§8.3圓的方程01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題定義平面上到定點(diǎn)的距離等于

的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C_______半徑為_(kāi)__一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心C____________半徑r＝________________定長(zhǎng)(a，b)r

1.圓的定義和圓的方程2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi).圓外圓上圓內(nèi)

√√×√2.在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為(1，0)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.(x－1)2＋y2＝2 B.(x＋1)2＋y2＝2C.(x－1)2＋y2＝4 D.(x＋1)2＋y2＝4√

√√

4.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍為A.R

B.a≤1C.a<1 D.a>1√根據(jù)題意，若方程表示圓，則有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1.1.掌握?qǐng)A的兩個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上.2.牢記一個(gè)相關(guān)結(jié)論圓的“直徑式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

設(shè)☉M的圓心M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在☉M上，則☉M的方程為

.

題型一(x－1)2＋(y＋1)2＝5圓的方程

求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.思維升華

√

題型二

√命題點(diǎn)1直接法與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

例3

已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點(diǎn)A的軌跡方程是A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x√命題點(diǎn)2定義法

√命題點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)法

求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)相關(guān)點(diǎn)法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值題型三

√√與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

微拓展

圓的參數(shù)方程

典例利用圓的參數(shù)方程求解例5選項(xiàng)B和C.

12命題點(diǎn)2利用函數(shù)求最值

思維升華(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2024·濟(jì)南模擬)已知點(diǎn)Q(－1，1)，P為圓(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ的長(zhǎng)度的取值范圍為

；點(diǎn)P到直線3x＋4y－14＝0的距離的最大值為

.

5

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號(hào)1234567答案BDCCACDAD題號(hào)81112答案(3，5)ACD850對(duì)一對(duì)答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112(1)依題意，設(shè)圓C1的方程為(x－a)2+(y－3)2＝a2，又圓心(a，3)在直線3x－2y＝0上，∴3a－6＝0，∴a＝2，∴圓C1的方程為(x－2)2+(y－3)2＝4.10.答案123456789101112

10.一、單項(xiàng)選擇題1.(2025·重慶模擬)已知A(－1，0)，B(3，6)，則以AB為直徑的圓的一般方程為A.x2＋y2－2x－6y＋3＝0 B.x2＋y2－2x－6y－3＝0C.x2＋y2＋2x－6y＋3＝0 D.x2＋y2＋2x－6y－3＝0123456789101112知識(shí)過(guò)關(guān)答案√123456789101112答案

123456789101112答案2.圓心在y軸上，半徑為2，且過(guò)點(diǎn)(2，4)的圓的方程為A.x2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.x2＋(y－4)2＝4依題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則圓的方程為x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圓的方程為x2＋(y－4)2＝4.√123456789101112答案3.已知等腰三角形ABC的底邊BC對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)是A(4，2)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)是B(3，5)，則底邊另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程是A.(x－4)2＋(y－2)2＝10B.(x＋4)2＋(y－2)2＝10C.(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)兩點(diǎn))D.(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3且x≠5)√123456789101112答案

123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案6.設(shè)圓C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，則下列命題正確的是A.任意k∈R，圓的面積都是4πB.存在k∈R，使得圓C過(guò)點(diǎn)(3，0)C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)的圓C有且只有一個(gè)D.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案8.(2024·西安模擬)若過(guò)點(diǎn)P(0，1)可作圓x2＋y2－2x－4y＋a＝0的兩條切線，則a的取值范圍是

.

(3，5)123456789101112答案四、解答題9.已知圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)A(1，3)，B(3，3)兩點(diǎn).(1)求圓C的方程；

123456789101112答案

123456789101112答案10.已知圓C1的圓心在直線3x－2y＝0上，且與y軸相切于點(diǎn)(0，3).(1)求圓C1的方程；依題意，設(shè)圓C1的方程為(x－a)2＋(y－3)2＝a2，又圓心(a，3)在直線3x－2y＝0上，∴3a－6＝0，∴a＝2，∴圓C1的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝4.123456789101112答案(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2