第七章數(shù)學

大一輪復習§7.9立體幾何中的截面、交線問題202X/01/01匯報人：“截面、交線”問題是高考立體幾何問題中最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面積等相結合求解，二是利用空間向量的坐標運算求解.重點解讀例1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中點，N在棱CC1上，且CN=2NC1.作出過點D，M，N的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作法.題型一作截面方法一如圖所示，五邊形DQMFN即為所求截面.

作法如下：連接DN并延長交D1C1的延長線于點E，連接ME交B1C1于點F，延長EM交D1A1的延長線于點H，連接DH交AA1于點Q，連接QM，F(xiàn)N，則五邊形DQMFN即為所求截面.方法二連接DN，過點M作DN的平行線交AA1于Q點，連接DQ，過N作DQ的平行線交B1C1于F點，連接MF，

則五邊形DQMFN即為所求截面.作截面的幾種方法(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程.(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線.思維升華跟蹤訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為BC，CD，DD1的中點，作出過點E，F(xiàn)，G的平面截正方體的截面.如圖，過點G作EF的平行線交BB1于點J，過點J作FG的平行線交A1B1于點I，

過點I作EF的平行線交A1D1于點H，易知點J，I，H都在截面EFG內(nèi)，且都是其所在棱的中點，從而所得截面是正六邊形EFGHIJ.例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是線段BB1上靠近B1的三等分點，點F是線段D1C1上靠近D1的三等分點，則平面AEF截正方體ABCD-A1B1C1D1形成的截面圖形為A.三角形

B.四邊形C.五邊形

D.六邊形題型二√截面圖形的形狀判斷

判斷幾何體被一個平面所截的截面形狀，關鍵在于弄清這個平面與幾何體的面相交成線的形狀和位置.思維升華跟蹤訓練2如圖，正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱長都相等，P為線段BB'的中點，Q為側面BB'C'C內(nèi)的一點(包括邊界，異于點P)，過點A，P，Q作正三棱柱的截面，則截面的形狀不可能是

A.五邊形 B.四邊形C.等腰三角形 D.直角三角形√對于B，當PQ的延長線與線段B'C'(除端點外)相交于點F時，延長PQ交CC'的延長線于點D，連接AD交A'C'于點E，連接EF，如圖1，此時過點A，P，Q作正三棱柱的截面為四邊形APFE(當Q在線段B'C'(除端點外)上時，截面也為四邊形)，故截面的形狀可能是B；對于A，當PQ的延長線與線段CC'或BC(除B點外)相交(或點Q在線段CC'或BC(除B點外)上)時，截面為三角形，結合B選項可知，截面為三角形或四邊形，不可能為五邊形，故截面的形狀不可能是A；圖1對于C，取CC'的中點為Q，連接PQ，AQ，如圖2，又P為線段BB'的中點，所以AP=AQ，所以△APQ為等腰三角形，故截面的形狀可能是C；對于D，取BC的中點為Q，連接AQ，PQ，如圖3，因為三棱柱ABC-A'B'C'為正三棱柱，所以AQ⊥BC，又BB'⊥平面ABC，AQ?平面ABC，所以BB'⊥AQ，又BC∩BB'=B，BC，BB'?平面BB'C'C，所以AQ⊥平面BB'C'C，又PQ?平面BB'C'C，所以AQ⊥PQ，所以△APQ為直角三角形，故截面的形狀可能是D.圖2圖3

題型三√截面圖形的周長或面積如圖所示，取BC，CC1的中點E，F(xiàn)，分別連接NE，NF，DE，DF，AD1，D1M，AM，

在正方形ABCD中，因為M，E分別為DC，BC的中點，可得△ADM∽△DCE，所以∠DAM=∠CDE，∠AMD=∠CED，因為∠ADM=90°，所以∠AMD+∠CDE=∠AMD+∠DAM=90°，所以∠DPM=90°，即AM⊥DE，又因為E，N分別為BC，BC1的中點，所以NE∥CC1，因為CC1⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，所以CC1⊥AM，所以AM⊥NE，又因為DE∩NE=E且DE，NE?平面DNE，所以AM⊥平面DNE，因為DN?平面DNE，所以AM⊥DN，同理可證D1M⊥DN，

幾何體的截面的相關計算，關鍵在于根據(jù)公理作出所求的截面，再運用解三角形的相關知識得以解決.思維升華跟蹤訓練3如圖所示，棱長為3的正四面體形狀的木塊，點P是△ABC的重心，過點P將木塊鋸開，并使得截面平行于AD和BC，則截面的面積為

A.1 B.2

C.3

D.4√由題意可知，點P是△ABC的重心，過點P作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，作FG∥AD交CD于點G，

設平面EFG與BD交于點H，連接HG，EH，由于BC?平面EFG，EF?平面EFG，故BC∥平面EFG，因為FG∥AD，AD?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，所以AD∥平面EFG，即四邊形EFGH即為所求截面，由于BC∥平面EFG，平面EFG∩平面BCD=HG，BC?平面BCD，故BC∥HG∥EF，同理FG∥EH，故四邊形EFGH為平行四邊形，

課時精練01單擊此處添加章節(jié)副標題答案12345678題號12345678答案DBDBABCABD對一對一、單項選擇題1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，如果點E是AA1的中點，那么過點D1，B，E截正方體所得的截面圖形為A.三角形 B.矩形C.正方形 D.菱形√12345678答案12345678答案分別取BB1，CC1的中點G，F(xiàn)，連接A1G，BF，D1F，GF，如圖，四邊形D1EBF即為過點D1，B，E截正方體所得的截面圖形，由題意可知A1E∥GB且A1E=GB，所以四邊形A1EBG為平行四邊形，所以A1G∥EB，又因為GF∥B1C1且GF=B1C1，A1D1∥B1C1且A1D1=B1C1，所以A1D1∥GF且A1D1=GF，所以四邊形A1GFD1為平行四邊形，12345678答案所以D1F∥A1G，所以D1F∥EB，同理ED1∥BF，所以四邊形D1EBF為平行四邊形，又因為EB=BF，所以平行四邊形D1EBF為菱形.12345678答案2.在三棱錐P-ABC中，AB+2PC=9，E為線段AP上更靠近P的三等分點，過E作平行于AB，PC的平面，則該平面截三棱錐P-ABC所得截面的周長為A.5 B.6 C.8

D.9√12345678答案

√12345678答案

12345678答案12345678答案

√12345678答案

圖①12345678答案12345678答案

圖②二、多項選擇題5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點Q是棱DD1上的動點，則過A，Q，B1三點的截面圖形可能是A.等邊三角形

B.矩形C.等腰梯形

D.正方形√12345678答案√√12345678答案當點Q與點D1重合時，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖(1)；當點Q與點D重合時，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖(2)；當點Q不與點D，D1重合時，若Q，R滿足D1Q=D1R，則截面圖形為等腰梯形AQRB1，如圖(3)，不可能為正方形.

√12345678答案√√12345678答案對于A，取B1C1的中點H，分別連接GH，A1H，如圖1，

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可得A1H∥AE，因為A1H?平面AEF，且AE?平面AEF，所以A1H∥平面AEF，又由E，F(xiàn)，G，H分別為正方形BCC1B1的邊BC，CC1，BB1，B1C1的中點，可得GH∥EF，因為GH?平面AEF，且EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF，又因為A1H∩GH=H，且A1H，GH?平面A1GH，所以平面A1GH∥平面AEF，因為A1G?平面A1GH，所以A1G∥平面AEF，所以A正確；12345678答案

12345678答案

12345678答案

三、填空題7.如圖，四棱錐S-ABCD的所有棱長都等于2，E為線段SA的中