第六章數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)202X/01/01§6.7子數(shù)列問(wèn)題子數(shù)列是數(shù)列問(wèn)題中的一種常見題型.將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為子數(shù)列問(wèn)題一般適用于某個(gè)數(shù)列是由幾個(gè)有規(guī)律的數(shù)列組合而成的，具體求解時(shí)，要搞清楚子數(shù)列的項(xiàng)在原數(shù)列中的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即項(xiàng)不變化，項(xiàng)數(shù)變化.重點(diǎn)解讀

題型一奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)問(wèn)題由題意，得當(dāng)n∈N*時(shí)，a2n＝2a2n－1－1，

①a2n＋1＝a2n＋1，

②將①代入②，得a2n＋1＝2a2n－1，所以數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和S100.數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題的常見題型(1)數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問(wèn)題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；(2)含有(－1)n的類型；(3)含有{a2n}，{a2n－1}的類型.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2024·西安模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a3＝4，a2a5＝32，且lnan，lnan＋1，lnan＋2成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋(－1)nlog2an＋1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

數(shù)列的公共項(xiàng)

題型二

(2)把數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列記為{cn}，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)是等差數(shù)列，且公差是兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)，兩個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)是等比數(shù)列，公比是兩個(gè)等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2025·沈陽(yáng)模擬)已知數(shù)列an＝2n－1，bn＝3n－2，由這兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)從小到大排列得到的數(shù)列為{cn}，則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為A.cn＝3n－2 B.cn＝4n－1C.cn＝5n－3 D.cn＝6n－5因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，而數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，故cn＝1＋(n－1)×6＝6n－5.√題型三例3

(2024·濱州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4＝7，S5＝25.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，則S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得公差d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.數(shù)列增減項(xiàng)(2)保持?jǐn)?shù)列{an}中各項(xiàng)先后順序不變，在ak與ak＋1(k＝1，2，…)之間插入2k－1個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，求{bn}的前50項(xiàng)和T50.

對(duì)于數(shù)列的中間插項(xiàng)或減項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列問(wèn)題，我們要把握兩點(diǎn)：先判斷數(shù)列之間共插入(減少)了多少項(xiàng)(運(yùn)用等差等比求和或者項(xiàng)數(shù)公式去看)，再對(duì)于題目給出的條件確定它包含了哪些項(xiàng).思維升華跟蹤訓(xùn)練3

已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2＋n，在等比數(shù)列{an}中，a1＝b1，a4＝b8.(1)求數(shù)列{bn}與{an}的通項(xiàng)公式；∵Sn＝n2＋n，∴當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝2n.又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n.∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，∴等比數(shù)列{an}的公比為2，∴an＝2n.(2)若數(shù)列{bn}中去掉{an}中的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列{cn}，求{cn}的前20項(xiàng)和.

課時(shí)精練01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案1234(1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2與a8的等差中項(xiàng)為5，所以a2+a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5，因?yàn)閍4a6＝24，所以(5－d)(5+d)＝24，解得d＝±1，因?yàn)閐>0，所以d＝1，所以an＝a5+(n－5)d＝5+(n－5)＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.1.答案1234

1.答案1234

2.答案1234

2.答案1234(1)因?yàn)镾n＝2an－n，

①所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－(n－1)，

②①－②得an＝2an－1+1，所以an+1＝2(an－1+1)，又a1+1＝2，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an+1＝2n，即an＝2n－1.3.答案1234

3.答案1234

4.答案1234∵an+an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，∴an＝2n+1，n∈N*.4.答案1234

4.1.(2024·佳木斯模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，a2與a8的等差中項(xiàng)為5，且a4a6＝24.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；1234知識(shí)過(guò)關(guān)答案1234答案因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2與a8的等差中項(xiàng)為5，所以a2＋a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5，因?yàn)閍4a6＝24，所以(5－d)(5＋d)＝24，解得d＝±1，因?yàn)閐>0，所以d＝1，所以an＝a5＋(n－5)d＝5＋(n－5)＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.

1234答案1234答案

1234答案2.(2024·北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，且a5－2a2＝3.又?jǐn)?shù)列{bn}中，b1＝3且3bn－bn＋1＝0(n＝1，2，3，4，…).(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；1234答案

1234答案(2)若ai＝bj，則稱ai(或bj)是{an}，{bn}的公共項(xiàng).①直接寫出數(shù)列{an}，{bn}的前4個(gè)公共項(xiàng)；由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n，則a2＝b1＝3，a5＝b2＝9，a14＝b3＝27，a41＝b4＝81，所以數(shù)列{an}，{bn}的前4個(gè)公共項(xiàng)依次為3，9，27，81.1234答案②從數(shù)列{an}的前100項(xiàng)中將數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)去掉后，求剩下所有項(xiàng)的和.

1234答案3.(2025·馬鞍山模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－n(n∈N*).(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；1234答案因?yàn)镾n＝2an－n，

①所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－(n－1)，

②①－②得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)，又a1＋1＝2，所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an＋1＝2n，即an＝2n－1.1234答案(2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{bn}：a1，2，a2，4，6，