“一元一次方程”單元教學(xué)分析1本單元的知識發(fā)展主線1.1課標(biāo)要求（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；（2）掌握等式的基本性質(zhì)；（3）能解一元一次方程。1.2知識結(jié)構(gòu)圖本單元的知識結(jié)構(gòu)如圖，根據(jù)實際問題，設(shè)未知數(shù)，列方程，得到一元一次方程，根據(jù)5個一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類和未知數(shù)系數(shù)化為1解方程，得到數(shù)學(xué)問題的解，檢驗得到實際問題的答案。1.3涉及的數(shù)學(xué)思想方法（舉例說明）方程思想從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程來使問題獲解。例題：某制藥廠制造一批藥品，如果用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t；如果用新工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量少100t。新舊工藝的廢水排量之比為2：5，兩種工藝的廢水排量各是多少？解：若設(shè)新工藝的廢水排量為5x噸，則舊工藝的廢水排量為2x噸。由題意得到的等量關(guān)系：舊工藝廢水排量－200噸=新工藝排水量+100噸可列方程為：移項，得5合并同類項，得3系數(shù)化為1，得x所以2x=200答：新工藝的廢水排量為200噸，則舊工藝的廢水排量為

500

噸。數(shù)形結(jié)合借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的。例題：小明和小剛每天早晨堅持跑步，小明每秒跑4米，小剛每秒跑6米.若小明站在百米起點處，小剛站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明追上小剛？解：設(shè)小明x秒后追上小剛。可得方程：4移項，得4合并同類項，得?2系數(shù)化為1,得x答：小明5秒后追上小剛。轉(zhuǎn)化思想將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，化歸為已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題。例題：解方程7?2解：移項，得?2合并同類項，得2系數(shù)化為1，得x1.4相關(guān)的十個核心概念（舉例說明）（1）運算能力指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力.培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。例題：解方程：3解：移項，得

3合并同類項，得5系數(shù)化為1，得x模型思想模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。例題：把一批圖書分給七年級某班的同學(xué)閱讀，若每人分3本，則剩余20本，若每人分4本，則缺25本，這個班有多少學(xué)生？解：設(shè)這個班有x個學(xué)生根據(jù)題意,得3移項,得3合并同類項,得?x系數(shù)化成1,得x=45答：這個班有45人。2數(shù)學(xué)的聯(lián)系與應(yīng)用2.1數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化一元一次方程溯源：一元一次方程最早見于約公元前1600年的古埃及時期。約公元前1650年，古埃及的萊因德紙草書中記載了第24題，題目為：“一個量，加上它的等于19，求這個量?！苯鉀Q了形為的一次方程，即單假設(shè)法解決問題。公元前1世紀(jì)左右，中國人在《九章算術(shù)》中首次加入了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)數(shù)的運算法則，解決了移項問題。在“盈不足”一章中提出了盈不足術(shù)。但該方法并沒有被用來解決一元一次方程。在11～13世紀(jì)時傳入阿拉伯地區(qū)，并被稱為“契丹算法”。9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在《對消與還原》中給出了解方程的簡單可行的基本方法，即“還原”和“對消”。但沒有采用字母符號。體現(xiàn)了明顯的方程的思想。12世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《麗拉沃蒂》一書中用假設(shè)法（設(shè)未知數(shù)）來解決一類一元一次方程。由于所假設(shè)的數(shù)可以是任意正數(shù)，婆什迦羅稱上述方法為“任意數(shù)算法”。13世紀(jì)，中國的盈不足術(shù)傳入歐洲，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中利用單假設(shè)和雙假設(shè)法來解一元一次方程。16世紀(jì)時，韋達(dá)創(chuàng)立符號代數(shù)之后，提出了方程的移項與同除命題，也創(chuàng)立了這一概念，被尊稱為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”。但是韋達(dá)沒有接受負(fù)數(shù)。16世紀(jì)時，明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606）在《算法統(tǒng)宗》一書中也用假設(shè)法來解一元一次方程。1859年，中國數(shù)學(xué)家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。一元一次方程的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵:一元一次方程的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵可這樣思考:以一元一次方程的概念為數(shù)學(xué)文化的顯性載體，在其顯性載體的背后承載著豐富的隱性內(nèi)涵，即方程作為人類思想的一次飛躍，是繼算術(shù)思想之后的又一重要的數(shù)學(xué)思想，折射出人類的智慧;方程在其歷史發(fā)展過程中呈現(xiàn)多元文化特征;方程體現(xiàn)了符號化的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美;方程所解決的問題是現(xiàn)實問題，在解決現(xiàn)實問題過程中，反映一個人的思維方式、態(tài)度、價值觀和數(shù)學(xué)觀;現(xiàn)實問題大部分又是源于社會，反映了數(shù)學(xué)的社會需求，反映了社會發(fā)展推動數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。2.2數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系（1）商品利潤問題例：某家電城將某品牌的超級VCD按進(jìn)價提高35%后，打出“九折酬賓，外送50元”的廣告，結(jié)果每臺仍然盈利208元。那么，每臺超級VCD的進(jìn)價是多少元?（2）利息問題例：某年1年期儲蓄年利率為1.98%，所得利息要交納20%的利息稅。某儲戶有一筆1年期定期儲蓄，到期納稅后得利息396元，問儲戶有多少本金？工程問題例：一項工作，甲獨立完成要3小時，乙獨立完成要5小時，若兩人合作完成這項工作的4/5，需要幾小時?2.3數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系1、一元一次方程在物理問題中的應(yīng)用：例：一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300米的隧道需要20s的時間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10s，求這列火車的長度。分析：設(shè)這列火車的長度是x米，根據(jù)速度v=路程s/時間t列得方程，300+x20=2、一元一次方程在化學(xué)問題中的應(yīng)用：計算計算用多少克的鋅跟足量稀硫酸反應(yīng)生成的氫氣，能跟12.25克的氯酸鉀完全分解后生成的氧氣恰好完全反應(yīng)生成水。找出已知量與未知量的關(guān)系：2KClO3~3O2~6H2設(shè)需用鋅的質(zhì)量為x，根據(jù)上述關(guān)系式KClO3~122.53×6512.25gxx=19.5g2.4高觀點下的中小學(xué)數(shù)學(xué)高觀點下對初中方程的概念的解讀等式的定義例如：1+2=3；a+b=b+a；s=ab；4+x=7.這種左邊和右邊使用的是等號進(jìn)行連接的式子稱之為等式。如果將兩個函數(shù)之間使用等號進(jìn)行連接，即f(x,y,…,z)和g(x,y,…,z)所代表的是兩個函數(shù)，那么f(x,y,…,z)=g(x,y,…,z)所表示的也是一個等式。按照等式的形式區(qū)別等式，可以將等式分為三種，分別是：恒等式、矛盾等式及條件等式。關(guān)于方程的定義數(shù)學(xué)課本上對方程的定義是“含有未知數(shù)的等式稱之為方程”，但這一定義并不能詳細(xì)區(qū)別條件等式、矛盾等式，張奠宙教授將方程定義為：通過未知數(shù)與已知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系來完成方程的建立，建立方程的目的是通過已有的變量來對相關(guān)位置變量進(jìn)行求解。3教學(xué)研究（以“求解一元一次方程-移項”課為例）3.2重點與難點分析教學(xué)重點熟練使用移項法解一元一次方程教學(xué)難點掌握移項變號的基本原則常見錯誤（1）移項時寫錯項的符號例：3錯解：3正解：3在系數(shù)化為1時顛倒被除數(shù)與除數(shù)的位置例：3錯解：x正解：x去括號時不注意符號的變化例：2(錯解：2正解：23.2課題引入設(shè)計3.2.1現(xiàn)實情境下的課題引入把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人3本，還剩20本；如果每人4本，則還缺25本，問：這個班有多少學(xué)生？分析：如果設(shè)這個班有學(xué)生x人，每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，這批書共有3x+20本；每人分4本，需要4x根據(jù)分析列出方程：3思考：方程兩邊都有含x的項和常數(shù)項，怎樣才能使它向x=a3.2.2數(shù)學(xué)問題情境下的課題引入1、雞兔同籠是我國古代著名趣題之一，大約在1500年前，我國古代一部較為普及的算書《孫子經(jīng)》就記載了這個有趣的問題。它還曾經(jīng)飄洋過海傳到日本等國，請看題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？分析：設(shè)雞有x只，一只雞有一個頭，兩只腳，則有x個雞頭，2x只雞腳，從而有35?x個兔頭，94?2x只兔腿，又一只兔子有一個頭，四條腿，所以兔子有35?根據(jù)分析列出方程：94?2思考：方程兩邊都有含x的項和常數(shù)項，怎樣才能使它向x=a2、列方程研究古詩文問題：隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀．七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。（注：在古代１斤是16兩，半斤就是８兩）教學(xué)時，首先師生理解古詩文：有幾個客人在間內(nèi)分銀子，每人分七兩，最后多四兩，每人分九兩，最后還少八兩，問有幾個人？有幾兩銀子？分析：設(shè)有x個人，每人分七兩，共分出7x兩，剩余四兩，則共有7x+4兩銀子；每人分九兩，需要9根據(jù)分析列出方程：7思考：方程兩邊都有含x的項和常數(shù)項，怎樣才能使它向x=a3.2.3復(fù)習(xí)引入等式的基本性質(zhì)：等式的兩邊同時加（或減）同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為0的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式。利用等式的基本性質(zhì)解方程5x3.3典型例題與變式練習(xí)3.3.1概念理解典型例題：下列計算，其中屬于移項變形的是（C）A.由5+3x?2B.由?10x?5=?2C.由7x+9=4D.由5x=9變式練習(xí)：判斷下面的移項是否正確？（1）10+x=10（2）3x=（3）3x=6?2（4）1?2x=?3（5）2x+8=12?6（快速檢驗學(xué)生是否理解移項的概念）3.3.2數(shù)學(xué)思想方法典型例題:3x+3=2x+7解：移項，得3合并同類項，得x變式練習(xí)：5?3解：移項，得?3合并同類項，得?11方程兩邊同除以-11，得x3.3.3數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)典型例題：把一批圖書分給七年級某班的同學(xué)閱讀，若每人分3本，則剩余20本，若每人分4本，則缺25本，這個班有多少學(xué)生？解：設(shè)這個班有x個學(xué)生根據(jù)題意,得3