第2章非線性介質(zhì)響應特性的

量子力學描述2.1密度算符及其運動方程2.2非線性極化率的微擾理論2.3近獨立分子體系的極化率2.4分子間有弱相互作用介質(zhì)的極化率張量2.5共振增強介質(zhì)的極化率2.6帶電粒子可自由移動介質(zhì)的極化率2.7有效場極化率2.8準單色波的非線性極化2.9二能級原子系統(tǒng)的極化率2.10非線性光學材料

2.1密度算符及其運動方程

2.1.1量子力學中的一些基本概念和結論

(1)一個動力學體系的狀態(tài)可以用一個歸一化的波函數(shù)ψ描述。ψ

是系統(tǒng)位置和自旋坐標的函數(shù),滿足式中的積分表示對系統(tǒng)的所有坐標積分,并對自旋求和。

(4)狀態(tài)的表象。在量子力學中,描述狀態(tài)和力學量的方式可以不同,例如,狀態(tài)可以用以坐標為變量的波函數(shù)描述,也可以用以動量為變量的波函數(shù)描述,相應的力學量算符也不同。所謂表象,就是量子力學中對狀態(tài)和力學量的具體表示方式,不同的表示方式稱為不同的表象。一個表象就是一組完全、正交的波函數(shù){ui}。所謂正交,就是

所謂完全,就是任意波函數(shù)ψ

都可以用{ui}展開:

在量子力學中,表象的選擇是任意的,完全取決于所討論的問題,選擇得恰當,可以使問題的討論大為簡化。

式(2.1-5)的意義是:如果ψ(r,t)是坐標表象中的波函數(shù),ui(r)是在另一特定表象中的本征函數(shù),則該式說明在坐標表象中所描述的狀態(tài),在另一特定表象中是用一組數(shù)ai來描述的。在量子力學中,將{ai(t)}稱做這個狀態(tài)在特定表象中的波函數(shù),且數(shù)ai滿足

(8)薛定諤表象的矩陣表示。由量子力學已知,波函數(shù)ψ(r,t)在某表象中可看做一列矩陣,即

若將式(2.1-5)代入式(2.1-3),并以um*(r)左乘等式兩邊,再對r變化的整個空間積分,可得

并可簡寫為

該式就是薛定諤方程在該表象中的矩陣表示。

在海森堡表象中,態(tài)矢量與時間無關,但算符與時間有關,即

式中

下面,我們導出投影算符的運動方程。假定φ

是一個與時間無關的任意波函數(shù),由投影算符的定義式(2.1-27)有

如果系統(tǒng)可能的狀態(tài)有

相應的概率為

在這種情況下,就要從量子力學范圍過渡到量子統(tǒng)計的范圍去討論問題。按式(2.1-29),系統(tǒng)處在各可能狀態(tài)上的力學量o的平均值分別是

稱為系統(tǒng)的密度算符。之所以叫密度算符,是因為它是經(jīng)典統(tǒng)計力學中的概率密度在相空間中的量子力學模擬。于是,對于只能知道系統(tǒng)的統(tǒng)計知識的情況來說,必須用密度算符去描述,并用它計算期望值。

2.1.3幾點說明

在利用密度算符推導極化率張量之前,有幾個問題需要說明。

1)密度算符的跡

2)熱平衡狀態(tài)的密度算符

對于所討論的實際問題,總是認為系統(tǒng)受光電場作用前處于熱平衡狀態(tài)。因此,在求解密度算符的運動方程時,通常都把熱平衡狀態(tài)下的密度算符作為初始條件。

由于密度算符的跡等于1,所以熱平衡狀態(tài)下的密度算符的跡也應等于1,即

2.2非線性極化率的微擾理論

2.2.1密度算符的微擾級數(shù)

1.密度算符的微擾級數(shù)現(xiàn)在我們討論一個原來處于熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng),受到外來光電場作用后的密度算符。例如,固體中荷電粒子所組成的系統(tǒng),它的哈密頓算符為

2.的一般表示式

將式(2.2-5)代入式(2.2-4),有

由此可以得到如下兩個微分方程:

根據(jù)第一個微分方程可以求出積分因子I(t),然后將其代入第二個微分方程,即可求得

式中的t0

由初始條件y(t0)=0確定。

由上式可見,如果式中兩個大括號中的量都等于零,顯然滿足方程。這樣,我們便得到一對非耦合的積分因子所滿足的微分方程:

式(2.2-16)和式(2.2-17)的解分別為

2.2.2極化強度的一般表示式

假設所研究的介質(zhì)足夠小,以致在體積V

內(nèi)的光電場E(t)的空間變化可以不考慮。另外,與光電場相聯(lián)系的磁場所引起的效應也不考慮。再假定V

內(nèi)含有N

個荷電粒子(電子和離子),并用qi

和ri

分別表示第i個粒子所帶的電荷和它的位置矢量,則荷電粒子系統(tǒng)的偶極矩為

設介質(zhì)的宏觀極化強度為P(t),按照定義,P(t)是單位體積內(nèi)的偶極矩算符的期望值,即

2.2.3非線性光學極化率張量表示式

現(xiàn)在的任務是將上面得到的非線性極化強度一般表示式

化成非線性極化強度的式(1.1-40)定義形式,或其分量形式:

進而求出極化率張量χ(r)(ω1,ω2,…,ωr),或其張量元素χ(r)μα1

α2…αr

(ω1,ω2,…,ωr)。

下面較詳細地討論r=1和r=2的情況,然后將結果推廣到任意r

值的情況。

1.一階極化率張量元素表示式

所以式(2.2-38)可變?yōu)?/p>

現(xiàn)將式(2.2-46)與一階極化強度分量定義式

相比較,便可求得一階極化率張量元素為

展開式中的泊松括號,利用關系

再改變積分變量(用t1-代替t1-t),最后可得

2.二階極化率張量表示式

r=2時,由式(2.2-34)和式(2.2-27),可得

利用式(2.2-42)和式(2.2-43)關系,有

相比較,便求得二階極化率張量元素表示式為

在第1章中我們已經(jīng)指出,極化率張量應具有本征對易對稱性,即有

3.三階和r階極化率張量元素

2.3近獨立分子體系的極化率

2.3.1近獨立分子體系的極化率張量

1.極化率張量表示式上一節(jié)所討論的極化率張量表示式中的算符,都是與介質(zhì)的小體積V

內(nèi)整個粒子系統(tǒng)相聯(lián)系著的。如果這種粒子系統(tǒng)由近獨立分子集合而成,就可以很容易證明這種多粒子算符可用單個分子的算符表示,單個分子算符只與單個分子相聯(lián)系,而且與不同分子相聯(lián)系的算符之間是可對易的。

1)多粒子系統(tǒng)的算符用單分子算符表示

假定在體積V

中有M個分子,其中第m

個分子的未微擾哈密頓算符和電偶極矩算符分別為則整個集合的未微擾哈密頓算符和電偶極矩算符分別為

因為單個分子的哈密頓算符之間是可對易的,所以整個集合在熱平衡狀態(tài)下的密度算符為

式中

是在熱平衡狀態(tài)下第m

個分子的密度算符。

2)極化率張量表示式中的跡用單個分子的算符表示

由式(2.2-50)、式(2.2-57)、式(2.2-58)和式(2.2-59)所表示的一階、二階、三階和r階極化率張量元素的表示式可見,若將式中的電偶極矩算符用單個分子的電偶極矩算符表示,則不管是哪一階極化率張量元素表示式中的跡,都有如下形式:

為得到近獨立分子體系的極化率張量元素的具體表示式,必須計算式(2.3-11)形式的跡,而對于跡的計算,可以在任意表象中進行。在這里,比較方便的是利用如下的表象:在這個表象中,多分子體系的波函數(shù)可以用單分子波函數(shù)的乘積表示。

假定rm

表示第m個分子的所有內(nèi)部坐標(設質(zhì)心是靜止的),{u(a,rm)}表示第m

個分子a表象的分子波函數(shù)集合,這里的a表示波函數(shù)集合中不同成員的一種符號,則整個分子集合的表象由如下一組波函數(shù)乘積給出:

式中,A

表示單分子符號a1、a2、…、am

、…、aM

的集合,每個符號am

包含單分子波函數(shù)的所有可能的成員。

現(xiàn)在利用式(2.3-13)來計算式(2.3-11)的跡。因為跡是矩陣對角元之和,所以有

又因為假定分子是全同的,并且取向也是相同的,應有

所以代入式(2.3-15)后,得

上式中已利用第一個分子代替了所有其它分子。

3)單分子跡的表示式

前面,我們都是用

分別表示多粒子系統(tǒng)的未微擾哈密頓算符、熱平衡狀態(tài)下的密度算符和電偶極矩算符,用

別表示多粒子系統(tǒng)的未微擾與時間

有關的演化算符和相互作用表象中的電偶極矩算符。從現(xiàn)在起,我們用它們來表示單個分子的相應的量。

三階:

因為通常只討論到三階非線性極化效應,故從實際考慮出發(fā),導出三階非線性極化率張量元素中的跡已經(jīng)足夠。當然,對于更高階非線性極化率張量元素中的跡,也可以按上述方法求得。

4)極化率張量元素的表示式

由式(2.2-50),并利用式(2.3-20)和式(2.3-25),可以給出一階極化率張量元素的表示式為

同樣,由式(2.2-57),并利用式(2.3-20)和式(2.3-26)可以求得

利用同樣的方法和步驟,由式(2.2-58),再利用式(2.3-20)和式(2.3-27)可以求得三階極化率張量元素表示式為

2.極化率張量元素表示式的費曼(Feymman)圖示法

式(2.3-32)求和中的各項可以分別用如下的費曼圖表示:

仿照上述費曼圖示方法,可以很容易寫出(例如)具有兩個泵浦的受激超喇曼散射過程的五階極化率張量元素

由此很容易寫出任意r

階極化率張量元素

2.3.2極化率張量的性質(zhì)

1.極化率張量的完全對易對稱性

1)極化率張量的完全對易對稱性

由式(2.3-29)的一階極化率張量元素的表示式可以看出,如果交換指標α

和μ,并且用-ω

代替ω,即在(ω,α)?(-ω,μ)的情況下,式(2.3-29)右邊的結果不變,這時有

這就是一階極化率張量的完全對易對稱性。

為了更清楚地表示出完全對易對稱性,我們令ωσ=-ω,并將其寫在極化率張量元素符號的變量中,使ωσ

與μ

相聯(lián)系,ω

與α相聯(lián)系,則其完全對易對稱性可表示為

并可將一階極化率張量元素簡化為如下形式:

最后,將上述結果推廣到第r階極化率張量的情況中,有

2)極化率張量完全對易對稱性的條件

前面我們在推導極化率張量元素

等表示式時看到,極化率張量元素在實數(shù)頻率軸上存在奇點,這意味著此時它們描述極化過程變得無效。事實上,介質(zhì)中總是存在馳豫效應,因此,在極化率張量元素表示式的各項分母中要附加阻尼項。在這種情況下,奇點不再存在,但同時,上面討論的極化率張量的完全對易對稱性也不再成立。通常,將不考慮附加阻尼項的介質(zhì)叫做非弛豫介質(zhì),它實際上是介質(zhì)弛豫趨于零的一種理想化介質(zhì)。

3)完全對易對稱性的若干物理結果

當介質(zhì)極化率張量存在完全對易對稱性時,將有如下幾個很重要的物理結果。

(1)同一個極化率張量可以表示不同的物理過程。當介質(zhì)極化率張量存在完全對易對稱性時,由r+1個實數(shù)頻率ω1、ω2、…、ωr、ωσ(=-(ω1+ω2+…+ωr))中的任意r個,通過r

階極化所進行的r+1個不同的物理過程,都由相同的極化率張量決定。

(2)曼利

羅(Manley-Rowe)功率關系。這個關系描述了在滿足完全對易對稱性的條件下,介質(zhì)中非線性光學過程的能量轉換特性。在這里,以二階極化過程為例進行討論。

①

二階極化強度表示式。假定介質(zhì)開始受到不可公約的兩個頻率ω'和ω″的光電場作用,由于非線性效應,可能產(chǎn)生如下的組合頻率:

式中,m

和n

是整數(shù),可正、可負,也可為零。這時,在介質(zhì)中的總光電場為

因為E(t)是實數(shù),且

所以要求

所以,當滿足關系

由式(2.3-55),可以給出頻率為ωmn的二階極化強度μ

分量的表示式為

②

輸入到單位體積介質(zhì)中的功率關系。根據(jù)光的電磁理論,光電場對介質(zhì)極化所消耗的平均功率為

頻率為ωmn的光電場通過二階極化輸入到單位體積介質(zhì)中的總功率為

③

曼利

羅功率關系。由式(2.3-59)和式(2.3-62),有

如果將上式兩邊交換求和的變量,即(m,n,μ)?(p,q,α),則有

因為m、n

和p、q均為任意整數(shù),可正、可負,也可為零,所以有

又因

所以式(2.3-64)可改寫為

若考慮到極化率張量χ(2)的完全對易對稱性,則式(2.3-63)和式(2.3-68)除了求和號中的m

與p

不同外,其它因子都相同。按同樣方法進行,若將(r,s,β)?(m,n,μ)時,所得結果只是在式(2.3-63)中將求和號中的m

用r

代替,其它因子都不變,即有

將式(2.3-63)、式(2.3-68)和式(2.3-69)相加,可以得到

④

曼利

羅功率關系的另外形式。由式(2.3-62),當用(-m,-n)代替(m,n)時,便有

考慮到式(2.3-73)和式(2.3-48),上式變?yōu)?/p>

同理可得

由此可得曼利

羅功率關系的另一種形式:

2.克萊曼對稱性

克萊曼已經(jīng)證明,如果非線性極化起源于電子而不是離子,并且晶體對所討論的非線性過程中的所有光頻率都是透明的,即如果在ω1、ω2-和ω1+ω2-的頻率范圍內(nèi)晶體是無耗的,折射率的色散現(xiàn)象可以忽略不計,則二階非線性極化率張量元素χμαβ(2)(-(ω1-+ω2-),ω1,ω2-)在所有指標μ、α

和β對易下是不變的。因為這種對稱性首先由克萊曼所研究,故稱其為克萊曼對稱性。

3.極化率張量的時間反演對稱性

1)時間反演的意義

在經(jīng)典力學中,時間反演就是用-t代替t,即改變時間的測量方向。對于經(jīng)典力學來說,有兩類重要的力學變量:一類變量在時間反演下不改變符號,例如,位置坐標、位置坐標的函數(shù)、動量的偶函數(shù)(如動能)等;另一類變量在時間反演下改變符號,例如,動量、動量的奇函數(shù)的量、角動量等。

在量子力學中,對應每一個經(jīng)典力學量都有一個力學量算符,其中,與時間反演不變號的經(jīng)典力學量相應的算符,在薛定諤表象中是實數(shù)算符,例如:

坐標算符

哈密頓算符

動量矩平方算符

而與時間反演變號的經(jīng)典力學量相應的算符,在薛定諤表象中是純虛數(shù)算符,例如:

動量算符

動量矩算符

3)χ(1)是對稱張量

由極化率張量具有時間反演對稱性,可以得到一個很重要的結論:一階極化率張量是一個對稱張量。

由式(2.3-82),令r=1,有

又根據(jù)一階極化率張量的完全對易對稱性,有

比較上面二式,可得

或

即一階極化率張量是一個對稱張量。

2.4分子間有弱相互作用介質(zhì)的極化率張量

2.4.1分子間弱相互作用的效應假定我們討論單分子的兩個能態(tài)a

和b,相應的兩個本征態(tài)能量分別為

Ea=?ωa

和Eb=?ωb。如果考慮分子間有弱相互作用,則將引起單分子能級位置有一個不確定的量,這個不確定量的大小與分子間的相互作用能量的量級相同。

設能態(tài)a

的不確定量為?Γa,能態(tài)b

的不確定量為

?Γb,則在分子能態(tài)a

和b之間的躍遷頻率

也有一個不確定量

它表示在分子能態(tài)a和b之間躍遷的共振頻率有一定的寬度,此寬度的數(shù)量級為Γab,且Γab=Γba。

另外,由量子力學已知,如果能級的能量有一個不確定量ΔE,就表明粒子在能級上有一定的壽命Δt,且由測不準關系有

而按照經(jīng)典振子模型的觀點,粒子在能級上有一定的壽命,相當于振子受到一定的阻尼,在其共振響應表示式的分母中要附加一個阻尼項。因而可以唯象地認為,考慮到分子間存在弱的耦合,其效應相當于在前面得到的極化率表示式中,將分母中的實數(shù)躍遷頻率ωab用復數(shù)頻率ωab±iΓab代替。

2.4.2極化率張量表示式的修正

1.一階極化率張量表示式的修正

上一節(jié)給出了忽略分子間相互作用時的一階極化率張量元素的表示式:

如果考慮分子間有弱的相互作用,則在分母中應引入阻尼項(±iΓab),并且,考慮到極化率張量的解析要求,應將上式中處在實數(shù)軸上的極點移到下半個復數(shù)頻率平面內(nèi)。由此,可以得到考慮分子間弱相互作用介質(zhì)的一階極化率張量元素表示式為

2.考慮分子間弱相互作用的極化率張量的性質(zhì)

1)態(tài)a和b之間躍遷的共振線寬

我們將從每單位體積的介質(zhì)通過線性極化吸收的功率關系出發(fā),證明Γab就是態(tài)a和b之間躍遷的共振線寬。

假定介質(zhì)受到光電場

2)時間反演對稱性不成立

在考慮分子間的弱相互作用時,由式(2.4-5)有

將該式與式(2.4-5)比較,顯然

這說明計及分子間的弱相互作用后,極化率張量的時間反演對稱性不再成立。

如果入射光頻遠離共振區(qū),即|ω-ωba|?Γba,可將線寬忽略不計,便有

考慮到電偶極矩矩陣元都是實數(shù),所以

便有

這說明在遠離共振區(qū)的情況下,極化率張量具有時間反演對稱性。

3)完全對易對稱性不成立

如上同樣分析,當Γba≠0時,極化率張量的完全對易對稱性也不再成立,即

只有當遠離共振區(qū)時,Γba可以忽略不計,極化率張量才有完全對易對稱性。

但是,不管頻率是復數(shù)還是實數(shù),一階極化率張量χ(1)(ω)均是一個對稱張量:

3.高階極化率張量元素表示式的修正

對于高階極化率張量元素表示式的修正,與一階極化率張量的修正方法類似。當考慮分子間有弱相互作用時,只要將式(2.3-34)中的躍遷頻率ωba等用ωba±iΓba等代替即可。

至于是用ωba+iΓba還是用ωba-iΓba代替,則由因果性條件確定,即應保證極化率張量的極平面內(nèi)。所以,二階、三階極化率張量元素的表示式分別為

實際上,為了獲得上述分子間有弱相互作用介質(zhì)的非線性極化率表示式,式中因子的虛部正負號的選擇規(guī)則,結合費曼圖進行是很方便的:在費曼圖中,箭頭ωσ

右邊的共振分母的因子中取-iΓ

的形式;在其左邊的共振分母的因子中取+iΓ

的形式。

與討論一階極化率張量χ(1)(ω)的情況一樣,對于高階極化率張量表示式,當頻率ω1、ω2、ω3、…以及它們的組合頻率遠離所有躍遷頻率時,線寬Γba、Γca和Γda等均可以忽略不計,在這種情況下,極化率張量具有完全對易對稱性和時間反演對稱性,否則,這兩種對稱性不復存在。

2.5共振增強介質(zhì)的極化率

2.5.1一階共振增強效應在一階極化率張量元素表示式(2.4-5)中,首先考慮對a、b

的求和。假定介質(zhì)為二能級系統(tǒng),低能級以o

標記,高能級以t標記,本征躍遷共振頻率為ωto,則在求和過程中,a、b

可分別為o

和t,可得

今若入射光頻率ω≈ωto,則上式中的第一、四項因分母值很小,其分數(shù)值很大,而第二、三項則因分母值很大,可以忽略。因而,共振極化率為

2.5.2二階共振增強效應

現(xiàn)仍然假定介質(zhì)為二能級系統(tǒng),并考慮雙光子共振ωto≈ω1+ω2的情況,則當a=o時,相應第一、二項有共振增強貢獻,其它各項的貢獻可略;當a=t時,相應第五、六項有共振增強貢獻,其它各項的貢獻可略。適當整理可得

2.5.3三階共振增強效應

1.三階極化率的雙光子和頻共振增強

現(xiàn)在考慮同時入射三個頻率ω1、ω2和ω3,產(chǎn)生第四個頻率ω1+ω2+ω3的四波混頻過程。設其中兩個頻率ω2、ω3-之和ω2+ω3-與介質(zhì)的某一本征躍遷頻率ωto發(fā)生共振,亦即滿足條件ωto-(ω2+ω3)≈0。在對三階極化率張量元素表示式(2.4-22)的求和運算中,分別取a、c等于o、t,其中第一、二項有共振增強貢獻,而第三、四項在進行本征對易運算后,也有共振增強貢獻。

若將非共振增強項忽略,經(jīng)過整理可得

在上式推導中,已忽略了其它頻率組合的共振作用,因此在方括號中將相應的阻尼因子Γ忽略;此外,還利用了條件ωbt=ωbo+ωot=ωbo-ωto

≈ωbo-(ω2+ω3)。進一步,采用前面引入的符號f,可將上式簡化為

假定原子具有如圖2.5-1所示的簡化能級圖:有四個電子能級,其中能級0和2的宇稱相同;能級1和3的宇稱相同,但與0和2的宇稱相反。這表明在電偶極躍遷的情況下,能級間產(chǎn)生的電偶極躍遷應如圖2.5-1中的箭頭所示。

圖2.5-1由簡單四能級系統(tǒng)產(chǎn)生三次諧波

由式(2.5-11)可見,對于雙光子共振增強來說,第一項和第二項中的因子

第三項和第四項中的因子

對于前者,要求c是終態(tài),a

是基態(tài);對于后者,要求a是終態(tài),c是基態(tài)。

這樣,由式(2.5-11)中第一項和第二項得到

現(xiàn)將上式按對稱化算符展開,并略去分母各個因子中的阻尼因子(共振因子項除外),則式(2.5-12)變?yōu)?/p>

上式括號中的第一、第二、第三和第四項之和為

圖2.5-2鈉的能級圖

2.三階極化率的雙光子差頻共振增強

現(xiàn)在考慮ω1、ω2和ω3產(chǎn)生ω1-ω2+ω3-的四波混頻過程,其中兩個入射光頻率之差正好與介質(zhì)某一本征躍遷頻率發(fā)生共振,例如ωto≈ω2-ω3。此時,由式(2.4-22)出發(fā),可導出描述該過程的三階極化率張量元素為

在實際工作中,ωto常選取為介質(zhì)的喇曼躍遷頻率,這時將發(fā)生所謂的喇曼共振增強的四波混頻過程,利用式(2.5-25)可以描述各種喇曼共振四波混頻過程。通常情況下,均采用兩束不同頻率的單色光入射,其中一束較強的光稱為泵浦光(ωp),另一束較弱的光稱為信號光(ωs),則可能發(fā)生如下四種效應:

將式(2.5-28)和式(2.5-29)相加,得到

現(xiàn)將式(2.5-30)改寫為

與前同樣地引入符號:

2.6帶電粒子可自由移動介質(zhì)的極化率

前面,我們通過利用密度算符求電偶極矩算符期望值的方法,得到了介質(zhì)中極化率張量的一般表示式:

2.6.1-極化率張量的另外一種形式

1.密度算符的微擾級數(shù)

如前所述,帶電粒子系統(tǒng)的動力學行為可以利用在光電場作用下的密度算符的運動方程來描述,其初始條件就是整個系統(tǒng)在熱平衡情況下的密度算符,它由式(2.1-43)確

定。密度算符運動方程為

2.電流密度表示式

根據(jù)電磁場理論關系,電流密度算符可表示為

式中

因此,宏觀電流密度為

3.極化強度表示式

根據(jù)極化強度與電流密度的關系

可得r階極化強度與r階電流密度的關系為

這里,與2.3節(jié)中的討論方法相同,當頻率ω1、ω2、…、ωr

在復數(shù)頻率平面的上半平面內(nèi)取值時,上式對時間的積分是收斂的,這樣,將式(2.6-25)對τ積分后,得

4.極化率張量元素表示式

將式(2.6-26)與

進行比較,可以得到第r階極化率張量元素為

考慮到極化率張量的本征對易對稱性和各向同性項的貢獻,第r階極化率張x量元素的一般表示式為

如進一步考慮近獨立粒子體系的情況,作出式(2.6-30)對時間的積分,并考慮極化率張量的完全對易對稱性,可以得到最后結果為

2.6.2電導率張量表示式

由非線性光學理論可知,當光電場比較強時,電流密度與光電場之間的關系應當是非線性的,因而可以將J(t)寫成

式中的J(r)(t)與電場強度的r

次冪成正比。與前面討論的極化強度與電場的關系類似,第r

階電流密度分量表示式為

將式(2.6-22)與式(2.6-35)相比較,可以立即給出第r

階電導率張量元素的表示式為

考慮到對一階電導率張量的各向同性貢獻,各階電導率張量元素的表示式可以統(tǒng)一寫成如下形式:

2.7有效場極化率

2.7.1-有效電場強度羅侖茲證明,在非極性氣體、液體及立方晶體中,作用在分子上的有效場強為

達爾文(Darwin)研究了金屬中自由電子的情況后指出,作用在電子上的有效場強為

對于處于上述兩種情況之間的各種介質(zhì)的有效場的計算,是個很復雜的問題。這里給出一個經(jīng)驗表示形式:有效場強與宏觀場強的關系為

為簡單起見,取L

為一標量。

2.7.2有效場極化率

所以對比式(2.7-10)和式(2.7-11),有

因此

同理,可以求得三階宏觀場非線性極化率張量χ(3)(ω1,ω2,ω3)與三階有效場非線性極化率張量之間的關系為

推廣到更高階的非線性極化率情況,階數(shù)每增加一階,就增加一項有效場的修正因子。對于r

階非線性極化率張量,有

2.8準單色波的非線性極化

2.8.1準單色波光電場準單色波是指表觀頻率為ω0,振幅包絡隨時間慢變化的光波,其光電場表示式為

2.8.2準單色波的線性極化強度

1.準單色波線性極化強度包絡的表示式

準單色波線性極化強度表示式為

根據(jù)線性極化強度與光電場關系的一般表示式

并將式(2.8-2)代入后,得

比較式(2.8-3)和式(2.8-5),可以得到線性強度包絡函數(shù)

該式給出了極化強度包絡函數(shù)與光電場包絡的傅里葉分量之間的一般關系。

2.絕熱極限

假定光脈沖(準單色波)的載頻ω0

處在介質(zhì)的透明區(qū)域,則在ω0

附近的頻率范圍內(nèi),χ(1)(-ω,ω)是頻率的慢變化函數(shù),可將χ(1)(-ω,ω)圍繞ω0展成臺勞(Taylor)級數(shù),這樣,式(2.8-6)變?yōu)?/p>

下面,我們具體討論絕熱極限近似條件的表示式。

由式(2.8-7)可見,如果滿足條件

則式(2.8-7)中的第二項可以忽略。另外,由式(2.4-5),有

2.8.3-準單色波的高階極化強度

在這里,我們討論準單色波的三階極化強度。如果將前面得到的準單色波光電場的傅里葉分量關系

到式(2.8-16)的絕熱極限近似條件表示式,不過這里的Δ-iΓ

與三次諧波極化率表示式分母中的數(shù)值為最小的一個因子相對應。例如,對于雙光子共振極化率來說,有

當滿足這個條件時,三次諧波極化強度表示式為瞬時關系,其包絡函數(shù)為

2.8.4-準單色波載頻ω0

接近共振頻率的極化

上面我們討論了準單色波與原子系統(tǒng)相互作用的時間滿足

時,其極化過程可以用瞬時響應描述。對于很短的脈沖(超短脈沖),當它與共振吸收介質(zhì)相互作用(Δ=0),脈沖持續(xù)時間τc?(1/Γ)時,上述瞬時響應近似條件不再成立,必須考慮因果性原理。

進一步,如果考慮頻率ω

接近某一共振頻率ωbo,則上式中第二項可略,并且去掉求和號,式(2.8-26)變?yōu)?/p>

利用因果性原理,有

將該式與式(2.8-27)比較,可得

再將式(2.8-29)代入式(2.8-28),并利用式(2.8-1)后,得到

2.9二能級原子系統(tǒng)的極化率

前面,我們利用微擾理論方法求解了密度算符運動方程,導出了非線性光學極化率表示式,并強調(diào)指出,微擾理論處理方法適用于光電場對介質(zhì)的作用是一個微擾的場合,式(2.2-5)的級數(shù)形式應當收斂。對于入射光場遠離共振區(qū),或者入射光場的作用較弱的場合,微擾理論是一種很好的處理方法,可適用于目前人們研究的許多非線性光學過程。

2.9.1二能級原子系統(tǒng)的密度矩陣方程

在2.1節(jié)中,我們引入了密度算符,并導出了密度算符的運動方程。如果考慮到介質(zhì)的弛豫特性,可將密度算符的運動方程表示為

相應的密度矩陣運動方程為

設二能級原子系統(tǒng)的基態(tài)為o,激發(fā)態(tài)為t,由式(2.9-2)得

在電偶極近似下,由對稱性的考慮已知

2.9.2-二能級原子系統(tǒng)極化率表示式

1.密度矩陣方程的穩(wěn)態(tài)解

若原子數(shù)密度為n,則由上式得

式中,Δn0=n(ρoo-ρtt)0為無外場時,基態(tài)能級o

與激發(fā)態(tài)能級t上的原子數(shù)差。

2.二能級原子系統(tǒng)的極化率

將式(2.9-30)和式(2.9-31)代入式(2.9-21),可以得到宏觀極化強度為

將式(2.9-36)與式(2.9-35)進行比較,可得

或

2.10非線性光學材料2.10.1非線性光學材料

1.非線性光學材料具有非線性光學性質(zhì)的材料有很多種,不同的材料與光相互作用的物理機制不盡相同。例如,氧化物和鐵電體材料的主要機制是外電光效應,光折變材料主要是內(nèi)電光效應,液晶材料主要是分子取向,半導體材料主要是電子、激子機制,有機及聚合物材料主要是電子、分子極化與分子取向,納米復合材料主要是表面等離子體激元,手性分子材料主要是分子電、磁極矩等。

在實際應用中,選擇非線性光學材料的主要依據(jù)是:

(1)應有較大的非線性極化率。這是最基本的但并非是唯一的要求,有時即使材料的非線性極化率不是很大,也可以(例如)通過增強入射激光功率獲得所要求的非線性光學效應。

(2)具有合適的透明程度及足夠的光學均勻性。在非線性光學工作頻段內(nèi),材料對光的有害吸收及散射損耗應盡量小。

(3)容易實現(xiàn)相位匹配。

(4)非線性光學材料的損傷閾值較高,能夠承受較大的激光功率或能量。

(5)有合適的響應時間,能夠對寬度不同的脈沖激光或連續(xù)激光作出足夠的響應。

2.二階非線性光學材料

二階非線性光學材料大多數(shù)是不具有中心對稱性的晶體。通常用于光學倍頻、混頻和光學參量振蕩等效應的晶體有兩大類。一類是氧化物和鐵電晶體,典型的如磷酸二氫鉀(KDP)、磷酸二氘鉀(KD﹡P)、鈮酸鋰(LiNbO3)、碘酸鋰(LiIO3)、鈦酸鋇(BaTiO3)、磷酸鈦氧鉀(KTP)、偏硼酸鋇(BBO)和三繃酸鋰(LBO)等,它們比較適宜于工作在可見光及近紅外波段,并已獲得了廣泛的應用,許多已經(jīng)商品化。這一類晶體的主要缺點是,多數(shù)氧化物晶體的非線性系數(shù)不高,已發(fā)現(xiàn)LN波導由于介穩(wěn)擴散過程而不能長期保留其導波特性,特別是這些介電晶體無法與半導體集成而影響其小型化。

另一類是半導體晶體,典型的如碲(Te)、硒化鋅(ZnSe)、硒化鎘(CdSe)、硒鎵銀(AgGaSe)、磷鍺鋅(ZnGeP2)等,它們更適宜于工作在中紅外波段,因其存在共振非線性效應而具有很大的非線性折射率和非線性吸收系數(shù),成為非線性光學中極具挑戰(zhàn)性的材料;但恰又因其非線性與共振條件相關,電子激發(fā)的弛豫導致響應速度的限制和耗散現(xiàn)象等問題仍需努力解決。

3.三階非線性光學材料

三階非線性光學材料沒有中心對稱條件的限制,其范圍很廣,包括:

①

各種惰性氣體,常用于三次諧波產(chǎn)生、三階混頻,以獲得紫外波長的相干光;

原子及鋇(Ba)、鍶(Sr)、鈣(Ca)原子等,常用于產(chǎn)生共振的三階混頻、受激喇曼散射、相干反斯托克斯喇曼散射等效應,以實現(xiàn)激光在近紅外、可見光及紫外波段間的頻率變換及頻率調(diào)諧;

③

各種有機液體及溶液,如二硫化碳(CS2)、硝基苯、各種染料溶液等,由于這些介質(zhì)有較大的三階非線性極化率,常用來進行各種三階非線性光學效應的實驗觀測,例如光學克爾效應、受激布里淵散射、簡并四波混頻及光學相位共軛效應、光學雙穩(wěn)態(tài)效應等;

④

液晶相及各向同性相中的各種液晶,由于液晶分子的取向排列有較長的弛豫時間,故其非線性光學效應有自己的特點,引起人們特殊的興趣;⑤某些半導體晶體,最近發(fā)現(xiàn)有些半導體晶體,如InSb,在紅外區(qū)域有非常大的三階非線性極化率,適合于做成各種非線性光學器件。

2.10.2-非線性光學晶體

在非線性光學中,大量運用非線性光學晶體。按照非線性光學晶體的效應不同,可將其分為頻率轉換晶體、電光晶體和光折變晶體。

1.頻率轉換晶體

非線性光學頻率轉換晶體主要用于激光倍頻、和頻、差頻、多次倍頻、參量振蕩與放大等方面,以開拓相干光波長范圍。按其透光波段范圍來劃分,可分為下述三類。

1)從可見光到紅外波段的頻率轉換晶體

在此波段內(nèi),人們對頻率轉換晶體研究得最多。研究表明,現(xiàn)有的無機化合物,如磷酸鹽、鈮酸鹽、碘酸鹽等,均存在著從可見光到紅外波段的性能良好的頻率轉換晶體。

(1)磷酸鹽晶體。磷酸鹽晶體主要有以下兩種:

KDP型晶體是一類水溶液法生長的晶體,因其可以很容易地生長出高質(zhì)量、特大尺寸的晶體,且具有透光波段從紫外到近紅外,激光損傷閾值中等,易于實現(xiàn)相位匹配,倍頻閾值功率為百毫瓦等優(yōu)點,而成為較理想的頻率轉換晶體。

KTP晶體號稱頻率轉換的“全能冠軍”材料,可用高溫溶液法、水熱法生長,具有倍頻系數(shù)大、透光波段寬、損傷閾值高、化學穩(wěn)定性好等優(yōu)點,現(xiàn)已在Nd:YAG激光頻率轉換中獲得了廣泛的應用。

(2)鈮酸鹽晶體。鈮酸鹽晶體多為熔體提拉法生長,其中以LiNbO3晶體研究得最多,用量最多。鈮酸鹽晶體主要有:

LiNbO3晶體簡稱LN晶體,用途極為廣泛,集電光、聲光、光彈、變頻、光折變等效應于一身,可用于聲表面波器件、濾波器、光波導、光導器件、Q開關、電光調(diào)制、傳感器、倍頻器等。

KNbO3晶體具有優(yōu)異的非線性光學