教學(xué)設(shè)計(jì)課題勾股定理的逆定理的應(yīng)用授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解勾股定理與其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系．2．靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)割補(bǔ)思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖通過(guò)實(shí)際情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.【情境導(dǎo)入】如圖，已知小島B與港口A相距5nmile，一艘船C位于港口A正東方向3nmile處，與小島B相距4nmile，根據(jù)這些條件能知道小島B在船C的哪個(gè)方向嗎？【教學(xué)建議】指定學(xué)生回答，提醒學(xué)生E，n分別表示東、北兩個(gè)方向.活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生利用勾股定理及其逆定理解決問(wèn)題的能力.探究點(diǎn)1勾股定理的逆定理的實(shí)際應(yīng)用例1(教材P33例2)如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？分析：在圖中可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了．解：根據(jù)題意，PQ＝16×1.5＝24(nmile)，PR＝12×1.5＝18(nmile)，QR＝30nmile.因?yàn)?42＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°.由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行．【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P33練習(xí)第3題．探究點(diǎn)2勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用勾股定理與其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系是什么？例2如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.求∠ADB的度數(shù)；求CD的長(zhǎng).解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，【教學(xué)建議】告訴學(xué)生可先根據(jù)已知條件計(jì)算出各邊長(zhǎng)，再利用勾股定理及其逆定理判斷三角形是否為直角三角形，最后解答問(wèn)題.【教學(xué)建議】（1）指定學(xué)生代表回答，教師總結(jié)勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用教學(xué)步驟師生活動(dòng)∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.(2)∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°.∴在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖是一個(gè)零件的示意圖，量得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm.若∠ABC＝90°，求△ACD的面積.解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(42＋32)＝5(cm).∵AC2＋CD2＝52＋122＝132＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2).（2）提醒學(xué)生：已知直角三角形時(shí)，要聯(lián)想到應(yīng)用勾股定理求長(zhǎng)度；已知三角形的三邊長(zhǎng)時(shí)，要聯(lián)想到應(yīng)用勾股定理的逆定理找直角．注意直角的鄰補(bǔ)角也是直角.活動(dòng)三：重點(diǎn)突破，提升探究設(shè)計(jì)意圖鞏固學(xué)生運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決問(wèn)題的能力.例3如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠BAD的度數(shù).解：如圖，連接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝45°＋90°＝135°.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，正方形ABCD是由9個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的，點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)(每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都是格點(diǎn))上，連接AE，AF，求∠EAF的度數(shù).解：如圖，連接EF，則AE＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AF＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，∴AE2＋EF2＝(eq\r(5))2＋(eq\r(5))2＝10＝(eq\r(10))2＝AF2.∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°.又AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°.【教學(xué)建議】提示學(xué)生：(1)已知直角時(shí)，要構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形并利用勾股定理求邊長(zhǎng)；(2)僅知道三角形的邊長(zhǎng)求角度時(shí)，所求角度一般比較特殊，要聯(lián)想到直角三角形、等腰三角形等；(3)網(wǎng)格中求角度，一般先構(gòu)造出相應(yīng)的三角形，再利用勾股定理求各邊長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等邊對(duì)等角”.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：不用量角器，怎么檢驗(yàn)一個(gè)直角是否標(biāo)準(zhǔn)？勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P34習(xí)題17.2第3，4，5，6題.2．《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．教學(xué)步驟師生活動(dòng)板書(shū)設(shè)計(jì)17.2勾股定理的逆定理第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用1.勾股定理的逆定理的應(yīng)用.2.勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.教學(xué)反思本節(jié)課的重點(diǎn)在于利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題．難點(diǎn)在于讓學(xué)生靈活地綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理，因此要讓學(xué)生清楚勾股定理及其逆定理的區(qū)別和聯(lián)系，培養(yǎng)出“知直角，求邊長(zhǎng)；知三邊，找直角”的意識(shí).例1如圖，在正方形網(wǎng)格中，從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為(C)A．1B．2C．3D．4解析：如圖，連接AC，AB，AD，BC，BD，CD，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，AD2＝12＋32＝10，BC2＝52＝25，BD2＝12＋22＝5，CD2＝12＋32＝10，∴AB2＋AC2＝BC2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋AB2＝AD2，∴△ABC，△ADC，△ABD是直角三角形，即共3個(gè)直角三角形．故選C.例2如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝eq\f(1,4)AB.(1)請(qǐng)你判斷EF與DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若此正方形的面積為16，求DF的長(zhǎng)．分析：平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交，EF和DE都過(guò)點(diǎn)E，說(shuō)明它們相交，如只考慮相交還不夠，需考慮相交的特殊情況——垂直．從圖中觀察EF與DE是垂直的，故設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理，用含a的代數(shù)式分別表示DE2，EF2，DF2，再利用勾股定理的逆定理判斷△DFE是否為直角三角形，再判斷EF⊥DE是否成立．解：(1)EF與DE垂直，即EF⊥DE.理由：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則AD＝CD＝a，AF＝eq\f(3,4)a，BF＝eq\f(1,4)a，BE＝CE＝eq\f(1,2)a，∠A＝∠B＝∠C＝90°.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2＋(eq\f(1,2)a)2＝a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,4)a2.在Rt△EFB中，EF2＝BF2＋BE2＝(eq\f(1,4)a)2＋(eq\f(1,2)a)2＝eq\f(1,16)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(5,16)a2.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2＋(eq\f(3,4)a)2＝a2＋eq\f(9,16)a2＝eq\f(25,16)a2.∵DE2＋EF2＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(5,16)a2＝eq\f(25,16)a2＝DF2，∴△DEF為直角三角形，且∠DEF＝90°.∴EF⊥DE.(2)∵正方形的面積為16，∴a2＝16.∵DF2＝eq\f(25,16)a2＝eq\f(25,16)×16＝25，∴DF＝5.例3如圖，Mn以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海，某日上午9時(shí)50分我國(guó)緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C以每小時(shí)13nmile的速度沿CD方向偷偷向我國(guó)領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知正在Mn線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13nmile，緝私艇B測(cè)得A與其距離為5nmile，C與其距離為12nmile，若走私艇C的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？解：∵AB2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AC2，∴△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°.又BD⊥AC，可設(shè)CD＝xnmile，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋BD2＝122，①,（13