2021年江蘇省南京師大附中江寧分校中考數學模擬試卷2021.03一、選擇題（共6小題）.1．下列各式計算正確的是（）A．x2?x3＝x5 B．x2+3x2＝4x4 C．x8÷x2＝x4 D．（3x2y）2＝6x4y22．如圖，AB∥CD，DA⊥AC，垂足為A，若∠ADC＝35°，則∠1的度數為（）A．65° B．55° C．45° D．35°3．若分式的值為0，則x的值等于（）A．0 B．3 C．﹣3 D．±34．如圖，△ABC內接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，則BC的長為（）A． B．2 C．2 D．45．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線x＝1，結合圖象給出下列結論：①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③當x＞2時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，連接EP并延長，交AB的延長線于點F，AP、BE相交于點O．下列結論：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB?EF；③PF?EF＝2AD2；④EF?EP＝4AO?PO．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④二、填空題（每小題2分，共20分.）7．賈玲導演的《你好，李煥英》創(chuàng)下了51.5億票房神話，成為全球票房最高女導演，將數據51.5億用科學記數法表示為．8．比較大?。?.6（填“＞”或“＜”）．9．若一組數據2，3，4，5，x的方差與另一組數據5，6，7，8，9的方差相等，則x＝．10．已知一次函數y＝kx+b，k從1、﹣2中隨機取一個值，b從﹣1、2、3中隨機取一個值，則該一次函數的圖象經過一、二、三象限的概率為．11．若三角形的某一邊長等于其外接圓半徑，則將此三角形稱為等徑三角形，該邊所對的角稱為等徑角．已知△ABC是等徑三角形，則等徑角的度數為．12．如圖，在直角坐標系中，?OABC的邊OC落在x軸的正半軸上，且點C（8，0），B（12，4），直線y＝2x+1以每秒2個單位的速度向右平移，經過秒該直線可將?OABC的面積平分．13．已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC、BC，則tan∠CAB的值為．14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為．15．如圖，在直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB，BC分別交于點M，N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝6，則點C的坐標為．16．在一條筆直的公路旁依次有A、B、C三個村莊，甲、乙兩人同時分別從A、B兩村出發(fā)，甲騎摩托車，乙騎電動車沿公路勻速駛向C村，最終到達C村．設甲、乙兩人到C村的距離y1，y2（km）與行駛時間x（h）之間的函數關系如圖，則乙在行駛過程中，直接寫出當x＝時距甲5km．三.解答題17．（1）解方程組；（2）解不等式組：．18．先化簡：，然后從﹣2≤a≤2的范圍內選取一個合適的整數作為a的值代入求值．19．已知點A（﹣1，﹣5），B（1，1），C（2，4），請用兩種不同的方法判斷這三點是否在一條直線上．（寫出必要的推理過程）20．在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）畫出△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC以點O為位似中心，位似比為1：2的△A2B2C2．21．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過點D作DE⊥BD，交BC的延長線于點E，若BC＝5，BD＝8，求四邊形ABED的周長．22．為了更好地解決養(yǎng)老問題，某服務中心引入優(yōu)質社會資源為甲，乙兩個社區(qū)共30名老人提供居家養(yǎng)老服務，收集得到這30名老人的年齡（單位：歲）如下：甲社區(qū)676873757678808283848585909295乙社區(qū)666972747578808185858889919698根據以上信息解答下列問題：（1）求甲社區(qū)老人年齡的中位數和眾數；（2）現從兩個社區(qū)年齡在70歲以下的4名老人中隨機抽取2名了解居家養(yǎng)老服務情況，求這2名老人恰好來自同一個社區(qū)的概率．23．如圖，點A，B，C是半徑為2的⊙O上三個點，AB為直徑，∠BAC的平分線交圓于點D，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，延長ED交AB的延長線于點F．（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并證明．（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．24．關于三角函數有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）＝③利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，如：tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝﹣（2+）．根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角α＝60°，底端C點的俯角β＝75°，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高．25．榴蓮上市的時候，某水果行以“線上”與“線下”相結合的方式一共銷售了100箱榴蓮．已知“線上”銷售的每箱利潤為100元．“線下”銷售的每箱利潤y（元）與銷售量x（箱）（20≤x≤60）之間的函數關系如圖中的線段AB．（1）求y與x之間的函數關系；（2）當“線下”的銷售利潤為4350元時，求x的值；（3）實際“線下”銷售時，每箱還要支出其它費用a元（0＜a＜20），若“線上”與“線下”售完這100箱榴蓮所獲得的最大總利潤為11200元，求a的值．26．紅紅對函數y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的圖象和性質進行了探究．已知當自變量x的值為0或4時，函數值都為﹣3；當自變量x的值為1或3時，函數值都為0．探究過程如下，請補充完整．（1）這個函數的表達式為；（2）在給出的平面直角坐標系中，畫出這個函數的圖象并寫出這個函數的一條性質：．（3）進一步探究函數圖象并解決問題：①直線y＝k與函數y＝a|x2+bx|+c有兩個交點，則k的取值范圍是；②已知函數y＝x﹣3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，寫出方程a|x2+bx|+c＝x﹣3的解為：．27．問題提出平面內不在同一條直線上的三點確定一個圓，那么平面內的四點（任意三點均不在同一直線上），能否在同一個圓上呢？初步思考設不在同一條直線上的三點A、B、C確定的圓為⊙O．（1）當C、D在線段AB的同側時．如圖①，若點D在⊙O上，此時有∠ACB＝∠ADB，理由是．如圖②，若點D在⊙O內，此時有∠ACB∠ADB；如圖③，若點D在⊙O外，此時有∠ACB∠ADB（填“＝”、“＞”、“＜”）由上面的探究，請直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：．類比學習（2）仿照上面的探究思路，請?zhí)骄浚寒擟、D在線段AB的異側時的情形．由上面的探究，請用文字語言直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：．拓展延伸（3）如何過圓上一點，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，求作：CN⊥AB作法：①連接CA、CB②在上任取異于B、C的一點D，連接DA，DB；③DA與CB相交于E點，延長AC、BD，交于F點；④連接F、E并延長，交直徑AB與M；⑤連接D、M并延長，交⊙O于N，連接CN，則CN⊥AB．請安上述作法在圖④中作圖，并說明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結論）

參考答案一、選擇題（每題2分，共12分.）1．下列各式計算正確的是（）A．x2?x3＝x5 B．x2+3x2＝4x4 C．x8÷x2＝x4 D．（3x2y）2＝6x4y2解：A、x2?x3＝x5，正確；B、x2+3x2＝4x2，故此選項錯誤；C、x8÷x2＝x6，故此選項錯誤；D、（3x2y）2＝9x4y2，故此選項錯誤．故選：A．2．如圖，AB∥CD，DA⊥AC，垂足為A，若∠ADC＝35°，則∠1的度數為（）A．65° B．55° C．45° D．35°解：∵DA⊥AC，垂足為A，∴∠CAD＝90°，∵∠ADC＝35°，∴∠ACD＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故選：B．3．若分式的值為0，則x的值等于（）A．0 B．3 C．﹣3 D．±3解：∵分式的值為0，∴x2﹣9＝0，x﹣3≠0，解得：x＝﹣3．故選：C．4．如圖，△ABC內接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，則BC的長為（）A． B．2 C．2 D．4解：由圓周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，∴BC＝OC＝2，故選：B．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線x＝1，結合圖象給出下列結論：①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③當x＞2時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：開口向上則a＞0，與y軸交點在原點下方，c＜0，故①正確；對稱軸為x＝1，與x軸一個交點是（4，0），則另一個交點為（﹣2，0），則點（﹣1，a﹣b+c）在x軸下方，故②正確；x＞2時，圖象在對稱軸右側，開口向上，y隨x的增大而增大，故③正確；圖象與x軸有兩個交點，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根，故④正確；故選：D．6．如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，連接EP并延長，交AB的延長線于點F，AP、BE相交于點O．下列結論：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB?EF；③PF?EF＝2AD2；④EF?EP＝4AO?PO．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④解：設AD＝x，AB＝2x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB，∠D＝∠C＝∠ABC＝90°．DC∥AB，∴BC＝x，CD＝2x，∵CP：BP＝1：2，∴CP＝x，BP＝x．∵E為DC的中點，∴CE＝CD＝x，∴tan∠CEP＝＝＝，tan∠EBC＝＝，∴∠CEP＝30°，∠EBC＝30°，∴∠CEB＝60°，∴∠PEB＝30°，∴∠CEP＝∠PEB，∴EP平分∠CEB，故①正確；∵DC∥AB，∴∠CEP＝∠F＝30°，∴∠F＝∠EBP＝30°，∠F＝∠BEF＝30°，∴△EBP∽△EFB，∴，∴BE．BF＝BP．EF．∵∠F＝∠BEF，∴BE＝BF，∴②BF2＝PB?EF．故②正確；∵∠F＝30°，∴PF＝2PB＝x，過點E作EG⊥AF于G，∴∠EGF＝90°，∴EF＝2EG＝2x，∴PF?EF＝x?2x＝8x2，2AD2＝2×（x）2＝6x2，∵6x2≠8x2，∴PF?EF≠2AD2，故本答案錯誤；在Rt△ECP中，∵∠CEP＝30°，∴EP＝2PC＝x．∵tan∠PAB＝＝，∴∠PAB＝30°，∴∠APB＝60°，∴∠AOB＝90°，在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，AO＝x，PO＝x，∴EF?EP＝2x?x＝4x24AO?PO＝4×xx＝4x2．∴EF?EP＝4AO?PO．故④正確．故選：B．二、填空題（每小題2分，共20分.）7．賈玲導演的《你好，李煥英》創(chuàng)下了51.5億票房神話，成為全球票房最高女導演，將數據51.5億用科學記數法表示為5.15×109．解：51.5億＝5150000000＝5.15×109．故答案為：5.15×109．8．比較大小：＞0.6（填“＞”或“＜”）．解：﹣0.6＝﹣＝，∵（5）2＝125，112＝121，∴＞11，∴＞0，即﹣0.6＞0，∴＞0，6，故答案為：＞．9．若一組數據2，3，4，5，x的方差與另一組數據5，6，7，8，9的方差相等，則x＝1或6．解：∵一組數據2，3，4，5，x的方差與另一組數據5，6，7，8，9的方差相等，∴這組數據可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，∴x＝1或6，故答案為：1或6．10．已知一次函數y＝kx+b，k從1、﹣2中隨機取一個值，b從﹣1、2、3中隨機取一個值，則該一次函數的圖象經過一、二、三象限的概率為．解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，一次函數的圖象經過一、二、三象限的有（1，2），（1，3），∴一次函數的圖象經過一、二、三象限的概率為：＝．故答案為：．11．若三角形的某一邊長等于其外接圓半徑，則將此三角形稱為等徑三角形，該邊所對的角稱為等徑角．已知△ABC是等徑三角形，則等徑角的度數為30°或150°．解：如圖邊AB與半徑相等時，則∠AOB＝60°，當等徑角頂點為C時，∠C＝∠AOB＝30°，當等徑角頂點為D時，∠C+∠D＝180°，∠D＝150°，故答案為：30°或150°．12．如圖，在直角坐標系中，?OABC的邊OC落在x軸的正半軸上，且點C（8，0），B（12，4），直線y＝2x+1以每秒2個單位的速度向右平移，經過2.75秒該直線可將?OABC的面積平分．解：如圖，連接OB、AC交于E，直線y＝2x+1與x軸交于D，當直線過E時，?OABC的面積平分，過E作直線y＝2x+1的平行線交x軸于F，在y＝2x+1中令y＝0得x＝﹣0.5，∴D（﹣0.5，0），∵?OABC，∴E是OB中點，∵B（12，4），∴E（6，2）設直線EF解析式為y＝2x+b，將E（6，2）代入可得：2＝12+b，∴b＝﹣10，∴直線EF解析式為y＝2x﹣10，令y＝0得x＝5，∴F（5，0），∴DF＝5.5．∴移動直線將?OABC的面積平分所需移動時間是5.5÷2＝2.75（s）．故答案為：2.75．13．已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC、BC，則tan∠CAB的值為2．解：令y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，不妨設A（﹣3，0），B（1，0），∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴頂點C（﹣1，4），如圖所示，作CD⊥AB于D．在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝2，故答案為：2．14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為．解：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四邊形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切線，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+＝．故答案為．15．如圖，在直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB，BC分別交于點M，N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM，ON，MN，若∠MON＝45°，MN＝6，則點C的坐標為（0，3+3）．解：如圖，延長BA至E，使AE＝CN，連接OE，∵正方形OABC，∴OC＝CB＝BA＝AO，∠OCN＝∠B＝∠BAO＝90°，∴∠OCN＝∠OAE＝90°，在△OCN和△OAE中，，∴△OCN≌△OAE（SAS），∴ON＝OE，CN＝AE，∠CON＝∠AOE，∵∠MON＝45°，∴∠AOM+∠CON＝∠AOM+∠AOE＝45°，∴∠MON＝∠MOE＝45°，在△MON和△MOE中，，∴△MON≌△MOE（SAS），∴MN＝ME，∵MN＝6，∴ME＝6，而S△CON＝S△AOM＝，∴OC×CN＝OA×AM，且OC＝OA，∴AM＝CN，∴AM＝AE＝3，∴BM＝BN，又MN＝6，∴Rt△BMN中可得BM＝BN＝3，∴BC＝BA＝3+3，∴C（0，3+3），故答案為：（0，3+3）．16．在一條筆直的公路旁依次有A、B、C三個村莊，甲、乙兩人同時分別從A、B兩村出發(fā)，甲騎摩托車，乙騎電動車沿公路勻速駛向C村，最終到達C村．設甲、乙兩人到C村的距離y1，y2（km）與行駛時間x（h）之間的函數關系如圖，則乙在行駛過程中，直接寫出當x＝或或時距甲5km．解：設y1＝kx+b，將（0，120）和（0.5，90）代入得：，解得，∴y1＝﹣60x+120，設y2＝mx+n，將（0，90）和（3，0）代入得：，解得，∴y2＝﹣30x+90，乙在行駛過程中距甲5km分三種情況：①甲在乙后面5km即甲距C村遠5km，則y1﹣y2＝5，∴（﹣60x+120）﹣（﹣30x+90）＝5，解得x＝，②乙在甲后面5km即乙距C村遠5km，則y2﹣y1＝5，∴（﹣30x+90）﹣（﹣60x+120）＝5，解得x＝，③甲已經到C村，乙距C村5km，則y2＝5，∴﹣30x+90＝5，解得x＝，故答案為：或或．三.解答題17．（1）解方程組；（2）解不等式組：．解：（1），將原方程組整理得：，①+②得：4x＝8，∴x＝2，將x＝2代入①得：2﹣2y＝2，∴y＝0，∴方程組的解為：；（2），由不等式①得：x≤3，由不等式②得：x＞﹣1，∴不等式組的解集為：﹣1＜x≤3．18．先化簡：，然后從﹣2≤a≤2的范圍內選取一個合適的整數作為a的值代入求值．解：原式＝[﹣]?＝[﹣]?＝?＝?＝，當a＝1時，原式＝．19．已知點A（﹣1，﹣5），B（1，1），C（2，4），請用兩種不同的方法判斷這三點是否在一條直線上．（寫出必要的推理過程）解：A、B、C三點在一條直線上．方法一：設AB兩點所在直線的解析式為y＝kx+b，將A（﹣1，﹣5），B（1，1）代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝3x﹣2，當x＝2時，y＝4，∴點C也在直線AB上，即A、B、C三點在一條直線上．方法二：∵A（﹣1，﹣5），B（1，1），C（2，4），∴AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝3，∴AB+BC＝2+＝3，∴AB+BC＝AC，∴A、B、C三點在一條直線上．20．在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）畫出△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1；（2）畫出△ABC以點O為位似中心，位似比為1：2的△A2B2C2．解：（1）由題意知：△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1），則△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1的坐標為A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），連接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如圖所示△A1B1C1為所求；（2）由題意知：位似中心是原點，則分兩種情況：第一種，△A2B2C2和△ABC在同一側則A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），連接各點，得△A2B2C2．第二種，△A2B2C2在△ABC的對側A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），連接各點，得△A2B2C2．因為在網格中作圖，圖中網格是有范圍的，只能在網格中作圖，所以位似放大只能畫一個．綜上所述：如圖所示△A2B2C2為所求．21．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過點D作DE⊥BD，交BC的延長線于點E，若BC＝5，BD＝8，求四邊形ABED的周長．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵BA＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE＝＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四邊形ABED的周長＝AD+AB+BE+DE＝26．22．為了更好地解決養(yǎng)老問題，某服務中心引入優(yōu)質社會資源為甲，乙兩個社區(qū)共30名老人提供居家養(yǎng)老服務，收集得到這30名老人的年齡（單位：歲）如下：甲社區(qū)676873757678808283848585909295乙社區(qū)666972747578808185858889919698根據以上信息解答下列問題：（1）求甲社區(qū)老人年齡的中位數和眾數；（2）現從兩個社區(qū)年齡在70歲以下的4名老人中隨機抽取2名了解居家養(yǎng)老服務情況，求這2名老人恰好來自同一個社區(qū)的概率．解：（1）甲社區(qū)：這15位老人年齡從小到大排列處在中間位置的一個數是82歲，因此中位數是82歲，在這組數據中出現次數最多的是85歲，因此眾數是85歲；（2）年齡小于70歲甲社區(qū)2人，乙社區(qū)的有2人，從4人中任取2人，所有可能出現的結果如下：共有12種可能出現的結果，其中“同一個社區(qū)”的有4種，∴P（來自同一個社區(qū)）＝＝．23．如圖，點A，B，C是半徑為2的⊙O上三個點，AB為直徑，∠BAC的平分線交圓于點D，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，延長ED交AB的延長線于點F．（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并證明．（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4，∴OF＝＝6，∵OD∥AE，∴，∴＝＝，∴AE＝，ED＝，∴tan∠EAD＝＝．24．關于三角函數有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）＝③利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，如：tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝﹣（2+）．根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角α＝60°，底端C點的俯角β＝75°，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高．解：由于α＝60°，β＝75°，BC＝42，則AB＝BC?tanβ＝42tan75°＝42?＝42?＝42（），A、D垂直距離為BC?tanα＝42，∴CD＝AB﹣42＝84（米）．答：建筑物CD的高為84米．25．榴蓮上市的時候，某水果行以“線上”與“線下”相結合的方式一共銷售了100箱榴蓮．已知“線上”銷售的每箱利潤為100元．“線下”銷售的每箱利潤y（元）與銷售量x（箱）（20≤x≤60）之間的函數關系如圖中的線段AB．（1）求y與x之間的函數關系；（2）當“線下”的銷售利潤為4350元時，求x的值；（3）實際“線下”銷售時，每箱還要支出其它費用a元（0＜a＜20），若“線上”與“線下”售完這100箱榴蓮所獲得的最大總利潤為11200元，求a的值．解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b，代入點A（20，150），B（60，130）得：，∴．∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣x+160．（2）由題意得：x（﹣x+160）＝4350，整理得：x2﹣320x+8700＝0，∴（x﹣30）（x﹣290）＝0，∴x1＝30，x2＝290（舍）．∴x的值為30．（3）設總利潤為P，則P＝x（﹣x+160﹣a）+100（100﹣x）＝﹣x2+（60﹣a）x+10000，對稱軸為：x＝﹣＝60﹣a，∵0＜a＜20，∴40＜60﹣a＜60，∴當x＝60﹣a時，﹣×（60﹣a）2+（60﹣a）（60﹣a）+10000＝11200，（60﹣a）2＝2400，∴60﹣a＝±20，∴a1＝60﹣20，a2＝60+20（舍）．∵x為正整數，∴a為正整數，∵2.4＜＜2.5，∴60﹣20×2.5＜60﹣20＜60﹣20×2.4，∴10＜60﹣20＜12，，∴a＝11．26．紅紅對函數y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的圖象和性質進行了探究．已知當自變量x的值為0或4時，函數值都為﹣3；當自變量x的值為1或3時，函數值都為0．探究過程如下，請補充完整．（1）這個函數的表達式為y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）在給出的平面直角坐標系中，畫出這個函數的圖象并寫出這個函數的一條性質：函數關于直線x＝2對稱．（3）進一步探究函數圖象并解決問題：①直線y＝k與函數y＝a|x2+bx|+c有兩個交點，則k的取值范圍是k＞2；②已知函數y＝x﹣3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，寫出方程a|x2+bx|+c＝x﹣3的解為：x＝0或x＝3或x＝5．解：（1）將x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案為y＝|x2﹣4x|﹣3．（2）如圖：函數關于直線x＝2對稱，故答案為函數關于直線x＝2對稱．（3）①觀察圖像可知，直線y＝k與函數y＝a|x2+bx|+c有兩個交點，則k的取值范圍是k＞2故答案為k＞2．②y＝x﹣3與y＝x2﹣4x﹣3的交點為x＝0或x＝3或x＝5，結合圖象，y＝|x2﹣4x|﹣3＝x﹣3的解為x＝0或x＝3或x＝5，故答案為x＝0或x＝3或x＝5．27．問題提出平面內不在同一條直線上的三點確定一個圓，那么平面內的四點（任意三點均不在同一直線上），能否在同一個圓上呢？初步思考設不在同一條直線上的三點A