數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)運(yùn)算01§7.6空間向量的概念與運(yùn)算1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題名稱定義空間向量在空間中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量長(zhǎng)度

而方向

的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相_____或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相等相反平行重合同一個(gè)平面1.空間向量的有關(guān)概念2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使

.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在

的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝

.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝

.{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝

.(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b________________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________|a||b|cos〈a，b〉a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

向量表示坐標(biāo)表示垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)____________________模|a|______________夾角余弦值cos〈a，b〉＝_____________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0(3)空間位置關(guān)系的向量表示

×√×√

√

3.若平面α外的直線l的方向向量為a＝(1，0，－2)，平面α的法向量為m＝(8，－1，4)，則A.l⊥α

B.l∥αC.a∥m

D.l與α斜交根據(jù)題意，直線l的方向向量為a＝(1，0，－2)，平面α的法向量為m＝(8，－1，4)，易得a·m＝1×8－2×4＝0，又直線l在平面α外，則有l(wèi)∥α.√4.已知空間向量a＝(λ，1，2)，b＝(2，λ＋1，λ)，若a∥b，則實(shí)數(shù)λ＝

.－2

微點(diǎn)提醒2.解題時(shí)防范以下幾個(gè)易誤點(diǎn)(1)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.(2)由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，故0不能作為基向量.(3)直線的方向向量和平面的法向量均不為零向量且不唯一.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

(1)設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，已知三點(diǎn)A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一條直線上，那么x＋y等于A.2 B.3

C.4

D.5√題型一

空間向量的線性運(yùn)算

√

用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.思維升華

√

題型二

√空間向量基本定理及其應(yīng)用

思維升華三點(diǎn)P，A，B共線空間四點(diǎn)M，P，A，B共面應(yīng)用共線(面)向量定理證明點(diǎn)共線(面)的方法比較

√

(2)已知空間向量a＝(1，2，0)，b＝(0，－1，1)，c＝(2，3，m)，若a，b，c共面，則實(shí)數(shù)m等于A.1 B.2

C.3

D.4√

題型三

√√√空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

(2)如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1的各條棱長(zhǎng)均為1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，則線段AC1的長(zhǎng)度為

.

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.思維升華

1

題型四

向量法證明平行、垂直

(2)平面AEA1⊥平面BCB1.

(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)定理.思維升華跟蹤訓(xùn)練4

(2025·長(zhǎng)沙統(tǒng)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA∥平面EDB；

(2)求證：平面PBC⊥平面EFD.

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號(hào)1234567答案CDABBDABD2題號(hào)81112答案C3對(duì)一對(duì)答案123456789101112(1)∵E，H分別是線段PA，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.9.答案123456789101112(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(xiàn)(0，1，1)，H(1，0，0).9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.

123456789101112知識(shí)過(guò)關(guān)答案

√123456789101112答案

√123456789101112答案3.(2025·長(zhǎng)春模擬)下列可使非零向量a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底的條件是A.a，b，c兩兩垂直

B.b＝λc(λ∈R)C.a＝mb＋nc(m，n∈R) D.a＋b＋c＝0√123456789101112答案由基底定義可知只有非零向量a，b，c不共面時(shí)才能構(gòu)成空間中的一個(gè)基底.對(duì)于A，因?yàn)榉橇阆蛄縜，b，c兩兩垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；對(duì)于B，b＝λc，則b，c共線，由向量特性可知空間中任意兩個(gè)向量是共面的，所以a與b，c共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由共面向量定理可知非零向量a，b，c共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，a＋b＋c＝0，即a＝－b－c，故由共面向量定理可知非零向量a，b，c共面，故D錯(cuò)誤.123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案

√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

三、填空題7.已知a＝(1，0，2)，b＝(3，－2，1)，c＝(－1，m，3)，若{a，b，c}不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)m＝

.

123456789101112答案

2123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答題9.如圖，四棱錐P

－ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn).求證：(1)PB∥平面EFH；123456789101112答案∵E，H分別是線段PA，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.123456789101112答案(2)PD⊥平面AHF.123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案(2)在線段C1B1上是否存在點(diǎn)