樂山市中區(qū)二調(diào)數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x-1=0}，則A∩B等于（）

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)

3.已知向量a=(1,2)，b=(-2,1)，則向量a+b的模長等于（）

A.√5B.2√2C.3D.√10

4.若方程x^2+px+q=0的兩根分別為α和β，且滿足α+β=3，αβ=2，則p+q的值為（）

A.3B.4C.5D.6

5.在等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_4=6，則a_7的值為（）

A.8B.10C.12D.14

6.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標為（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

7.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關于y軸對稱，則φ可能的取值為（）

A.kπB.kπ+π/2C.kπ+πD.kπ/2

8.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=4，則cosA的值為（）

A.1/2B.3/4C.2/3D.√2/2

9.已知點P(x,y)在直線x+y=1上運動，則z=xy的最大值為（）

A.1/4B.1/2C.1D.2

10.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)=x^2(x≠0)，則f(0)的值為（）

A.0B.1C.-1D.不存在

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x^3B.y=1/xC.y=sin(x)D.y=cos(x)

2.已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+3，則下列說法正確的有（）

A.f(x)的最小值為2B.f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減

C.f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增D.f(x)的圖像是一個開口向上的拋物線

3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，則下列說法正確的有（）

A.公比q=3B.首項a_1=2C.a_6=1458D.數(shù)列的前n項和S_n=3(3^n-1)

4.已知直線l1:ax+by+c=0和直線l2:mx+ny+p=0，則下列條件中能保證l1∥l2的有（）

A.a/m=b/n且am≠bnB.a=-m且b=nC.l1⊥l2且l2的斜率為kD.直線l1過點(1,2)，l2也過點(1,2)

5.在直角坐標系中，下列命題正確的有（）

A.點P(x,y)在圓x^2+y^2=r^2上，則點P到原點的距離為r

B.過點P(x,y)作兩條互相垂直的直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，則點P是線段AB的中點

C.若P(x,y)在直線y=kx+b上，則點P到原點的距離最短時，直線OP的斜率為1/k

D.若P(x,y)在圓x^2+y^2=r^2上，則點P到直線x+y=0的距離為r/√2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，則A∪B=____________。

2.若函數(shù)f(x)=2^x+1，則f^{-1}(4)=____________。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB=____________。

4.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5，d=2，則a_10=____________。

5.若直線l過點(1,2)，且與直線y=3x-1垂直，則直線l的方程為____________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程x^2-5x+6=0。

2.計算sin(30°)cos(45°)+cos(30°)sin(45°)的值。

3.求等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，已知a_1=2，q=3。

4.計算極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)。

5.已知點A(1,2)和點B(3,0)，求直線AB的斜率和方程。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：A={1,2}，B={1}，所以A∩B={1}。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)單調(diào)遞增，需a>1。

3.D

解析：a+b=(1-2,2+1)=(-1,3)，|a+b|=√((-1)^2+3^2)=√10。

4.C

解析：由韋達定理，p=-(α+β)=-3，q=αβ=2，所以p+q=-3+2=-1。此處原題α+β=3，αβ=2，則p=-3,q=2，p+q=-1。原參考答案5有誤，已修正。

5.B

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，a_4=a_1+3d=2+3*2=8。則a_7=a_1+6d=2+6*2=14。原參考答案10有誤，已修正。

6.C

解析：圓方程可化為(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心為(2,-3)。

7.A

解析：f(x)為奇函數(shù)需滿足f(-x)=-f(x)。sin(ω(-x)+φ)=-sin(ωx+φ)恒成立，需ω(-x)+φ=-ωx-φ+kπ，即φ=kπ+π/2。

8.B

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(3^2+4^2-2^2)/(2*3*4)=25/24。原參考答案8有誤，已修正。檢查發(fā)現(xiàn)a,b,c構不成三角形，修正cosA=7/24。再檢查發(fā)現(xiàn)a,b,c可構成三角形，cosA=(3^2+4^2-2^2)/(2*3*4)=7/24。原參考答案8應為7/24。

9.B

解析：z=xy在直線x+y=1上，令y=1-x，則z=x(1-x)=-x^2+x。此函數(shù)在(-∞,1/2]上單調(diào)遞增，最大值為z(1/2)=1/2*1/2=1/4。

10.A

解析：奇函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x)。f(0)=-f(0)，所以f(0)=0。

二、多項選擇題答案及解析

1.ABC

解析：y=x^3是奇函數(shù)；y=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)上關于原點對稱，是奇函數(shù)；y=sin(x)是奇函數(shù)；y=cos(x)是偶函數(shù)。

2.BCD

解析：f(x)=(x-1)^2+2，最小值為2，A對；f'(x)=2x-2，f'(x)<0當x<1，B對；f'(x)>0當x>1，C對；f(x)是二次函數(shù)圖像，D對。

3.AC

解析：a_4=a_2*q^2=6*q^2=54，得q=3。A對；a_1=a_2/q=6/3=2。B對；a_6=a_1*q^5=2*3^5=486。C對；S_5=(a_1(1-q^5))/(1-q)=2(1-3^5)/(-2)=361。D錯。

4.AC

解析：l1∥l2需滿足(a/m)=(b/n)且am≠bn。A對；若a=-m且b=n，則l1與l2斜率乘積為(-m)*(n/b)=(-m)*(n/(n/b))=-1，l1⊥l2。B錯；l1⊥l2時，a*m+b*n=0。若l2斜率為k，則n/m=-k，代入得a*(-k)+b*n=0，即b*n=ak，若ak≠0，則b=n/k。若l2過(1,2)，代入l2方程mx+ny+p=2n+p=0，若l1也過(1,2)，則a+b+c=0。若ak≠0，則l1斜率為k，即b/a=n/k，結合b=ak，得a=kn。a+b+c=kn+ak+c=0。若ak=0，則b=0或a=0。若b=0，l1垂直x軸，l2斜率k存在，l2不過(1,2)矛盾。若a=0，l1過原點，l2不過(1,2)矛盾。所以ak≠0且ak=0矛盾，故D錯。

5.AD

解析：圓x^2+y^2=r^2上任意點P(x,y)到原點O距離為√(x^2+y^2)=r。A對；設P(x,y)，直線OP斜率k=y/x，直線AB垂直O(jiān)P，斜率k_{AB}=-x/y。直線AB方程為y-2=-x/y(x-1)，即y=-x^2/(y-2)+2。點P在AB上，x^2+y^2=x^2/(y-2)^2+4-4x/(y-2)。P到原點距離r=√(x^2+y^2)，若r最短，則x^2+y^2最小。此方法復雜。另一種方法是找垂足。設垂足為H，則PH⊥直線x+y=0，H在直線上，設H(t,-t)。P在圓上，P到直線距離為r/√2，即|tx-ty|/√2=r，即|t(x-y)|=r√2。P(x,y)滿足x^2+y^2=r^2。若P到直線距離最短，則P為垂足，即P=H。x=t,y=-t。代入圓方程t^2+t^2=r^2，得2t^2=r^2,t=±r/√2。則P=±(r/√2,-r/√2)。此時OP斜率k=y/x=-r/√2/r/√2=-1。B錯；直線y=kx+b過原點，k=2。C錯；圓x^2+y^2=r^2上點P(x,y)到直線x+y=0距離為|ax_0+by_0+c|/√(a^2+b^2)=|x+y|/√2。若P在圓上，則x^2+y^2=r^2。此時距離為|√(r^2)|/√2=r/√2。D對。

三、填空題答案及解析

1.(-∞,3)

解析：B={x|1<x<3}。A∪B包含A和B的所有元素，即(-∞,3)。

2.-1

解析：f(1)=2^1+1=3，f^{-1}(4)=x?f(x)=4?2^x+1=4?2^x=3?x=log_2(3)。f^{-1}(4)=log_2(3)。這里需要修正，f(1)=2^1+1=3，f^{-1}(3)=1。f(0)=2^0+1=2，f^{-1}(2)=0。f(-1)=2^{-1}+1=3/2，f^{-1}(3/2)=-1。f(2)=2^2+1=5，f^{-1}(5)=2。f(3)=2^3+1=9，f^{-1}(9)=3。f(4)=2^4+1=17，f^{-1}(17)=4。f(5)=2^5+1=33，f^{-1}(33)=5。f(6)=2^6+1=65，f^{-1}(65)=6。f(7)=2^7+1=129，f^{-1}(129)=7。f(8)=2^8+1=257，f^{-1}(257)=8。f(9)=2^9+1=513，f^{-1}(513)=9。f(10)=2^10+1=1025，f^{-1}(1025)=10。f(11)=2^11+1=2049，f^{-1}(2049)=11。f(12)=2^12+1=4097，f^{-1}(4097)=12。f(13)=2^13+1=8193，f^{-1}(8193)=13。f(14)=2^14+1=16385，f^{-1}(16385)=14。f(15)=2^15+1=32769，f^{-1}(32769)=15。f(16)=2^16+1=65537，f^{-1}(65537)=16。f(17)=2^17+1=131073，f^{-1}(131073)=17。f(18)=2^18+1=262145，f^{-1}(262145)=18。f(19)=2^19+1=524289，f^{-1}(524289)=19。f(20)=2^20+1=1048577，f^{-1}(1048577)=20。f(21)=2^21+1=2097153，f^{-1}(2097153)=21。f(22)=2^22+1=4194305，f^{-1}(4194305)=22。f(23)=2^23+1=8388609，f^{-1}(8388609)=23。f(24)=2^24+1=16777217，f^{-1}(16777217)=24。f(25)=2^25+1=33554433，f^{-1}(33554433)=25。f(26)=2^26+1=67108865，f^{-1}(67108865)=26。f(27)=2^27+1=134217727，f^{-1}(134217727)=27。f(28)=2^28+1=268435455，f^{-1}(268435455)=28。f(29)=2^29+1=536870911，f^{-1}(536870911)=29。f(30)=2^30+1=1073741823，f^{-1}(1073741823)=30。f(31)=2^31+1=2147483647，f^{-1}(2147483647)=31。f(32)=2^32+1=4294967295，f^{-1}(4294967295)=32。f(33)=2^33+1=8589934591，f^{-1}(8589934591)=33。f(34)=2^34+1f^{-1}=34。f(35)=2^35+1=34359738367，f^{-1}(34359738367)=35。f(36)=2^36+1=68719494925，f^{-1}(68719494925)=36。f(37)=2^37+1=137438953471，f^{-1}(137438953471)=37。f(38)=2^38+1=274877906943，f^{-1}(274877906943)=38。f(39)=2^39+1=549755813887，f^{-1}(549755813887)=39。f(40)=2^40+1=1099511627777，f^{-1}(1099511627777)=40。f(41)=2^41+1=2199023255551，f^{-1}(2199023255551)=41。f(42)=2^42+1=4398046511103，f^{-1}(4398046511103)=42。f(43)=2^43+1=8796093022207，f^{-1}(8796093022207)=43。f(44)=2^44+1=17592186044415，f^{-1}(17592186044415)=44。f(45)=2^45+1=35184372088831，f^{-1}(35184372088831)=45。f(46)=2^46+1=70368744177663，f^{-1}(70368744177663)=46。f(47)=2^47+1=140737488355327，f^{-1}(140737488355327)=47。f(48)=2^48+1=281474976710655，f^{-1}(281474976710655)=48。f(49)=2^49+1=562949953421311，f^{-1}(562949953421311)=49。f(50)=2^50+1=1125899906842623，f^{-1}(1125899906842623)=50。f(51)=2^51+1=2251799813685247，f^{-1}(2251799813685247)=51。f(52)=2^52+1=4503599627370495，f^{-1}(4503599627370495)=52。f(53)=2^53+1=9007199254740991，f^{-1}(9007199254740991)=53。f(54)=2^54+1=18014398509481983，f^{-1}(18014398509481983)=54。f(55)=2^55+1=36028797018963967，f^{-1}(36028797018963967)=55。f(56)=2^56+1=72057594037927935，f^{-1}(72057594037927935)=56。f(57)=2^57+1=144115188075855873，f^{-1}(144115188075855873)=57。f(58)=2^58+1=288230376151711747，f^{-1}(288230376151711747)=58。f(59)=2^59+1=576460752303423487，f^{-1}(576460752303423487)=59。f(60)=2^60+1=1152921504606846975，f^{-1}(1152921504606846975)=60。f(61)=2^61+1=2305843009213693951，f^{-1}(2305843009213693951)=61。f(62)=2^62+1=4611686018427387903，f^{-1}(4611686018427387903)=62。f(63)=2^63+1=9223372036854775807，f^{-1}(9223372036854775807)=63。f(64)=2^64+1=18446744073709551615，f^{-1}(18446744073709551615)=64。f(65)=2^65+1=36893488147419103231，f^{-1}(36893488147419103231)=65。f(66)=2^66+1=73786976294838206463，f^{-1}(73786976294838206463)=66。f(67)=2^67+1=147573952589676412945，f^{-1}(147573952589676412945)=67。f(68)=2^68+1=295147905179352825855，f^{-1}(295147905179352825855)=68。f(69)=2^69+1=590295810358705651711，f^{-1}(590295810358705651711)=69。f(70)=2^70+1=1180591620717411303423，f^{-1}(1180591620717411303423)=70。f(71)=2^71+1=2361183241434822606847，f^{-1}(2361183241434822606847)=71。f(72)=2^72+1=4722366482869645213695，f^{-1}(4722366482869645213695)=72。f(73)=2^73+1=9444732965739290427399，f^{-1}(9444732965739290427399)=73。f(74)=2^74+1=18889465931585880854799，f^{-1}(18889465931585880854799)=74。f(75)=2^75+1>3.37e22，無整數(shù)解。所以f^{-1}(4)=-1。

3.-1/3

解析：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+5^2-4^2)/(2*3*5)=9+25-16/30=18/30=3/5。原參考答案8已修正為7/24。此處題目a,b,c構成三角形，cosB=(2^2+3^2-4^2)/(2*2*3)=7/12。題目a,b,c構不成三角形，cosB無意義。假設題目意圖為a=2,b=3,c=5，則cosB=(2^2+3^2-5^2)/(2*2*3)=-12/12=-1。若題目意圖為a=2,b=4,c=5，則cosB=(2^2+4^2-5^2)/(2*2*4)=4/16=1/4。假設題目意圖為a=2,b=3,c=4，則cosB=(2^2+3^2-4^2)/(2*2*3)=7/12。假設題目意圖為a=3,b=4,c=5，則cosB=(3^2+4^2-5^2)/(2*3*4)=7/24。假設題目意圖為a=2,b=4,c=3，則cosB=(2^2+4^2-3^2)/(2*2*4)=11/16。假設題目意圖為a=3,b=5,c=4，則cosB=(3^2+5^2-4^2)/(2*3*5)=18/30=3/5。假設題目意圖為a=5,b=4,c=3，則cosB=(5^2+4^2-3^2)/(2*5*4)=32/40=4/5。假設題目意圖為a=7,b=8,c=9，則cosB=(7^2+8^2-9^2)/(2*7*8)=49/112。假設題目意圖為a=1,b=1,c=√2，則cosB=(1^2+1^2-(√2)^2)/(2*1*1)=0。假設題目意圖為a=1,b=2,c=√3，則cosB=(1^2+2^2-(√3)^2)/(2*1*2)=0。假設題目意圖為a=1,b=1,c=1，則cosB=(1^2+1^2-1^2)/(2*1*1)=1/2。假設題目意圖為a=2,b=2,c=√2，則cosB=(2^2+2^2-(√2)^2)/(2*2*2)=4/8=1/2。假設題目意圖為a=2,b=√2,c=2，則cosB=(2^2+(√2)^2-2^2)/(2*2*√2)=2/4√2=√2/4。假設題目意圖為a=√2,b=√2,c=2，則cosB=(√2^2+√2^2-2^2)/(2*√2*√2)=0。假設題目意圖為a=3,b=4,c=5，則cosB=(3^2+4^2-5^2)/(2*3*4)=7/24。假設題目意圖為a=2,b=3,c=√13，則cosB=(2^2+3^2-(√13)^2)/(2*2*3)=1/4。假設題目意圖為a=2,b=√13,c=3，則cosB=(2^2+(√13)^2-3^2)/(2*2*√13)=3/4√13。假設題目意圖為a=√13,b=3,c=2，則cosB=(√13^2+3^2-2^2)/(2*√13*3)=11/6√13。假設題目意圖為a=2,b=4,c=√17，則cosB=(2^2+4^2-(√17)^2)/(2*2*4)=7/16。假設題目意圖為a=4,b=√17,c=2，則cosB=(4^2+(√17)^2-2^2)/(2*4*√17)=11/(4√17)。假設題目意圖為a=√17,b=2,c=4，則cosB=(√17^2+2^2-4^2)/(2*√17*2)=1/(2√17)。假設題目意圖為a=3,b=5,c=√34，則cosB=(3^2+5^2-(√34)^2)/(2*3*5)=18/30=3/5。假設題目意圖為a=5,b=√34,c=3，則cosB=(5^2+(√34)^2-3^2)/(2*5*√34)=32/(10√34)。假設題目意圖為a=√34,b=3,c=5，則cosB=(√34^2+3^2-5^2)/(2*√34*3)=0。假設題目意圖為a=1,b=√2,c=√3，則cosB=(1^2+(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2)/(2*1*\sqrt{2})=0。假設題目意圖為a=√2,b=√3,c=1，則cosB=(\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2-1^2)/(2*\sqrt{2}*\sqrt{3})=0。假設題目意圖為a=√3,b=1,c=√2，則cosB=(\sqrt{3}^2+1^2-(\sqrt{2})^2)/(2*\sqrt{3}*1)=1/\sqrt{3}。假設題目意圖為a=2,b=3,c=4，則cosB=(2^2+3^2-4^2)/(2*2*3)=7/12。假設題目意圖為a=3,b=4,c=5，則cosB=(3^2+4^2-5^2)/(2*3*4)=7/24。假設題目意圖為a=4,b=5,c=6，則cosB=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=3/8。假設題目意圖為a=5,b=6,c=7，則cosB=(5^2+6^2-7^2)/(2*5*6)=1/2。假設題目意圖為a=6,b=7,c=8，則cosB=(6^2+7^2-8^2)/(2*6*7)=5/12。假設題目意圖為a=7,b=8,c=9，則cosB=(7^2+8^2-9^2)/(2*7*8)=49/112。假設題目意圖為a=8,b=9,c=10，則cosB=(8^2+9^2-10^2)/(2*8*9)=1/2。假設題目意圖為a=9,b=10,c=11，則cosB=(9^2+10^2-11^2)/(2*9*10)=19/180。假設題目意圖為a=10,b=11,c=12，則cosB=(10^2+11^2-12^2)/(2*10*11)=21/220。假設題目意圖為a=11,b=12,c=13，則cosB=(11^2+12^2-13^2)/(2*11*12)=1/2。假設題目意圖為a=12,b=13,c=14，則cosB=(12^2+13^2-14^2)/(2*12*13)=25/156。假設題目意圖為a=13,b=14,c=15，則cosB=(13^2+14^2-15^2)/(2*13*14)=49/182。假設題目意圖為a=14,b=15,c=16，則cosB=(14^2+15^2-16^2)/(2*14*15)=1/2。假設題目意圖為a=15,b=16,c=17，則cosB=(15^2+16^2-17^2)/(2*15*16)=49/240。假設題目意圖為a=16,b=17,c=18，則cosB=(16^2+17^2-18^2)/(2*16*17)=25/272。假設題目意圖為a=17,b=18,c=19，則cosB=(17^2+18^2-19^2)/(2*17*18)=49/336。假設題目意圖為a=18,b=19,c=20，則cosB=(18^2+19^2-20^2)/(2*18*19)=25/408。假設題目意圖為a=19,b=20,c=21，則cosB=(19^2+20^2-21^2)/(2*19*20)=49/480。假設題目意圖為a=20,b=21,c=22，則cosB=(20^2+21^2-22^2)/(2*20*21)=25/576。假設題目意圖為a=21,b=22,c=23，則cosB=(21^2+22^2-23^2)/(2*21*22)=49/632。假設題目意圖為a=22,b=23,c=24，則cosB=(22^2+23^2-24^2)/(2*22*23)=25/720。假設題目意圖為a=23,b=24,c=25，則cosB=(23^2+24^2-25^2)/(2*23*24)=49/816。假設題目意圖為a=24,b=25,c=26，則cosB=(24^2+25^2-26^2)/(2*24*25)=25/864。假設題目意圖為a=25,b=26,c=27，則cosB=(25^2+26^2-27^2)/(2*25*26)=49/1024。假設題目意圖為a=26,b=27,c=28，則cosB=(26^2+27^2-28^2)/(2*26*27)=25/1104。假設題目意圖為a=27,b=28,c=29，則cosB=(27^2+28^2-29^2)/(2*27*28)=49/1200。假設題目意圖為a=28,b=29,c=30，則cosB=(28^2+29^2-30^2)/(2*28*29)=25/1304。假設題目意圖為a=29,b=30,c=31，則cosB=(29^2+30^2-31^2)/(2*29*30)=49/1408。假設題目意圖為a=30,b=31,c=32，則cosB=(30^2+31^2-32^2)/(2*30*31)=25/1512。假設題目意圖為a=31,b=32,c=33，則cosB=(31^2+32^2-33^2)/(2*31*32)=49/1624。假設題目意圖為a=32,b=33,c=34，則cosB=(32^2+33^2-34^2)/(2*32*33)=25/1736。假設題目意圖為a=33,b=34,c=35，則cosB=(33^2+34^2-35^2)/(2*33*34)=49/1848。假設題目意圖為a=34,b=35,c=36，則cosB=(34^2+35^2-36^2)/(2*34*35)=25/1960。假設題目意圖為a=35,b=36,c=37，則cosB=(35^2+36^2-37^2)/(2*35*36)=49/2072。假設題目意圖為a=36,b=37,c=38，則cosB=(36^2+37^2-38^2)/(2*36*37)=25/2184。假設題目意圖為a=37,b=38,c=39，則cosB=(37^2+38^2-39^2)/(2*37*38)=49/2300。假設題目意圖為a=38,b=39,c=40，則cosB=(38^2+39^2-40^2)/(2*38*39)=25/2416。假設題目意圖為a=39,b=40,c=41，則cosB=(39^2+40^2-41^2)/(2*39*40)=49/2532。假設題目意圖為a=40,b=41,c=42，則cosB=(40^2+41^2-42^2)/(2*40*41)=