePCQ\)是直角三角形，根據(jù)三角形面積公式可得\(S=\frac{1}{2}??PC??CQ=\frac{1}{2}(6-t)??2t=-t?2+6t\)。求面積最大值：函數(shù)\(S=-t?2+6t\)中\(zhòng)(a=-1<0\)，有最大值。當(dāng)\(t=-\frac{2a}=-\frac{6}{2??(-1)}=3s\)時(shí)，\(S_{????¤§???}=\frac{4ac-b?2}{4a}=\frac{0-36}{4??(-1)}=9cm?2\)。驗(yàn)證取值范圍：因?yàn)閈(0<t<4\)，\(t=3\)在該范圍內(nèi)，所以有效。展示圖形運(yùn)動過程及面積變化的函數(shù)圖象，幫助理解。幻燈片6：探究三——與拋物線相關(guān)的圖形面積例題：已知拋物線\(y=-x?2+2x+3\)與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)（點(diǎn)\(A\)在點(diǎn)\(B\)左側(cè)），與\(y\)軸交于點(diǎn)\(C\)。點(diǎn)\(P\)是拋物線上的一動點(diǎn)，且在第一象限，過點(diǎn)\(P\)作\(PD\perpx\)軸于點(diǎn)\(D\)，求四邊形\(OCPD\)面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)。分析過程：確定關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)：令\(y=0\)，解方程\(-x?2+2x+3=0\)得\(xa??=-1\)，\(xa??=3\)，所以\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)；令\(x=0\)，得\(y=3\)，所以\(C(0,3)\)。設(shè)點(diǎn)\(P\)坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)為\((x,-x?2+2x+3)\)（\(0<x<3\)），則\(PD=-x?2+2x+3\)，\(OD=x\)。表示四邊形面積：四邊形\(OCPD\)是梯形，上底\(OC=3\)，下底\(PD=-x?2+2x+3\)，高\(yùn)(OD=x\)，所以\(S=\frac{1}{2}(OC+PD)??OD=\frac{1}{2}(3+(-x?2+2x+3))??x=\frac{1}{2}(-x?2+2x+6)??x=-\frac{1}{2}x?3+x?2+3x\)？？？（此處錯誤，重新計(jì)算）正確計(jì)算：\(S=\frac{1}{2}(OC+PD)??OD=\frac{1}{2}(3+(-x?2+2x+3))??x=\frac{1}{2}(-x?2+2x+6)??x=-\frac{1}{2}x?3+x?2+3x\)不對，應(yīng)為\(S=\frac{1}{2}??(OC+PD)??OD=\frac{1}{2}??(3+(-x?2+2x+3))??x=\frac{1}{2}??(-x?2+2x+6)??x=-\frac{1}{2}x?3+x?2+3x\)，但這是三次函數(shù)，顯然錯誤。正確應(yīng)為四邊形\(OCPD\)可看作矩形\(ODPC\)？不，應(yīng)該是\(OCPD\)由三角形\(OCP\)和三角形\(OPD\)組成？或更簡單，\(S=S_{?￠ˉ??￠OCPD}=\frac{1}{2}(OC+PD)??OD\)，其中\(zhòng)(OC=3\)，\(PD=y_{P}=-x?2+2x+3\)，\(OD=x\)，所以\(S=\frac{1}{2}(3+(-x?2+2x+3))??x=\frac{1}{2}(-x?2+2x+6)x=-\frac{1}{2}x?3+x?2+3x\)，發(fā)現(xiàn)錯誤，應(yīng)該是\(S=S_{?????￠ODPE}\)（假設(shè)\(E\)在\(y\)軸）不對，重新分析：\(O\)是原點(diǎn)，\(C(0,3)\)，\(P(x,y)\)，\(D(x,0)\)，所以四邊形\(OCPD\)的面積是\(S=S_{\triangleOCP}+S_{\triangleOPD}\)？不，用坐標(biāo)法計(jì)算，\(O(0,0)\)，\(C(0,3)\)，\(P(x,y)\)，\(D(x,0)\)，這是一個(gè)直角梯形，上底\(OC=3\)，下底\(PD=y\)，高\(yùn)(OD=x\)，所以面積\(S=\frac{(3+y)x}{2}\)，代入\(y=-x?2+2x+3\)得\(S=\frac{(3+(-x?2+2x+3))x}{2}=\frac{(-x?2+2x+6)x}{2}=-\frac{1}{2}x?3+x?2+3x\)，確實(shí)是三次函數(shù)，說明例題設(shè)計(jì)錯誤，換一種：求\(\trianglePBC\)的面積最大值。重新設(shè)計(jì)例題：已知拋物線\(y=-x?2+2x+3\)與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)（點(diǎn)\(A\)在點(diǎn)\(B\)左側(cè)），與\(y\)軸交于點(diǎn)\(C\)。點(diǎn)\(P\)是拋物線上的一動點(diǎn)，且在第一象限，求\(\trianglePBC\)面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)。解答：\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)，設(shè)\(P(x,-x?2+2x+3)\)，過\(P\)作\(PE\perpx\)軸于\(E\)，則\(S_{\trianglePBC}=S_{?￠ˉ??￠PEOC}+S_{\triangleBOC}-S_{\trianglePBE}\)？更簡單用公式：\(S=\frac{1}{2}\vertx_{B}(y_{C}-y_{P})+x_{C}(y_{P}-y_{B})+x_{P}(y_{B}-y_{C})\vert\)，代入得\(S=\frac{1}{2}\vert3??(3-y)+0??(y-0)+x??(0-3)\vert=\frac{1}{2}\vert9-3y-3x\vert\)，因?yàn)樵诘谝幌笙?，取正得\(S=\frac{1}{2}(9-3y-3x)=\frac{3}{2}(3-y-x)\)，代入\(y=-x?2+2x+3\)得\(S=\frac{3}{2}(3-(-x?2+2x+3)-x)=\frac{3}{2}(x?2-3x)=\frac{3}{2}x?2-\frac{9}{2}x\)？不對，計(jì)算錯誤，正確應(yīng)為\(S=\frac{1}{2}???o???é??\)，以\(BC\)為底，\(BC\)的長度為\(3\sqrt{2}\)，直線\(BC\)的方程為\(x+y-3=0\)，點(diǎn)\(P\)到直線\(BC\)的距離為\(\frac{\vertx+y-3\vert}{\sqrt{2}}=\frac{\vertx+(-x?2+2x+3)-3\vert}{\sqrt{2}}=\frac{\vert-x?2+3x\vert}{\sqrt{2}}\)，所以\(S=\frac{1}{2}??3\sqrt{2}??\frac{\vert-x?2+3x\vert}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\vert-x?2+3x\vert=\frac{3}{2}(-x?2+3x)\)（\(0<x<3\)），即\(S=-\frac{3}{2}x?2+\frac{9}{2}x\)，\(a=-\frac{3}{2}<0\)，當(dāng)\(x=-\frac{2a}=-\frac{\frac{9}{2}}{2??(-\frac{3}{2})}=\frac{3}{2}\)時(shí)，\(S_{????¤§???}=-\frac{3}{2}??(\frac{3}{2})?2+\frac{9}{2}??\frac{3}{2}=-\frac{27}{8}+\frac{27}{4}=\frac{27}{8}cm?2\)，此時(shí)\(y=-(\frac{3}{2})?2+2??\frac{3}{2}+3=-\frac{9}{4}+3+3=\frac{15}{4}\)，即\(P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})\)。結(jié)論：通過建立面積與變量的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)最值性質(zhì)求出面積最大值?；脽羝?：例題解析——綜合圖形面積問題例題：如圖，在邊長為\(6cm\)的正方形\(ABCD\)中，點(diǎn)\(E\)、\(F\)分別從點(diǎn)\(B\)、\(C\)出發(fā)，沿\(BC\)、\(CD\)方向以\(1cm/s\)的速度移動，當(dāng)點(diǎn)\(E\)到達(dá)點(diǎn)\(C\)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止移動。設(shè)運(yùn)動時(shí)間為\(ts\)，求\(\triangleAEF\)的面積\(S\)與\(t\)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出\(S\)的最小值。解題步驟：表示相關(guān)線段長度：經(jīng)過\(ts\)后，\(BE=tcm\)，則\(EC=(6-t)cm\)；\(CF=tcm\)，則\(DF=(6-t)cm\)。用正方形面積減去其他三角形面積：正方形\(ABCD\)的面積為\(6??6=36cm?2\)。\(S_{\triangleABE}=\frac{1}{2}??AB??BE=\frac{1}{2}??6??t=3tcm?2\)；\(S_{\triangleADF}=\frac{1}{2}??AD??DF=\frac{1}{2}??6??(6-t)=3(6-t)cm?2\)；(S_{\triangleECF}=\frac{1}{2}×EC×CF=</doubaocanvas>2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊授課教師：

.班級：

.

時(shí)間：

.

22.3.1二次函數(shù)與圖形面積問題第22章

二次函數(shù)aiTujmiaNg(1)學(xué)會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活又可應(yīng)用于生活.(2)把面積最值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題.復(fù)習(xí)導(dǎo)入用你認(rèn)為最簡單的方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出開口方向，對稱軸及最值.（1）y=x2-4x-5（2）y=-x2+x+開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最小值向上x=2（2，-9）-9向上

問題

從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運(yùn)動時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).小球運(yùn)動的時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？小球運(yùn)動中的最大高度是多少？知識點(diǎn)利用二次函數(shù)解決最大（?。┟娣e問題－5圖像開口向下根據(jù)題意，結(jié)合圖象可知，小球在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)為最大高度。解：顯然t取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值，這個(gè)最大值即為小球的最大高度.h＝30t-5t2(0≤t≤6)即小球運(yùn)動的時(shí)間是3s時(shí)，小球最高，且最大高度是45m.一般地，當(dāng)a>0(a<0)時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)有最低（高）點(diǎn)，也就是說，當(dāng)x=

時(shí)，二次函數(shù)有最?。ù螅┲?。歸納利用二次函數(shù)圖象解決最值問題時(shí)需要注意哪些問題？用總長為60m的籬笆圍城一個(gè)矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當(dāng)l是多少米時(shí)，場地的面積S最大？探究130-llS=l(30-l)(0＜l＜30)根據(jù)解析式，可以確定這個(gè)函數(shù)的圖象的開口

，對稱軸是

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

，與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

，與縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

.向下直線l=15(15，225)(0，0)，(30，0)(0，0)S=l(30-l)(0＜l＜30)50100S150200250O-5050l當(dāng)l=15時(shí)，S有最大值________.(15，225)225如何規(guī)范解答呢？用總長為60m的籬笆圍城一個(gè)矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當(dāng)l是多少米時(shí)，場地的面積S最大？解：場地的面積S=l(30-l)即S=-l2+30l(0<l<30)即當(dāng)l是15m時(shí)，場地的面積S最大。利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題的要點(diǎn)：1.根據(jù)面積公式、周長公式、勾股定理等建立函數(shù)關(guān)系式；2.確定自變量的取值范圍；3.根據(jù)開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和自變量的取值范圍畫草圖；4.根據(jù)草圖求所得函數(shù)在自變量的允許范圍內(nèi)的最大值或最小值.隨堂練習(xí)1.如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD互相垂直，AC+BD=10，當(dāng)AC、BD的長是多少時(shí)，四邊形ABCD的面積最大？解：設(shè)AC=x,四邊形ABCD面積為y,則BD=(10-x).即當(dāng)AC、BD的長均為5時(shí)，四邊形ABCD的面積最大.2.用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園(如圖所示)，墻長為18m，這個(gè)矩形的長，寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形的長為xm,面積為ym2,則矩形的寬為m.

∴0<x≤18.3.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，正方形EFGH的面積最小？解：令A(yù)B長為1，設(shè)DH=x，正方形EFGH的面積為y，則DG=1-x.即當(dāng)E位于AB中點(diǎn)時(shí)，正方形EFGH面積最小.4.已知矩形的周長為36cm，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，矩形的長、寬各為多少時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？解：設(shè)矩形的長為xcm，圓柱的側(cè)面積為ycm2，則矩形的寬為(18-x)cm，繞矩形的長或?qū)捫D(zhuǎn)，圓柱的側(cè)面積相等.有y=2πx(18-x)＝-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18).當(dāng)x=9時(shí)，y有最大值為162π.即當(dāng)矩形的長、寬各為9cm時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大。5.如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，AC+BD=10，當(dāng)AC，BD的長是多少時(shí)，四邊ABCD的面積最大？解:設(shè)四邊形ABCD的面積為S，AC的長為x，則BD的長為10-x.所以當(dāng)時(shí)，S取最大值，當(dāng)AC，BD的長均為5時(shí)，四邊形ABCD的面積最大.ABDC【選自教材P52習(xí)題22.3第5題】6.一塊三角形材料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，

AB=12.用這塊材料剪出一個(gè)矩形CDEF，其中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上，要使剪出的