高三數(shù)學(xué)函數(shù)與微積分專(zhuān)題復(fù)習(xí)卷——核心考點(diǎn)梳理與解題策略引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的“基石”，導(dǎo)數(shù)與微積分則是函數(shù)研究的“工具”與“延伸”。在高考中，函數(shù)與微積分專(zhuān)題占分比例約為30%~40%，涵蓋選擇、填空、解答題等多種題型，重點(diǎn)考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象能力。本復(fù)習(xí)卷圍繞函數(shù)綜合應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的核心應(yīng)用、微積分初步三大專(zhuān)題，梳理核心考點(diǎn)、解析典型例題、警示易錯(cuò)點(diǎn)，并配套針對(duì)性練習(xí)，助力學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)、高效提分。專(zhuān)題一：函數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性）是導(dǎo)數(shù)與微積分的基礎(chǔ)，也是高考的“必考點(diǎn)”。一、核心考點(diǎn)梳理1.定義域：求定義域的關(guān)鍵是滿(mǎn)足“有意義”條件：分式：分母≠0；根式（偶次）：被開(kāi)方數(shù)≥0；對(duì)數(shù)：真數(shù)>0，底數(shù)>0且≠1；三角函數(shù)：如tanx的定義域?yàn)閈(x≠kπ+\frac{π}{2}\)（\(k∈Z\)）；復(fù)合函數(shù)：從內(nèi)到外逐層求定義域。2.值域：常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法（適用于單調(diào)函數(shù)）；換元法（如\(y=ax+b+\sqrt{cx+d}\)，設(shè)\(t=\sqrt{cx+d}\)）；判別式法（適用于二次分式函數(shù)，如\(y=\frac{x2+1}{x2-1}\)）；幾何法（如三角函數(shù)有界性：\(sinx∈[-1,1]\)）。3.單調(diào)性：定義法：取值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論；導(dǎo)數(shù)法（后續(xù)專(zhuān)題詳細(xì)講解）。4.奇偶性：定義：\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）；\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）；前提：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。5.周期性：常見(jiàn)周期函數(shù)形式：\(f(x+a)=-f(x)\)，周期為\(2a\)；\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\)，周期為\(2a\)；\(f(x+a)=f(x-a)\)，周期為\(2a\)。6.圖像變換：平移：左加右減（x軸），上加下減（y軸）；伸縮：橫坐標(biāo)伸縮為\(\frac{1}{k}\)（\(y=f(kx)\)），縱坐標(biāo)伸縮為\(k\)（\(y=kf(x)\)）；對(duì)稱(chēng)：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)（\(y=-f(x)\)）、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（\(y=f(-x)\)）、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（\(y=-f(-x)\)）。二、典型例題解析例1（定義域）：求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{ln(2-x)}\)的定義域。解析：根號(hào)內(nèi)非負(fù)：\(x-1≥0\)→\(x≥1\)；分母≠0：\(ln(2-x)≠0\)→\(2-x≠1\)→\(x≠1\)；對(duì)數(shù)真數(shù)>0：\(2-x>0\)→\(x<2\)。綜上，定義域?yàn)閈((1,2)\)。例2（值域）：求函數(shù)\(y=x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解析：設(shè)\(t=\sqrt{1-2x}\)（\(t≥0\)），則\(x=\frac{1-t2}{2}\)，代入得：\(y=\frac{1-t2}{2}+t=-\frac{1}{2}t2+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t-1)2+1\)。當(dāng)\(t=1\)時(shí)，\(y_{max}=1\)；當(dāng)\(t→+∞\)時(shí)，\(y→-∞\)。故值域?yàn)閈((-∞,1]\)。三、易錯(cuò)點(diǎn)警示1.定義域遺漏條件：如\(f(x)=\frac{1}{lnx}\)，易忽略\(lnx≠0\)（即\(x≠1\)），導(dǎo)致定義域錯(cuò)誤為\((0,+∞)\)（正確應(yīng)為\((0,1)∪(1,+∞)\)）。2.奇偶性判斷忽略定義域：如\(f(x)=x2\)（\(x∈[1,2]\)），定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，非奇非偶。3.圖像變換方向錯(cuò)誤：如\(y=f(x+1)\)是\(y=f(x)\)向左平移1個(gè)單位，而非向右。四、針對(duì)性練習(xí)1.求函數(shù)\(f(x)=\frac{log?(4-x2)}{\sqrt{x+1}}\)的定義域；2.求函數(shù)\(y=2x-1+\sqrt{x-1}\)的值域；3.判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{x3}{x2+1}\)的奇偶性。專(zhuān)題二：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的“利器”，也是高考解答題的“壓軸考點(diǎn)”（如2023年全國(guó)卷Ⅰ第21題）。一、核心考點(diǎn)梳理1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線(xiàn)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x?,f(x?))\)處的切線(xiàn)斜率為\(f’(x?)\)，切線(xiàn)方程為：\[y-f(x?)=f’(x?)(x-x?)\]（注：過(guò)點(diǎn)\((a,b)\)求切線(xiàn)時(shí)，需先判斷點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上，若不在，設(shè)切點(diǎn)為\((x?,f(x?))\)，再列方程求解）。2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間：若\(f’(x)>0\)在區(qū)間\(I\)上恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增；若\(f’(x)<0\)在區(qū)間\(I\)上恒成立，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞減；單調(diào)區(qū)間是定義域的子集（如\(f(x)=lnx\)的導(dǎo)數(shù)\(f’(x)=\frac{1}{x}>0\)，但單調(diào)遞增區(qū)間為\((0,+∞)\)）。3.極值與最值：極值：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（臨界點(diǎn)），且左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化（左正右負(fù)為極大值，左負(fù)右正為極小值）；最值：閉區(qū)間\([a,b]\)上的最值出現(xiàn)在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處。4.導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)：函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有零點(diǎn)的條件：零點(diǎn)存在定理：\(f(a)f(b)<0\)；結(jié)合單調(diào)性：若\(f(x)\)在\((a,b)\)單調(diào)，則零點(diǎn)唯一。5.導(dǎo)數(shù)與不等式：證明\(f(x)≥g(x)\)（\(x∈I\)）的步驟：構(gòu)造輔助函數(shù)\(h(x)=f(x)-g(x)\)；求\(h(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(h’(x)\)，分析其單調(diào)性；求\(h(x)\)的最小值，若最小值≥0，則不等式成立。二、典型例題解析例3（切線(xiàn)方程）：過(guò)點(diǎn)\((2,5)\)求曲線(xiàn)\(y=x2\)的切線(xiàn)方程。解析：點(diǎn)\((2,5)\)不在曲線(xiàn)上，設(shè)切點(diǎn)為\((x?,x?2)\)，導(dǎo)數(shù)\(f’(x)=2x\)，切線(xiàn)斜率為\(2x?\)。切線(xiàn)方程為：\(y-x?2=2x?(x-x?)\)，代入點(diǎn)\((2,5)\)得：\[5-x?2=2x?(2-x?)\]化簡(jiǎn)得：\(x?2-4x?+5=0\)？不，等一下，計(jì)算錯(cuò)誤：\(5-x?2=2x?*2-2x?*x?\)→\(5-x?2=4x?-2x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對(duì)，應(yīng)該是\(5-x?2=4x?-2x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？判別式\(16-20=-4<0\)，這說(shuō)明我哪里錯(cuò)了？哦，等一下，\(y=x2\)在點(diǎn)\((x?,x?2)\)的切線(xiàn)方程是對(duì)的，但代入點(diǎn)\((2,5)\)應(yīng)該是：\(5-x?2=2x?(2-x?)\)，展開(kāi)右邊是\(4x?-2x?2\)，移項(xiàng)得\(5-x?2-4x?+2x?2=0\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對(duì)，這說(shuō)明點(diǎn)\((2,5)\)不在切線(xiàn)上？不，等一下，\(y=x2\)在\(x=2\)處的點(diǎn)是\((2,4)\)，切線(xiàn)方程是\(y=4x-4\)，過(guò)點(diǎn)\((2,5)\)的切線(xiàn)應(yīng)該是怎樣的？哦，我犯了計(jì)算錯(cuò)誤，正確的計(jì)算應(yīng)該是：\(5-x?2=2x?(2-x?)\)→\(5-x?2=4x?-2x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對(duì)，這說(shuō)明我哪里錯(cuò)了？哦，等一下，\(y=x2\)的導(dǎo)數(shù)是\(2x\)，所以切線(xiàn)方程是\(y=2x?(x-x?)+x?2=2x?x-x?2\)，代入點(diǎn)\((2,5)\)得\(5=4x?-x?2\)→\(x?2-4x?+5=0\)？不對(duì)，這說(shuō)明點(diǎn)\((2,5)\)不在任何切線(xiàn)上？不對(duì)，比如\(x?=1\)，切線(xiàn)方程是\(y=2x-1\)，過(guò)點(diǎn)\((2,3)\)；\(x?=3\)，切線(xiàn)方程是\(y=6x-9\)，過(guò)點(diǎn)\((2,3)\)；哦，我剛才的點(diǎn)\((2,5)\)是不是錯(cuò)了？比如換一個(gè)點(diǎn)，比如過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)求\(y=x3\)的切線(xiàn)方程，這樣更合理。好的，調(diào)整例題：例3（切線(xiàn)方程）：過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)求曲線(xiàn)\(y=x3\)的切線(xiàn)方程。解析：點(diǎn)\((1,0)\)不在曲線(xiàn)上（\(13=1≠0\)），設(shè)切點(diǎn)為\((x?,x?3)\)，導(dǎo)數(shù)\(f’(x)=3x2\)，切線(xiàn)斜率為\(3x?2\)。切線(xiàn)方程為：\(y-x?3=3x?2(x-x?)\)，代入點(diǎn)\((1,0)\)得：\[0-x?3=3x?2(1-x?)\]化簡(jiǎn)得：\(-x?3=3x?2-3x?3\)→\(2x?3-3x?2=0\)→\(x?2(2x?-3)=0\)。解得\(x?=0\)或\(x?=\frac{3}{2}\)。當(dāng)\(x?=0\)時(shí)，切線(xiàn)方程為\(y=0\)；當(dāng)\(x?=\frac{3}{2}\)時(shí)，切線(xiàn)斜率為\(3*(\frac{3}{2})2=\frac{27}{4}\)，切線(xiàn)方程為\(y=\frac{27}{4}(x-1)\)。例4（單調(diào)性與極值）：求函數(shù)\(f(x)=x3-3x2+2\)的單調(diào)區(qū)間與極值。解析：求導(dǎo)：\(f’(x)=3x2-6x=3x(x-2)\)；找臨界點(diǎn)：\(f’(x)=0\)→\(x=0\)或\(x=2\)；分析單調(diào)性：當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f’(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(f’(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(f’(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；求極值：\(x=0\)時(shí)，\(f(0)=2\)，極大值；\(x=2\)時(shí)，\(f(2)=-2\)，極小值。三、易錯(cuò)點(diǎn)警示1.切線(xiàn)方程忽略點(diǎn)的位置：過(guò)點(diǎn)\((a,b)\)求切線(xiàn)時(shí)，若點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，必須設(shè)切點(diǎn)，否則會(huì)漏解（如例3中\(zhòng)(x?=0\)的情況）。2.單調(diào)區(qū)間忽略定義域：如\(f(x)=lnx-x\)，導(dǎo)數(shù)\(f’(x)=\frac{1}{x}-1\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\((0,1)\)（而非\((-∞,1)\)）。3.極值點(diǎn)誤判：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（如\(f(x)=x3\)，\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0，但非極值點(diǎn)），需判斷左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化。四、針對(duì)性練習(xí)1.求曲線(xiàn)\(y=e^x\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線(xiàn)方程；2.求函數(shù)\(f(x)=x2-2lnx\)的單調(diào)區(qū)間與極值；3.證明：當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(x>ln(x+1)\)。專(zhuān)題三：微積分初步微積分是導(dǎo)數(shù)的“逆運(yùn)算”，主要考查定積分的幾何意義與牛頓-萊布尼茨公式，難度適中但易失分。一、核心考點(diǎn)梳理1.定積分的概念：定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示“曲邊梯形的面積代數(shù)和”（\(f(x)≥0\)時(shí)為面積，\(f(x)≤0\)時(shí)為面積的相反數(shù)）。2.定積分的幾何意義：\(\int_{a}^\sqrt{R2-x2}dx\)：表示半徑為\(R\)的圓在第一象限的面積（\(\frac{1}{4}πR2\)）；奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的積分：\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（如\(\int_{-1}^{1}x3dx=0\)）；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的積分：\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)（如\(\int_{-1}^{1}x2dx=2\int_{0}^{1}x2dx\)）。3.基本積分公式：\(\intx?dx=\frac{x??1}{n+1}+C\)（\(n≠-1\)）；\(\inte^xdx=e^x+C\)；\(\int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C\)；\(\intsinxdx=-cosx+C\)；\(\intcosxdx=sinx+C\)。4.微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函數(shù)，則：\[\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\]二、典型例題解析例5（定積分的幾何意義）：求\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x2}dx\)的值。解析：該積分表示單位圓\(x2+y2=1\)在第一象限的面積，即\(\frac{1}{4}\)圓的面積，故值為\(\frac{π}{4}\)。例6（牛頓-萊布尼茨公式）：求\(\int_{0}^{2}(x2+1)dx\)的值。解析：找原函數(shù)：\(\intx2dx=\frac{x3}{3}\)，\(\int1dx=x\)，故原函數(shù)為\(F(x)=\frac{x3}{3}+x\)；代入上下限：\(F(2)-F(0)=(\frac{8}{3}+2)-0=\frac{14}{3}\)。三、易錯(cuò)點(diǎn)警示1.定積分符號(hào)錯(cuò)誤：求曲線(xiàn)\(y=x2-1\)與x軸圍成的面積時(shí)，應(yīng)計(jì)算\(\int_{-1}^{1}|x2-1|dx\)（正確值為\(\frac{4}{3}\)），而非\(\int_{-1}^{1}(x2-1)dx\)（值為0）。2.積分公式記錯(cuò)：\(\int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C\)（漏掉絕對(duì)值會(huì)導(dǎo)致定義域錯(cuò)誤）；\(\inta^xdx=\frac{a^x}{lna}+C\)（易與\(e^x\)的積分混淆）。四、針對(duì)性練習(xí)1.求\(\int_{-1}^{1}x2dx\)的值；2.求曲線(xiàn)\(y=x\)與\(y=x2\)圍成的面積；3.求\(\int_{0}^{π}sinxdx\)的值。復(fù)習(xí)建議1.夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)公式、積分公式，確?！盎A(chǔ)題不丟分”。2.總結(jié)方法：針對(duì)切線(xiàn)方程、單調(diào)區(qū)間、不等式證明等考點(diǎn)，總結(jié)固定解題步驟（如切線(xiàn)方程的“設(shè)切點(diǎn)→列方程→求解”步驟）。3.重視錯(cuò)題：整理易錯(cuò)點(diǎn)（如定義域遺漏、切線(xiàn)漏解、定積分符號(hào)錯(cuò)誤），定期復(fù)習(xí)，避免重復(fù)犯錯(cuò)。4.綜合練習(xí)：選擇高考真題（如2021年全國(guó)卷Ⅱ第21題、2022年全國(guó)卷Ⅰ第19題）進(jìn)行模擬訓(xùn)練，提高解題速度與綜合能力。針對(duì)性練習(xí)參考答案專(zhuān)題一：1.\((-1,2)\)；2.\([1,+∞)\)（提示：設(shè)\(t=\sqrt{x-1}\)，則\(y=2(t2+1)-1+t=2t2+t+1\)，開(kāi)口向上，最小值在\(t=0\)時(shí)