第07講模型構建專題：全等三角形中的常見八種模型目錄TOC\o"11"\h\u【模型一平移型模型】 1【模型二軸對稱型模型】 3【模型三四邊形中構造全等三角形解題】 6【模型四一線三等角模型】 9【模型五三垂直模型】 14【模型六旋轉型模型】 18【模型七倍長中線模型】 23【模型八截長補短模型】 29【模型一平移型模型】【答案】證明見解析【知識點】同位角相等兩直線平行、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、兩直線平行同位角相等【變式訓練】

【答案】見解析【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理和平行線的性質，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．【模型二軸對稱型模型】【答案】見解析【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）本題考查了全等三角形的性質和判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解此題的關鍵．【變式訓練】【答案】見解析【知識點】全等的性質和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．【詳解】證明：點是線段的中點，【答案】見解析【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）【答案】【模型三四邊形中構造全等三角形解題】(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據垂直關系，以及三角形的外角性質可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補，∠BEC與∠AEC互補，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，三角形的外角的性質，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數量關系并證明所歸納結論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？【答案】(1)見解析；(2)CE+BG=EG，理由見解析；(3)當∠EDG=90°α時，（2）中結論仍然成立．【解析】【分析】(1)(2)解：如圖，連接，(3)【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據題意推出規(guī)律是解此題的關鍵．【模型四一線三等角模型】【答案】探究：見解析；應用：6【詳解】探究應用解：∵△ABE≌△CAF，故答案為：6．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．【變式訓練】【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質，能夠熟練運用三等角模型快速證明三角形全等是解題關鍵．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）（2）成立，證明如下：【模型五三垂直模型】【答案】(1)見解析【知識點】同(等)角的余(補)角相等的應用、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題關鍵．【變式訓練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【解析】【分析】（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°∠BAC=180°90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角，也考查了三角形全等的判定與性質．(3)當直線繞點C旋轉到③的位置時，試問、、具有怎樣的數量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析（3）同樣由三角形全等尋找邊的關系，根據位置尋找和差的關系．【模型六旋轉型模型】【分析】（1）根據三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進而可知∠CFA【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：將直線CE與AB的交點記為點O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴CE⊥BD．（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，∴兩個三角形面積相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°【點睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質的應用，正確掌握全等三角形的性質是解題的關鍵；【變式訓練】1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根據旋轉的性質證明△ABE≌△CBD（SAS），進而得證；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據三角形內角和定理進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，利用旋轉的性質證明是解題的關鍵．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為；線段BD、AB、EB的數量關系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數量關系，并對圖2的結論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質即可得出結論；（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質并分情況討論是關鍵．【模型七倍長中線模型】∵為中點，【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形三邊之間的關系，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．【變式訓練】10．（2425八年級上·江西贛州·階段練習）【特例感知】（1）中線的取值范圍是______．【類比遷移】【拓展應用】【知識點】確定第三邊的取值范圍、全等的性質和SAS綜合（SAS）、倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)【分析】本題考查了三角形綜合題和倍長中線問題，主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系等知識．為邊上的中線，（2）證明：如圖2，延長交的延長線于點，為的中點，方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(3)見解析【分析】本題考查三角形全等的判定及性質，三角形的三邊關系．∵是邊上的中線，∵點M是的中點，延長交于F，【模型八截長補短模型】(2)見解析【知識點】三角形的外角的定義及性質、與角平分線有關的三角形內角和問題、證一條線段等于兩條線段和差（全等三角形的輔助線問題）【分析】本題考查角平分線的定義、三角形的外角，全等三角形的判定和性質，證明線段的和差常用“截長或補短”的方法．【變式訓練】

【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、全等的性質和SAS綜合（SAS）、證一條線段等于兩條線段和差（全等三角形的輔助線問題）、等邊三角形的判定和