試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁崇明中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試卷一?填空題1．已知集合，，則.2．已知函數(shù)，則.3．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則．4．在的展開式中，項的系數(shù)是.（結(jié)果用數(shù)字作答）5．設(shè)，則.6．某校高一?高二?高三學(xué)生共1260人，為了解學(xué)生新學(xué)期適應(yīng)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，若分別從三個年級中抽取的人數(shù)之比為，則該校高三的學(xué)生人數(shù)為.7．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.8．已知向量，滿足，，，則等于．9．?dāng)?shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是10．若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．設(shè){an}是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列{an}的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是．(寫出所有符合要求的組號)①S1與S2；②a2與S3；③a1與an；④q與an.其中n為大于1的整數(shù)，Sn為{an}的前n項和．11．如圖，是款電動自行車用“遮陽神器”的結(jié)構(gòu)示意圖，它由三叉形的支架和覆蓋在支架上的遮陽布組成.已知，，且；為保障行車安全，要求遮陽布的最寬處；若希望遮陽效果最好（即的面積最大），則的大小約為.（結(jié)果四舍五入精確到）12．設(shè)函數(shù)的定義域為，若對曲線上任意一點，均存在曲線上的點，使得且，則稱函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.若存在旋轉(zhuǎn)函數(shù)，使，則正實數(shù)的最大值是.二?選擇題13．若實數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．14．某學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組利用信息技術(shù)手段探究兩個數(shù)值變量之間的線性關(guān)系，隨機抽取8個樣本點，由于操作過程的疏忽，在用最小二乘法求經(jīng)驗回歸方程時只輸入了前6組數(shù)據(jù)，得到的線性回歸方程為，其樣本中心為.后來檢查發(fā)現(xiàn)后，輸入8組數(shù)據(jù)得到的新的線性回歸方程為，新的樣本中心為，已知，則以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）①新的樣本中心仍為；②新的樣本中心為；③兩個數(shù)值變量具有正相關(guān)關(guān)系；④.A．0 B．1 C．2 D．315．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區(qū)間（

）A． B． C． D．16．已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．三?解答題17．在直四棱柱中，，，，．(1)求證：平面；(2)求點D到平面的距離．18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的零點；(2)若不等式在時恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.19．某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù)：不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計男300女100300合計450600(1)完成列聯(lián)表，根據(jù)顯著性水平的獨立性檢驗，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)？(2)若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測試合格的概率為，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測試合格的概率為，用上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率，現(xiàn)從該地區(qū)居民中隨機抽取1人參加體能測試，求其體能測試合格的概率；(3)在（2）的條件下，從該地區(qū)居民中隨機抽取3人參加體能測試，求3人中體能測試合格的人數(shù)X的分布、數(shù)學(xué)期望及方差．附：，．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:的右頂點為，點、分別是軸負(fù)半軸、軸正半軸上的動點.(1)若是的左焦點，且，求的值；(2)設(shè)，上存在軸上方一點.若，求的坐標(biāo)；(3)設(shè)，過的直線與交于、兩點(、兩點不重合)，與軸交于且的縱坐標(biāo)，記與到直線的距離分別為、.若存在直線，滿足成立，求的取值范圍.21．設(shè)函數(shù)的定義域為D，對于區(qū)間，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)滿足以下①②兩個性質(zhì)中的任意一個時，則稱區(qū)間是的一個“美好區(qū)間”．性質(zhì)①：對于任意，都有；性質(zhì)②：對于任意，都有．(1)已知，．分別判斷區(qū)間和區(qū)間是否為函數(shù)的“美好區(qū)間”，并說明理由；(2)已知且，若區(qū)間是函數(shù)的一個“美好區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)的定義域為，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對于任意，都有．求證：函數(shù)存在“美好區(qū)間”，且存在，使得不屬于函數(shù)的任意一個“美好區(qū)間”．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】利用交集運算直接求解即可.【詳解】集合，，所以.故答案為：2．3【分析】利用分段函數(shù)解析式，可得答案.【詳解】由，則.故答案為：.3．【分析】由已知直接利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【詳解】因為，所以．故答案為：．4．60【分析】利用二項展開式的通項公式計算即得.【詳解】由的展開式的通項為，依題取，解得，則項的系數(shù)是.故答案為：60.5．【分析】根據(jù)三角函數(shù)值求，以及，再求余弦值.【詳解】，則，，所以.故答案為：6．【分析】三個年級的學(xué)生人數(shù)比也是，根據(jù)比例關(guān)系，即可求解.【詳解】三個年級中抽取的人數(shù)比和三個年級學(xué)生的人數(shù)比一樣，所以高三的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：7．【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.8．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律和坐標(biāo)運算求解.【詳解】因為向量，滿足，，，所以，解得，所以，故答案為:.9．【詳解】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：.點睛：超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．10．①④【詳解】試題分析：由得，所以①唯一確定數(shù)列，由得，方程的解不定，所以②不能唯一確定數(shù)列，由得方程的解不定，所以③不能唯一確定數(shù)列，由得，所以④唯一確定數(shù)列.11．【分析】設(shè)，則，則利用面積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可求面積最大時對應(yīng)的角.【詳解】因為，，故，故，設(shè)，則，又，設(shè)，則，，記，，因為，故，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，此時，故，用度表示后約等于，故答案為：.12．【分析】分區(qū)域討論順、逆時針構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)后軸右側(cè)點縱坐標(biāo)若，則必有，由此探求的范圍，再構(gòu)造取最值時的函數(shù)即可.【詳解】由是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，設(shè)曲線上任意一點，對應(yīng)復(fù)數(shù)，（1）當(dāng)時，則由定義可知，點繞原點僅順時針旋轉(zhuǎn)即可得到軸右側(cè)的點，則對應(yīng)復(fù)數(shù)：，即點，由可得，則，則有，滿足題意，；

（2）當(dāng)時，則由定義可知，點繞原點僅逆時針旋轉(zhuǎn)才能得到軸右側(cè)的點，則對應(yīng)復(fù)數(shù)：，即點，由可得，則有，也滿足題意，；

（3）當(dāng)時，點繞原點順或逆時針旋轉(zhuǎn)都能得到軸右側(cè)的點，點或，由且可知，若；若；此時若，滿足題意；此時若，即，；此時若，即，；即若，，.不論選擇順時針還是逆時針旋轉(zhuǎn)，或者順、逆混合旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)函數(shù)定義，對任意，旋轉(zhuǎn)后均存在曲線上的點，故此時取值都應(yīng)取遍內(nèi)所有實數(shù)，

因為，由，則.①當(dāng)時，，由題意，由時，滿足；②當(dāng)時，，要使，則必須有恒成立，由，，則要使恒成立，故，則.下面構(gòu)造當(dāng)時的函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，解得，由的構(gòu)造可知，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，且，故；且當(dāng)，，又定義函數(shù)上任一點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則當(dāng)時，對應(yīng)的軌跡可看作單調(diào)遞增函數(shù)的圖象且，當(dāng)時，對應(yīng)的，，即且.且當(dāng)時，即時，，不妨定義，故.由此可知構(gòu)造函數(shù)滿足.綜上所述，的最大值為.

故答案為：11.13．A【分析】利用作差法可判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】因為，則，故，A對B錯；，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，CD都錯.故選：A.14．C【分析】由平均數(shù)的求法，根據(jù)樣本中心的定義，利用回歸直線方程的斜率，結(jié)合樣本估計總體及最小乘法原理，逐項檢驗，可得答案.【詳解】對于①②，由題意可得，，則新的樣本中為，故①錯誤，②正確；對于③，將代入回歸直線，可得，解得，故③正確；對于④，根據(jù)樣本估計總體及最小乘法原理，利用組數(shù)據(jù)所得經(jīng)驗回歸程是與樣本點“距離”平方和最小的直線方程，故④錯誤.故選：C.15．C【分析】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進(jìn)行分類討論即可.【詳解】當(dāng)時，因為此時的最小值為，所以，即.若，此時能取到最小值，即，代入可得，滿足要求；若取不到最小值，則需滿足，即，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一符合題意；所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區(qū)間，故選：C16．A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當(dāng)時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，證出，，利用線面垂直的判定定理即可證出；（2）利用等體積法，由圖可知：，根據(jù)三棱錐體積公式即可求解.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，該幾何體為直四棱柱，平面ABCD，，，，，∴四邊形ABCD為正方形，，，，，，，平面平面（2）（2）等體積法由圖可得：由（1）中證明知：平面，，又18．(1)；(2).【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再解含指數(shù)的一元二次方程，結(jié)合指數(shù)的性質(zhì)即可得解.（2）由題設(shè)有在上恒成立，判斷的單調(diào)性并確定其值域，即可求k的范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，令，則，∴，可得或（舍），∴，故的零點為.（2）由，則，即在上恒成立，∵在上均遞減，∴在上遞減，則，∴k的取值范圍為.19．(1)表格見解析，根據(jù)顯著性水平的獨立性檢驗?zāi)苷J(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).(2)(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為，方差為【分析】（1）根據(jù)題意補全列聯(lián)表，再由卡方公式以及獨立性性檢驗的思想判定結(jié)果即可.（2）根據(jù)全概率公式結(jié)合表格數(shù)據(jù)可求出這600位居民參加體能測試合格的頻率，然后由樣本估計總體的思想可得當(dāng)?shù)厝w居民體能測試合格的概率.（3）由題意隨機變量，且由（2），故根據(jù)二項分布概率公式即可求得X的每一個取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得隨機變量的分布列；根據(jù)二項分布的期望值和方差公式得期望值和方差.【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)補全列聯(lián)表如下：不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計男50250300女100200300合計150450600零假設(shè)體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別無關(guān)，由表格數(shù)據(jù)得，因為，所以推斷不成立，依據(jù)顯著性水平的獨立性檢驗?zāi)苷J(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（2）由表格數(shù)據(jù)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率為，記事件“從該地區(qū)居民中隨機抽取1人參加體能測試，其體能測試合格”，則由題.（3）由題意，當(dāng)?shù)鼐用袢丝诨鶖?shù)大，可近似看做二項分布，即，所以；；；；所以X的分布列為：X0123P則；.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)計算求參；（2）設(shè)點的坐標(biāo)結(jié)合兩角和正切，應(yīng)用點在橢圓上計算；（3）設(shè)直線方程再聯(lián)立得出韋達(dá)定理，再結(jié)合點到直線距離分類討論計算求出參數(shù)范圍.【詳解】（1）因為與的左焦點重合，故，因此.又因為，而，所以，解得：(負(fù)舍).（2）因為，又因為，而，代入解得.若在第一象限，則，故在第二象限.設(shè)，而，整理可得.代入橢圓方程，可得：.所以解得(增根舍去)，所以.因此.（3）由題意可知：直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為()，且、.聯(lián)立，可得，.根據(jù)韋達(dá)定理，，.

因為、兩點均在直線的左側(cè)，故.又因為，，因此，代入化簡可得方程.

設(shè)，又因為，故.①若，此時直線與存在兩個交點.

若存在，使得，而，故，可得，故，因此.

②若，而此時在的外部，，故.若存在，使得，而，故，可得，故.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】方法點睛：設(shè)直線方程再聯(lián)立方程組，得出故，最后分類討論分和兩種情況計算求參.21．(1)區(qū)間是函數(shù)的“美好區(qū)間”，區(qū)間不是函數(shù)的“美好區(qū)間”，理由見解析；(2)(3)證明見解析【分析】（1）分別求出函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上的值域，結(jié)合“美好區(qū)間”的定義判斷即可；（2）記，，根據(jù)“美好區(qū)間”的定義可得：或，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，分，，以及四種情況討論在區(qū)間上的值域，利用集合間的關(guān)系，即可得到實數(shù)的取值范圍；（3）對于任意區(qū)間，記，根據(jù)單調(diào)性得到，若為的“美好區(qū)間”必滿足性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為或，得出函數(shù)一定存在“美好區(qū)間”，記，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理，得到存在，使得，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）區(qū)間和區(qū)間都是函數(shù)的“美好區(qū)間”，理由如下：由，當(dāng)時，，所以區(qū)間是函數(shù)的“美好區(qū)間”當(dāng)時，，不是的子集，所以區(qū)間不是函數(shù)的“美好區(qū)間”（2）記，若區(qū)間是函數(shù)的一個“美好區(qū)間”，則或由，可得，所以當(dāng)或時，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為：，；當(dāng)時，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為：，且，，，得到在的大致圖像如下：(i)當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，則，即對于任意，都有，滿足性質(zhì)②,故當(dāng)時，區(qū)間是函