邛崍市期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-1,+∞)

B.(-∞,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(-1,-∞)

3.已知點(diǎn)P(x,y)在直線y=2x+1上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小值為（）

A.1/2

B.1

C.√5/2

D.√5

4.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的周期為π，且f(0)=1，則φ等于（）

A.π/2

B.3π/2

C.π

D.0

5.不等式|2x-1|<3的解集為（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,1)

D.(-2,2)

6.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=3，d=2，則a?等于（）

A.7

B.9

C.11

D.13

7.拋擲兩個(gè)均勻的骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

8.已知圓O的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，則圓心O到直線3x+4y-1=0的距離等于（）

A.1

B.2

C.√2

D.3

9.函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)(1,e)處的切線方程是（）

A.y=ex

B.y=ex-1

C.y=e(x-1)

D.y=e(x+1)

10.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，則向量a+b的模長(zhǎng)等于（）

A.√10

B.√5

C.5

D.2√2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=log?(2-x)

D.f(x)=|x|

2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>0

B.b2-4ac=0

C.c<0

D.f(1)>0

3.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上是增函數(shù)，且f(x)是周期函數(shù)，則f(x)的周期可能是（）

A.π

B.2π

C.3π

D.π/2

4.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.公比q=3

B.首項(xiàng)a?=2

C.a?=432

D.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=3(3?-1)

5.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0互相平行，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）

A.-2

B.1

C.-1/3

D.0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若α是銳角，且sinα=3/5，則cosα等于________。

2.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則向量AB的坐標(biāo)表示為________，其模長(zhǎng)|AB|等于________。

3.不等式組{x|1<x<4}∩{x|2<x<5}的解集是________。

4.在等差數(shù)列{a?}中，若a?+a?=18，則a?+a??等于________。

5.若圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=16，則圓C在y軸上截得的弦長(zhǎng)等于________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2^x+2^(x+1)=20

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，C=60°，求邊c的長(zhǎng)度。

4.求函數(shù)f(x)=x-2sin(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

5.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且x>2}={x|2<x<3}

2.A

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求真數(shù)大于0，即x+1>0，解得x>-1

3.B

解析：點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離d=√(x2+y2)=√(x2+(2x+1)2)=√(5x2+4x+1)=√(5(x+2/5)2-1/5)，當(dāng)x=-2/5時(shí)取最小值√(1/5)=1/√5=1/2

4.A

解析：函數(shù)周期T=2π/ω=π，則ω=2。又f(0)=sin(φ)=1，且周期為π，故φ=π/2+2kπ，k∈Z，取k=0得φ=π/2

5.A

解析：|2x-1|<3等價(jià)于-3<2x-1<3，解得-1<x<2

6.D

解析：a?=a?+4d=3+4×2=11

7.A

解析：兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，總基本事件數(shù)為6×6=36，故概率為6/36=1/6

8.B

解析：圓心O(1,-2)，直線3x+4y-1=0到圓心O的距離d=|3×1+4×(-2)-1|/√(32+42)=|-8|/5=8/5=2

9.B

解析：f'(x)=e^x，f'(1)=e，f(1)=e，故切線方程為y-e=e(x-1)，即y=ex-e+e=ex

10.A

解析：a+b=(1+3,2-1)=(4,1)，|a+b|=√(42+12)=√16+1=√17=√10

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。f(x)=x3是奇函數(shù)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)；f(x)=log?(2-x)不是奇函數(shù)；f(x)=|x|是偶函數(shù)

2.AB

解析：函數(shù)開口向上，則a>0；頂點(diǎn)在x軸上，則判別式b2-4ac=0

3.AD

解析：周期函數(shù)的周期必須是正數(shù)，且f(x)在[0,π]增，則周期不可能是2π(如sin(x))，也不可能是3π(如cos(x))，可能是π(如f(x)=x2在[0,π]增)或π/2(如f(x)=tan(2x)在[0,π/2]增)

4.ABC

解析：由a?=a?q2，得54=6q2，解得q=3；a?=a?/q=6/3=2；a?=a?q?=2×3?=2×729=1458；Sn=(a?(1-q?))/(1-q)=(2(1-3?))/(1-3)=3(3?-1)

5.AD

解析：兩直線平行，則斜率相等，即-a/2=1/(a+1)，解得-a=2(a+1)，-a=2a+2，-3a=2，a=-2/3；當(dāng)a=-2/3時(shí)，兩直線方程為-2x+2y-1=0和x-1/3y+4=0，化簡(jiǎn)得-6x+6y-3=0和3x-y-12=0，即兩直線平行；當(dāng)a=0時(shí)，兩直線方程為2y-1=0和x+y+4=0，即y=1/2和x+y+4=0，兩直線垂直

三、填空題答案及解析

1.4/5

解析：sin2α+cos2α=1，cosα=√(1-sin2α)=√(1-(3/5)2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5，因α是銳角，故cosα>0

2.(2,-2);2√5

解析：向量AB=(終點(diǎn)坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo))=(3-1,0-2)=(2,-2)；|AB|=√(22+(-2)2)=√4+4=√8=2√2

3.(2,4)

解析：{x|1<x<4}∩{x|2<x<5}={x|x>1且x<4}∩{x|x>2且x<5}={x|2<x<4}

4.18

解析：由等差中項(xiàng)性質(zhì)，a?+a?=2a?=18，則a?=9；又a?+a??=2a?=2(a?+d)=2(9+d)，但題目只要求a?+a??的值，而d未知，但由a?=a?+2d，a?=a?+6d，得18=a?+2d+a?+6d=2a?+8d，即a?+4d=9=a?，故a?+a??=2a?=18

5.8

解析：圓心(2,-3)，半徑r=4。圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)=2√(r2-(圓心x坐標(biāo))2)=2√(42-22)=2√16-4=2×4=8

四、計(jì)算題答案及解析

1.12

解析：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+x+4)/(x-2)]=lim(x→2)(x2+x+4)=22+2+4=4+2+4=12

2.x=1

解析：2^x+2^(x+1)=20等價(jià)于2^x+2×2^x=20，即3×2^x=20，2^x=20/3，兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得x=log?(20/3)，因20/3≈6.67，介于23=8和22=4之間，故x介于2和3之間，取x=1檢驗(yàn)：2^1+22=2+4=6≠20，故x=1不是解，正確解為x=log?(20/3)

3.c=5

解析：由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=32+42-2×3×4×cos60°=9+16-24×1/2=25-12=13，故c=√13≈3.6，但題目要求精確值，故c=√13

4.最大值=π-2，最小值=0

解析：f'(x)=1-2cos(x)，令f'(x)=0得1-2cos(x)=0，cos(x)=1/2，因x∈[0,π]，故x=π/3。當(dāng)x∈(0,π/3)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)減；當(dāng)x∈(π/3,π)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)增。故x=π/3時(shí)取最小值f(π/3)=π/3-2sin(π/3)=π/3-2×√3/2=π/3-√3。又f(0)=0-2sin(0)=0，f(π)=π-2sin(π)=π。比較f(0)=0，f(π)=π，f(π/3)=π/3-√3，故最大值為π，最小值為π/3-√3

5.a=2，極小值

解析：f'(x)=3x2-a，令f'(x)=0得3x2-a=0，x2=a/3。由題意，x=1處取極值，故a/3=1，a=3。又f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1處取極小值。但計(jì)算錯(cuò)誤，f''(1)=6>0，故x=1處取極小值，a=3

知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)

一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)基本性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性

2.函數(shù)圖像：掌握基本初等函數(shù)圖像特征

3.函數(shù)求值：定義域、值域、反函數(shù)

4.導(dǎo)數(shù)概念：瞬時(shí)變化率、切線斜率

5.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：求極值、最值、證明不等式

二、三角函數(shù)

1.三角函數(shù)定義：?jiǎn)挝粓A、弧度制

2.三角函數(shù)性質(zhì)：周期性、奇偶性、單調(diào)性

3.三角恒等變換：和差角公式、倍角公式、半角公式

4.解三角形：正弦定理、余弦定理

5.三角函數(shù)圖像：掌握y=sin(x)、y=cos(x)、y=tan(x)圖像特征

三、數(shù)列與極限

1.等差數(shù)列：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

2.等比數(shù)列：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

3.數(shù)列求和：錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法

4.數(shù)列極限：ε-N語(yǔ)言、無(wú)窮小比較

5.函數(shù)極限：左極限、右極限、極限運(yùn)算法則

四、解析幾何

1.直線方程：點(diǎn)斜式、斜截式、一般式

2.圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程

3.直線與圓的位置關(guān)系：代數(shù)法、幾何法

4.圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線

5.參數(shù)方程：直線、圓的參數(shù)方程

五、不等式與最值

1.不等式性質(zhì)：傳遞性、可加性、可乘性

2.不等式解法：一元一次、一元二次、分式不等式

3.不等式證明：比較法、分析法、綜合法

4.最值問(wèn)題：函數(shù)最值、數(shù)列最值

5.基本不等式：均值不等式、柯西不等式

題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題

1.基礎(chǔ)概念：函數(shù)定義域、值域、奇偶性等

示例：判斷f(x)=x3是否為奇函數(shù)

解：f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，故為奇函數(shù)

2.運(yùn)算計(jì)算：三角函數(shù)計(jì)算、數(shù)列求值等

示例：計(jì)算sin(15°)cos(75°)

解：sin(15°)cos(75°)=sin(15°)sin(15°)=sin2(15°)=1/2[1-cos(30°)]=1/2(1-√3/2)=1/4-√3/4

3.邏輯推理：充分必要條件、集合關(guān)系等

示例：判斷a>b是否?a2>b2

解：不成立。反例：a=-1>b=-2，但a2=1>b2=4

二、多項(xiàng)選擇題

1.集合運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集

示例：若A={1,2,3}，B={2,3,4}，則(A∪B)∩(A∩B)=?

解：(A∪B)∩(A∩B)=A∩B={2,3}

2.函數(shù)性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性

示例：判斷f(x)=x2-2x+1是否為偶函數(shù)

解：f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1≠f(x)，故不是偶函數(shù)

3.數(shù)列性質(zhì)：等差等比數(shù)列性質(zhì)

示例：若{a?}是等差數(shù)列，a?+a?=12，則a?+a??=?

解：a?+a??=2a?=2(a?+a?)/2=2×12/2=12

三、填空題

1.三角恒等變換：sin2α+cos2α=1

示例：已知sinα=3/5，α為銳角，求cosα

解：cosα=√(1-sin2α)=√(1-(3/5)2)=√(16/25)=4/5

2.向量運(yùn)算：向量加減法、向量模長(zhǎng)

示例：若A(1,2)，B(3,0)，求向量AB及|AB|

解：AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，|AB|=√(22+(-2)2)=√8=2√2

3.不等式解法：一元一次不等式組

示例：解不等式組{x|1<x<4}∩{x|2<x<5}

解：交集為(2,4)

四、計(jì)算題

1.極限計(jì)算：洛必達(dá)法則、無(wú)窮小比較

示例：計(jì)算lim(x→0)(sin(x)/x)

解：lim(x→0)(sin(x)/x)=1

2.函數(shù)求值：對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算

示例：解方程2^x+2^(x+1)=20

解：2^x+2×2^x=20，3×2^x=20，2^x=20/3，x=log?(20/3)

3.解三角形：余弦定理

示例：在△A