去年七省監(jiān)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)。

2.極限lim(x→0)(sinx/x)=1。

3.函數(shù)f(x)=e^x在整個(gè)實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞增。

4.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式為-2。

5.線性方程組Ax=b有解的充要條件是矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩。

6.設(shè)事件A和B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。

7.正態(tài)分布N(0,1)的累積分布函數(shù)在x=0處等于0.5。

8.設(shè)隨機(jī)變量X的期望為E(X)，方差為Var(X)，則E(aX+b)=aE(X)+b。

9.拋擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率為0.5。

10.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）。

A.f(x)=1/x

B.f(x)=√x

C.f(x)=tanx

D.f(x)=sinx

2.下列不等式成立的有（）。

A.log?3>log?2

B.e2>e

C.(1/2)?1>(1/3)?1

D.2√2>3

3.設(shè)向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，則下列運(yùn)算正確的有（）。

A.a·b=32

B.|a|=√14

C.a×b=(-3,6,-3)

D.2a-3b=(-10,-1,-12)

4.下列關(guān)于矩陣的說法正確的有（）。

A.單位矩陣的逆矩陣是其本身

B.兩個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆

C.矩陣的秩等于其行向量組的秩

D.行列式為0的矩陣不可逆

5.下列關(guān)于概率分布的說法正確的有（）。

A.二項(xiàng)分布是離散型分布

B.泊松分布是連續(xù)型分布

C.正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于均值對(duì)稱

D.卡方分布是抽樣分布

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2ax+b，則a的值為______。

2.極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=______。

3.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]]，矩陣B=[[5,6],[7,8]]，則矩陣A與B的乘積AB=______。

4.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且A與B互斥，則P(A∪B)=______。

5.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則隨機(jī)變量Y=(X-μ)/σ服從的分布為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+3)dx。

2.求函數(shù)f(x)=x3-3x+2的極值點(diǎn)。

3.解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=3

3x+2y-z=2

4.計(jì)算二重積分?_D(x2+y2)dA，其中區(qū)域D由x軸、y軸和直線x+y=1圍成。

5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={2x,0≤x≤1;0,其他}，求隨機(jī)變量X的期望E(X)和方差Var(X)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B函數(shù)f(x)=|x|在x=0處導(dǎo)數(shù)為0，是可導(dǎo)的。

2.A這是基本的三角函數(shù)極限。

3.A指數(shù)函數(shù)e^x的導(dǎo)數(shù)為自身，故單調(diào)遞增。

4.D行列式|A|=(1*4)-(2*3)=4-6=-2。

5.A這是線性代數(shù)中克萊姆法則或判定方程組解的存在性的基本定理。

6.A互斥事件指A發(fā)生則B必不發(fā)生，其并集概率等于各自概率之和。

7.A標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，其在x=0處取得最大值，且總面積為1，故累積分布函數(shù)在x=0處為0.5。

8.A這是由期望和方差的線性性質(zhì)決定的。

9.A對(duì)于均勻硬幣，兩種結(jié)果（正面、反面）等可能發(fā)生，概率各為0.5。

10.A這是拉格朗日中值定理的幾何意義和表述，即在連續(xù)曲線段上必存在一點(diǎn)，其切線斜率等于曲線兩端點(diǎn)連線的斜率。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,D函數(shù)f(x)=√x在其定義域(0,+∞)上連續(xù)；f(x)=sinx是基本初等函數(shù)，在其定義域R上連續(xù)。f(x)=1/x在x=0處無定義，不連續(xù)；f(x)=tanx在x=kπ+π/2(k為整數(shù))處無定義，不連續(xù)。

2.A,B,Clog?3=1/log?2，log?2>1，故log?3<1；log?2<1。e2=e^2>e^1=e。(1/2)?1=2，(1/3)?1=3，2<3。2√2≈2.828，3>2.828，故2√2<3。

3.A,B,C,Da·b=1*4+2*5+3*6=4+10+18=32。|a|=√(12+22+32)=√(1+4+9)=√14。a×b=|ijk|

|123|

|456|=i(2*6-3*5)-j(1*6-3*4)+k(1*5-2*4)=i(12-15)-j(6-12)+k(5-8)=-3i+6j-3k=(-3,6,-3)。2a-3b=2(1,2,3)-3(4,5,6)=(2-12,4-15,6-18)=(-10,-11,-12)。*(注意：此處原題D計(jì)算有誤，根據(jù)向量運(yùn)算法則，2a-3b=(-10,-1,-12)是正確的，此處按原題干所述進(jìn)行解析，但指出其計(jì)算結(jié)果應(yīng)為(-10,-1,-12))*

4.A,B,C,D單位矩陣I=[[1,0],[0,1]]，其逆矩陣I?1=[[1,0],[0,1]]=I。設(shè)A,B為n階可逆矩陣，則存在A?1,B?1使得AA?1=I,BB?1=I。則(AB)B?1A?1=A(BB?1)A?1=AIA?1=AA?1=I，故AB可逆，其逆矩陣為B?1A?1。矩陣的秩等于其行向量組或列向量組的最大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，故等于其行秩，也等于其列秩。若矩陣A的行列式|A|≠0，則A可逆；反之，若|A|=0，則說明A的行向量組或列向量組線性相關(guān)，存在非零向量x使得Ax=0，即Ax=b無解或有無窮多解，故A不可逆。

5.A,C二項(xiàng)分布B(n,p)描述n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)X的概率分布，其取值為0,1,...,n，是離散型分布。正態(tài)分布N(μ,σ2)的密度函數(shù)f(x)=(1/σ√(2π))*e^(-(x-μ)2/(2σ2))關(guān)于x=μ對(duì)稱。卡方分布χ2(k)是描述k個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X?2(i=1,...,k)之和的分布，常用于統(tǒng)計(jì)推斷中的假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)，是抽樣分布的一種。泊松分布P(λ)描述在固定時(shí)間或空間內(nèi)稀有事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，是離散型分布，λ是平均發(fā)生率。

三、填空題答案及解析

1.1由導(dǎo)數(shù)定義f'(x)=d/dx(ax2+bx+c)=2ax+b，比較系數(shù)得a=1。

2.4分子x2-4可以因式分解為(x-2)(x+2)，約去分母與分子的公共因子(x-2)，得到極限lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

3.[[-2,-4],[-6,-8]]按矩陣乘法規(guī)則計(jì)算：

[[1,2][[5,6]][[1*5+2*7,1*6+2*8],[3*5+4*7,3*6+4*8]]

[3,4]]*[4,5]]=[[1*5+2*4,1*6+2*5],[3*5+4*4,3*6+4*5]]

=[[5+8,6+10],[15+16,18+20]]

=[[13,16],[31,38]]

*(注意：此處原題答案計(jì)算有誤，正確結(jié)果應(yīng)為[[13,16],[31,38]]。此處按原題干所述進(jìn)行解析，但指出其計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤)*

4.0.9由于A與B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3。*(注意：此處原題干條件P(A)+P(B)=1.3與互斥條件矛盾，互斥事件概率和應(yīng)小于1。若題目意圖為A、B非互斥但A?B或B?A，則結(jié)果不同。若題目意圖為A、B互斥且P(A)+P(B)≤1，則結(jié)果為0.6或0.7。此處按原題干文字計(jì)算，但指出其邏輯問題)*

5.N(0,1)設(shè)隨機(jī)變量X的均值為μ，方差為σ2。E(X)=∫?1x*2xdx=∫?12x2dx=[2/3*x3]?1=2/3。Var(X)=E(X2)-[E(X)]2。E(X2)=∫?1x2*2xdx=∫?12x3dx=[1/2*x?]?1=1/2。Var(X)=1/2-(2/3)2=1/2-4/9=1/18。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的均值μ=0，方差σ2=1。為將X轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，需中心化(減去均值)并標(biāo)準(zhǔn)化(除以標(biāo)準(zhǔn)差)。Y=(X-μ)/σ=(X-0)/√(1/18)=X/(√18/3)=3X/(3√2)=X/√2。由于X~U(0,1)，其均值為1/2，方差為(1/12)。Y的均值為E(Y)=E(X/√2)=E(X)/√2=1/2/√2=(√2/4)。Y的方差為Var(Y)=Var(X/√2)=Var(X)/(√2)2=(1/12)/2=1/24。Y的分布不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。*(注意：此處原題答案N(0,1)是錯(cuò)誤的。根據(jù)計(jì)算，Y~N(√2/4,1/24))。

四、計(jì)算題答案及解析

1.∫(x2+2x+3)dx=∫x2dx+∫2xdx+∫3dx=x3/3+x2+3x+C(C為積分常數(shù))

2.求極值點(diǎn)需先求導(dǎo)數(shù)：f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x?=1,x?=-1。求二階導(dǎo)數(shù)：f''(x)=6x。在x?=1處，f''(1)=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)。在x?=-1處，f''(-1)=-6<0，故x=-1為極大值點(diǎn)。

3.使用加減消元法：

(1)2x+y-z=1

(2)x-y+2z=3

(3)3x+2y-z=2

由(1)+(2):3x+y+z=4->(4)

由(3)-(2):2x+3y-3z=-1->(5)

由(4)+(5):5x+4y=3->(6)

由(6):y=(3-5x)/4

代入(4):3x+[(3-5x)/4]+z=4=>12x+3-5x+4z=16=>7x+4z=13=>z=(13-7x)/4

代入(1):2x+[(3-5x)/4]-[(13-7x)/4]=1=>2x+(3-5x-13+7x)/4=1=>2x-10/4=1=>8x-10=4=>8x=14=>x=7/4

y=(3-5*7/4)/4=(12-35)/16=-23/16

z=(13-7*7/4)/4=(52-49)/16=3/16

解為：x=7/4,y=-23/16,z=3/16

4.積分區(qū)域D由x=0,y=0,x+y=1三條直線圍成，為直角坐標(biāo)系下的三角形區(qū)域。積分次序?yàn)橄葘?duì)y積分（從y=0到y(tǒng)=1-x），再對(duì)x積分（從x=0到x=1）。

?_D(x2+y2)dA=∫?1∫?^(1-x)(x2+y2)dydx

=∫?1[x2y+y3/3]?^(1-x)dx

=∫?1[x2(1-x)+(1-x)3/3]dx

=∫?1[x2-x3+(1-3x+3x2-x3)/3]dx

=∫?1[x2-x3+1/3-x+x2-x3/3]dx

=∫?1[2x2-(4/3)x3+1/3-x]dx

=[2/3*x3-(4/12)*x?+1/3*x-1/2*x2]?1

=[2/3-1/3+1/3-1/2]-[0]

=2/3-1/2

=4/6-3/6

=1/6

5.E(X)=∫?1x*f(x)dx=∫?1x*2xdx=∫?12x2dx=[2/3*x3]?1=2/3。

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2。E(X2)=∫?1x2*f(x)dx=∫?1x2*2xdx=∫?12x3dx=[1/2*x?]?1=1/2。

Var(X)=1/2-(2/3)2=1/2-4/9=9/18-8/18=1/18。

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要考察了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三門課程的基礎(chǔ)理論知識(shí)，具體可分類如下：

1.**高等數(shù)學(xué)部分：**

***函數(shù)與極限：**包括函數(shù)連續(xù)性判斷、基本極限計(jì)算、函數(shù)可導(dǎo)性與導(dǎo)數(shù)概念。

***一元函數(shù)微分學(xué)：**包括導(dǎo)數(shù)計(jì)算（基本函數(shù)、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）、極值點(diǎn)判別、不定積分計(jì)算。

***一元函數(shù)積分學(xué)：**包括不定積分計(jì)算、二重積分計(jì)算（直角坐標(biāo)系下）。

***級(jí)數(shù)基礎(chǔ)（隱含）：**極限計(jì)算中涉及了級(jí)數(shù)收斂性的思想。

2.**線性代數(shù)部分：**

***向量代數(shù)：**包括向量的數(shù)量積（點(diǎn)積）、向量積（叉積）計(jì)算，向量的模（長(zhǎng)度）計(jì)算，向量線性相關(guān)性判斷。

***矩陣運(yùn)算：**包括矩陣乘法運(yùn)算，矩陣行列式計(jì)算，矩陣的逆矩陣概念與性質(zhì)。

***線性方程組：**包括利用矩陣運(yùn)算（行列式、逆矩陣）或消元法求解線性方程組。

3.**概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分：**

***基本概率概念：**包括事件關(guān)系（互斥、并集），概率計(jì)算（古典概型、基本性質(zhì)）。

***隨機(jī)變量及其分布：**包括隨機(jī)變量類型（離散型、連續(xù)型）判斷，概率密度函數(shù)與分布函數(shù)性質(zhì)，正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、卡方分布等常見分布的概念與性質(zhì)。

***隨機(jī)變量數(shù)字特征：**包括期望（E(X)）和方差（Var(X)）的計(jì)算。

***抽樣分布：**對(duì)卡方分布的性質(zhì)有所涉及。