加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提出高

中課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反應(yīng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.高中數(shù)學(xué)新課

程的內(nèi)容增加“數(shù)學(xué)建?！卑鍓K，開展形式多樣的“數(shù)學(xué)建?！钡膶W(xué)習(xí)活

動(dòng).在新授課教學(xué)中加強(qiáng)建模意識(shí)，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課

程，在數(shù)學(xué)選修課中拓展數(shù)學(xué)的建模知識(shí).高中課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)

學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

所謂數(shù)學(xué)模型，是指對于現(xiàn)實(shí)世界的某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)

系，做了一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言

表述出來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過對實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型化，求解檢驗(yàn)使

問題獲得解決的方法稱之為數(shù)學(xué)模型方法.數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是將客觀事物數(shù)

學(xué)化的能力，是指從文字?jǐn)⑹龅默F(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)思考，對所禿

供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，提煉出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問

題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，綜合應(yīng)用所學(xué)的中學(xué)數(shù)學(xué)知

識(shí)、思想和方法加以解決的能力.

數(shù)學(xué)建模（）:把生活中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求

出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解答生活

中的實(shí)際問題，把學(xué)生知識(shí)的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模.以建立數(shù)學(xué)模

型為手段，以數(shù)學(xué)建模為載體，獲得適應(yīng)未來發(fā)展所需的基本思想方法和

必要應(yīng)用技能，以使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.

數(shù)學(xué)建模的一般思路和方法步驟：

高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)明確要求學(xué)生逐步學(xué)會(huì)把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模

型，用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，觀察實(shí)際問題的結(jié)構(gòu)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模

型，再把數(shù)學(xué)模型納入所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)處理.因此痛要把數(shù)學(xué)建模意

識(shí)貫穿教學(xué)的始終，這就必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，不斷提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能

力.

所謂教學(xué)建模，就是針對研究問題的特征結(jié)構(gòu)或數(shù)量關(guān)系，采用形式

化數(shù)學(xué)文字語言、符號(hào)語言、圖形語言，概括地、近似地表達(dá)出的一種數(shù)

學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)模式.在高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐中，我們可以嘗試各種課型

對數(shù)學(xué)建模進(jìn)行探索研究.

一、基于問題情境的數(shù)學(xué)新授課的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

在新授課中的公式、定理、概念、方程式等等都是一些具體的數(shù)學(xué)模

型，結(jié)合新授課讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)模型和引入建模思想.教材的每一

章課前問題背景引入都是很好的建模原型，新授課時(shí)可以簡單介紹其學(xué)

習(xí)背景，待章節(jié)完成后再予以解決.新授課學(xué)習(xí)新概念、介紹相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

的應(yīng)用時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以設(shè)計(jì)實(shí)際問題情境引出相關(guān)的新知識(shí)，

使學(xué)生在實(shí)際問題的載體中學(xué)習(xí)新知識(shí).如必修1基本函數(shù)問題的模型，

必修2立體幾何（土木建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)、航海測繪、容積、面積觀測）的

應(yīng)用，必修3概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用（生物模型、等待問題、天氣預(yù)報(bào)），必

修4（三角函數(shù)模型、平面向量應(yīng)用），必修5（解三角形應(yīng)用、數(shù)列的

應(yīng)用、不等式的應(yīng)用），新授課中的范例教學(xué)時(shí)把相關(guān)的數(shù)學(xué)問題放入相

應(yīng)的模型求解，完成問題數(shù)學(xué)化.新授課中變式引申也可以把純數(shù)學(xué)問題

設(shè)計(jì)為有實(shí)際背景的建模應(yīng)用問題.挖掘課本中的數(shù)學(xué)問題的生活模型，

深入分析，不斷滲透數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)中用，用中學(xué)，使學(xué)

生養(yǎng)成把數(shù)學(xué)作為工具應(yīng)用的意識(shí).

如《幾何概型》新授課教學(xué)的重點(diǎn)是要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，通過大量

的幾何概型的實(shí)例與數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生概括、理解幾何概型的兩個(gè)特征與

概率計(jì)算公式.使學(xué)生初步能夠把一些實(shí)際問即轉(zhuǎn)化為幾何概型，并能夠

合理利用統(tǒng)計(jì)、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法有效解決有關(guān)的概率問題.

例1甲乙兩人相約在上午8:00至9:00之間在某地見面，可是兩人都

只能在那里停留5分鐘，問兩人能夠見面的概率有多大？

模型分析因?yàn)閮扇苏l也沒有講好確切的時(shí)間，故樣本由兩個(gè)數(shù)(甲

乙兩人各自到達(dá)的時(shí)刻)組成，在1小時(shí)內(nèi)有無數(shù)個(gè)時(shí)刻，模型涉與幾何

圖形的面積，符合幾何概型的條件.

模型假設(shè)設(shè)甲x分鐘后到達(dá)，乙y分鐘后到達(dá)，則0WxW60,OWy

W60.

模型建立點(diǎn)(x,y)形成直角坐標(biāo)系中一個(gè)邊長為1的正方形，以

(0,0),(60,0),(0,60),(60,60)為頂點(diǎn)，由于兩人只能停

留5分鐘，所以在45時(shí)，兩人才能見面.從而可以繪制坐標(biāo)軸，數(shù)形結(jié)合,

得到結(jié)果.由于＜5是兩條平行直線5與5之間的帶狀區(qū)域，分布在等待時(shí)

間的直角坐標(biāo)系中一個(gè)邊長為60的正方形的內(nèi)部.

模型求解由于()的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，停留5分鐘

由圖中陰影部分所表示，記兩人能夠見面的事件A.

兩人見面的概率P（A）二帶狀區(qū)域面積正方形面積

（A）=602-52602=143144.

二、基于綜合的專題應(yīng)用建模

安排單元知識(shí)的應(yīng)用專題滲透建模思想，提高創(chuàng)新意識(shí)，根據(jù)新課

程標(biāo)準(zhǔn)要求和教材內(nèi)容主要有：構(gòu)建函數(shù)應(yīng)用（用料、造價(jià)、利潤、產(chǎn)量、

測量、效率最高）的模型專題.構(gòu)建不等式的應(yīng)用（最優(yōu)化策略）的模型

專題、構(gòu)建圓錐曲線的應(yīng)用（油罐車、通風(fēng)塔、拋物線拱橋、酒杯中數(shù)學(xué)）

的模型專題、構(gòu)建數(shù)列的應(yīng)用（增長率、銀行貸款、細(xì)胞分裂、人口增長、

生物體內(nèi)碳14的衰減）的模型專題、構(gòu)建概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用（有獎(jiǎng)銷售、

水庫的魚量）的概率模型專題、構(gòu)建立體幾何（土木建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)、航

海測繪、容積、面積觀測）應(yīng)用的模型專題.通過專題應(yīng)用建模復(fù)習(xí)，不

斷鞏固知識(shí)，完善知識(shí)體系，以數(shù)學(xué)學(xué)科基本思想和方法貫穿各專題，

按學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中的思維發(fā)展為線索，綜合知識(shí)系統(tǒng)和知識(shí)的交匯性，

真正實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí).如在函數(shù)專題復(fù)習(xí)的教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)下面的實(shí)際問

題：

例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售

人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且

獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨著利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金

總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%,現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：

0.25x,71,1002x,其中哪哪個(gè)模型符合公司的要求？

模型分析某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司的要求，就是依據(jù)該模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)

時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.

模型假設(shè)由于公司的利潤目標(biāo)為1000萬元，只需在x￡[10,100001

上，檢驗(yàn)三個(gè)模型的獎(jiǎng)金y是否符合公司的要求.

模型建立三個(gè)模型分別是一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，不妨在

同一坐標(biāo)系中先作出三個(gè)函數(shù)的圖像，得到初步的結(jié)論，再提供具體的

計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.

模型求解略.

模型檢驗(yàn)三個(gè)函數(shù)模型求解比對，確認(rèn)模型71符合公司的要求.

通過三個(gè)函數(shù)模型的分別求解，既解決了實(shí)際問題，又全面地復(fù)習(xí)

了三個(gè)不同函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的不同,

體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要

方面，應(yīng)注意讓學(xué)生認(rèn)識(shí)常見函數(shù)的特點(diǎn)，注意選擇貼近學(xué)生生活實(shí)際

的問題，引導(dǎo)學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型分析和解決它們，使函數(shù)的學(xué)

習(xí)與實(shí)際問題緊密聯(lián)系.

基于綜合的專題應(yīng)用建模，選擇專題應(yīng)用的相關(guān)背景建模教學(xué)，擴(kuò)充

學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的思維空間.以問題為背景進(jìn)行建模教學(xué)，深刻理

解概念，抓住問題的本質(zhì)，抓住知識(shí)的相互聯(lián)系，深刻領(lǐng)悟蘊(yùn)涵的思想與

方法，做到各個(gè)模塊橫縱聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

三、基于拓展的數(shù)學(xué)選修課建模

數(shù)學(xué)建模選修課可以增加和拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，打開數(shù)學(xué)思維定

向的局限性，拓寬學(xué)生的信息視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.給學(xué)生講授數(shù)

學(xué)建模的基本理論和基本方法，教師指導(dǎo)學(xué)生分析問題、設(shè)計(jì)問題，介紹

怎樣建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，提高學(xué)

生的觀察能力、創(chuàng)造能力和良好的思維品質(zhì).建模學(xué)習(xí)過程中補(bǔ)充相關(guān)的

課外知識(shí)，選修中讓學(xué)生見識(shí)有鮮明的生產(chǎn)、生活或?qū)I(yè)化等實(shí)際背景和

應(yīng)用價(jià)值的問題，如合理負(fù)擔(dān)出租車費(fèi)、家庭日用電費(fèi)的計(jì)算、住房房貸

問題、超市的客流問題、銀行儲(chǔ)蓄問題、椅子放穩(wěn)模型等都可以用數(shù)學(xué)基

礎(chǔ)知識(shí)建立初等數(shù)學(xué)模型加以解決，還有社會(huì)熱點(diǎn)和市場涉與的成本、利

潤、效益都是選修課建模問題豐富的題材.甚至可以引入社會(huì)學(xué)和政治學(xué)

一些活動(dòng)（如西方多黨投票聯(lián)合執(zhí)政模型），也可以用數(shù)學(xué)模型來描述.

高中選修課建模的內(nèi)容可以選擇以下問題作為背景資料：1比絲諼侍

援⑷頌寮醴誓P停借助函數(shù)建模）；2輩飭課侍狹力婕叭角建模模型）；3

苯逃儲(chǔ)蓄問題（涉與數(shù)列建模），營養(yǎng)配比問題（不等式建模），飲料罐

的合理尺寸（立體幾何建模），蒲豐（）投針問題（概率建模）.以上問

題大都有較為寬泛的思想背景，具有擴(kuò)展性和開放性，便于不同層次的

學(xué)生選題，使他們的主體意識(shí)、合作意識(shí)不斷發(fā)展參與到選修建模的各個(gè)

環(huán)節(jié)，讓學(xué)生都感到參加選修課建模是很有意義和有趣的一種活動(dòng).

例3某公園的人工湖有四個(gè)小亭（如圖中的四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D）,它

們恰好是一個(gè)邊長為2的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，為方便群眾的休閑生活，

請你為公園管理處設(shè)計(jì)修建游湖棧道，看看誰設(shè)計(jì)的棧道最短.

學(xué)生設(shè)計(jì)1：在線段上取一點(diǎn)P,并將它與四個(gè)頂點(diǎn)相連而成的線段

作為棧道線路.

學(xué)生設(shè)計(jì)2:在湖中選擇一點(diǎn)P,并將它與四個(gè)頂點(diǎn)相連而成的線段

作為棧道線路.

學(xué)生設(shè)計(jì)3:修建一段與，平行且等距離的棧道，且M,N分別與，等

距離，連接，，，.(三名學(xué)生設(shè)計(jì)圖中實(shí)線部分即為棧道)

未設(shè)計(jì)好的按學(xué)生3設(shè)計(jì)圖實(shí)施，則長為多少時(shí)，棧道的總長度最

短？并比較三名學(xué)生哪一個(gè)的棧道最短.

解若按學(xué)生1,如圖，延長線段至E,使得，連接交與P,則點(diǎn)P為

線段的中點(diǎn)，此時(shí)棧道最短.

證明略.

若按學(xué)生2,連接，，則交點(diǎn)P即為所求.

證明略.

解設(shè)計(jì)3:由條件知垂直平分，設(shè)的延長線交于點(diǎn)0.

由正方形的對稱性可知.

設(shè)NO,則0=10,0.

故棧道的總長度440+2-20=4-200+2CW0W兀4,

y'2。82260-(4-20)(0)20=2(20-1)20.

令y'=0,得。=12,??,00,y是。的增函數(shù).

.??當(dāng)。二n6時(shí)，2+23.

這時(shí)的長為33,的長為2-233.

通過比較：學(xué)生3設(shè)計(jì)的棧道最短.

通過學(xué)生在選修課的設(shè)計(jì)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，又

很好地復(fù)習(xí)了幾何圖形的對稱性與函數(shù)建模、導(dǎo)數(shù)、三角、不等式等相關(guān)

內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法.通過數(shù)學(xué)選修課的建?；顒?dòng)加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和熟練掌握建

模方法，讓學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)