一元二次不等式典型例題深度解析：從基礎(chǔ)到進(jìn)階的思維路徑一、引言一元二次不等式是代數(shù)中的核心內(nèi)容之一，不僅是解決函數(shù)定義域、值域、最值問題的工具，也是后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)。其解題邏輯貫穿“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的聯(lián)系，本質(zhì)是通過二次函數(shù)的圖像特征，將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)根的位置的判斷。本文將通過基礎(chǔ)型、進(jìn)階型、綜合型三類典型例題，系統(tǒng)講解一元二次不等式的解題思路與技巧，幫助讀者建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S框架。二、理論基礎(chǔ)：“三個(gè)二次”的核心聯(lián)系在解一元二次不等式前，必須明確以下結(jié)論（設(shè)二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，\(a\neq0\)，方程\(ax^2+bx+c=0\)的判別式\(\Delta=b^2-4ac\)）：1.開口方向：\(a>0\)時(shí)，拋物線開口向上；\(a<0\)時(shí)，開口向下。2.根的情況：\(\Delta>0\)：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根\(x_1<x_2\)；\(\Delta=0\)：方程有一個(gè)實(shí)根（重根）\(x_0=-\frac{2a}\)；\(\Delta<0\)：方程無實(shí)根。3.不等式解集：\(a>0\)時(shí)，\(ax^2+bx+c>0\)的解集為\(x<x_1\)或\(x>x_2\)；\(ax^2+bx+c<0\)的解集為\(x_1<x<x_2\)。\(a<0\)時(shí)，解集方向與上述相反（開口向下，“大于取中間，小于取兩邊”）。\(\Delta=0\)時(shí)，\(ax^2+bx+c\geq0\)的解集為全體實(shí)數(shù)（\(a>0\)）或單元素集\(\{x_0\}\)（\(a<0\)時(shí)\(\leq0\)）；\(\Delta<0\)時(shí)，\(ax^2+bx+c>0\)的解集為全體實(shí)數(shù)（\(a>0\)）或空集（\(a<0\)時(shí)\(>0\)）。三、基礎(chǔ)型例題：不含參數(shù)的一元二次不等式例1解不等式\(x^2-3x+2>0\)。分析：先求方程根，再根據(jù)開口方向?qū)懡饧?。解答?.解方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，根為\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。2.二次項(xiàng)系數(shù)\(a=1>0\)，開口向上。3.因此，\(x^2-3x+2>0\)的解集為\(x<1\)或\(x>2\)。例2解不等式\(x^2-2x+1\leq0\)。分析：配方后觀察符號(hào)。解答：1.配方得\((x-1)^2\leq0\)。2.平方數(shù)非負(fù)，故僅當(dāng)\(x-1=0\)時(shí)成立。3.解集為\(\{x\midx=1\}\)（單元素集）。例3解不等式\(x^2+2x+3<0\)。分析：計(jì)算判別式判斷根的情況。解答：1.判別式\(\Delta=2^2-4\times1\times3=-8<0\)。2.二次項(xiàng)系數(shù)\(a=1>0\)，開口向上，拋物線始終在x軸上方。3.解集為\(\varnothing\)（空集）?？偨Y(jié)：不含參數(shù)的不等式解題步驟為“求根→判開口→寫解集”，關(guān)鍵是記住“開口向上，大于取兩邊，小于取中間”的規(guī)律。四、進(jìn)階型例題：含參數(shù)的一元二次不等式含參數(shù)的不等式是難點(diǎn)，需分類討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)為：1.二次項(xiàng)系數(shù)是否為0（區(qū)分一次與二次不等式）；2.判別式\(\Delta\)的符號(hào)（判斷根的存在性）；3.根的大小關(guān)系（確定解集區(qū)間）。（1）參數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)例4解不等式\(ax^2+2x+1>0\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。分析：先討論\(a=0\)（一次不等式），再討論\(a\neq0\)（二次不等式），其中二次不等式需進(jìn)一步討論\(a\)的符號(hào)與\(\Delta\)的情況。解答：當(dāng)\(a=0\)時(shí)：不等式變?yōu)閈(2x+1>0\)，解集為\(x>-\frac{1}{2}\)。當(dāng)\(a>0\)時(shí)：判別式\(\Delta=4-4a=4(1-a)\)。若\(\Delta>0\)（即\(0<a<1\)）：方程\(ax^2+2x+1=0\)的根為\(x=\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}{a}\)，因\(a>0\)，\(\sqrt{1-a}>0\)，故\(x_1=\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}<x_2=\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}\)。開口向上，解集為\(x<x_1\)或\(x>x_2\)。若\(\Delta=0\)（即\(a=1\)）：不等式變?yōu)閈((x+1)^2>0\)，解集為\(x\neq-1\)。若\(\Delta<0\)（即\(a>1\)）：拋物線開口向上且無實(shí)根，解集為\(\mathbb{R}\)（全體實(shí)數(shù)）。當(dāng)\(a<0\)時(shí)：判別式\(\Delta=4(1-a)>0\)（因\(a<0\)，\(1-a>1\)），方程根為\(x=\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}{a}\)。此時(shí)\(a<0\)，\(\sqrt{1-a}>0\)，故\(x_1=\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}<x_2=\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}\)（例如\(a=-1\)時(shí)，根為\(1-\sqrt{2}\approx-0.414\)和\(1+\sqrt{2}\approx2.414\)）。開口向下，解集為\(x_1<x<x_2\)。總結(jié)：二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，必須先討論是否為0，否則會(huì)漏解（如\(a=0\)時(shí)是一次不等式）。（2）參數(shù)在一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)例5解不等式\(x^2+(a+1)x+a<0\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。分析：嘗試因式分解，轉(zhuǎn)化為對(duì)根的大小討論。解答：1.因式分解得\((x+1)(x+a)<0\)，根為\(x_1=-1\)，\(x_2=-a\)。2.討論根的大?。喝鬨(-a>-1\)（即\(a<1\)）：解集為\(-1<x<-a\)；若\(-a=-1\)（即\(a=1\)）：不等式變?yōu)閈((x+1)^2<0\)，解集為\(\varnothing\)；若\(-a<-1\)（即\(a>1\)）：解集為\(-a<x<-1\)。驗(yàn)證：當(dāng)\(a=2\)時(shí)，不等式為\(x^2+3x+2<0\)，解為\(-2<x<-1\)，符合\(a>1\)的結(jié)論；當(dāng)\(a=0\)時(shí)，不等式為\(x^2+x<0\)，解為\(-1<x<0\)，符合\(a<1\)的結(jié)論。例6解不等式\(x^2-2x+a>0\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。分析：通過判別式討論根的存在性。解答：1.判別式\(\Delta=4-4a=4(1-a)\)。2.討論\(\Delta\)的符號(hào)：若\(\Delta<0\)（即\(a>1\)）：拋物線開口向上且無實(shí)根，解集為\(\mathbb{R}\)；若\(\Delta=0\)（即\(a=1\)）：不等式變?yōu)閈((x-1)^2>0\)，解集為\(x\neq1\)；若\(\Delta>0\)（即\(a<1\)）：方程根為\(x=1\pm\sqrt{1-a}\)，開口向上，解集為\(x<1-\sqrt{1-a}\)或\(x>1+\sqrt{1-a}\)?？偨Y(jié)：參數(shù)在一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)時(shí)，若能因式分解，優(yōu)先通過根的大小分類；若不能因式分解，通過判別式分類。五、綜合型例題：與其他知識(shí)的結(jié)合（1）求函數(shù)定義域例7求函數(shù)\(y=\sqrt{x^2-5x+6}\)的定義域。分析：根號(hào)下的表達(dá)式需非負(fù)，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式。解答：1.要求\(x^2-5x+6\geq0\)。2.因式分解得\((x-2)(x-3)\geq0\)，根為\(x=2\)，\(x=3\)。3.開口向上，故定義域?yàn)閈(x\leq2\)或\(x\geq3\)。（2）求函數(shù)值域（判別式法）例8求函數(shù)\(y=\frac{x^2+2x+3}{x^2+x+1}\)的值域。分析：分母恒正（\(x^2+x+1=0\)的\(\Delta=1-4=-3<0\)），將函數(shù)變形為二次方程，利用判別式求值域。解答：1.兩邊乘分母得\(y(x^2+x+1)=x^2+2x+3\)，整理得：\((y-1)x^2+(y-2)x+(y-3)=0\)。2.因\(x\in\mathbb{R}\)，方程有實(shí)根，故判別式\(\Delta\geq0\)：\((y-2)^2-4(y-1)(y-3)\geq0\)。3.展開計(jì)算：\(y^2-4y+4-4(y^2-4y+3)\geq0\)，\(y^2-4y+4-4y^2+16y-12\geq0\)，\(-3y^2+12y-8\geq0\)，兩邊乘-1（變號(hào)）得\(3y^2-12y+8\leq0\)。4.解此不等式，判別式\(\Delta=144-96=48\)，根為\(y=\frac{12\pm\sqrt{48}}{6}=2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。5.故值域?yàn)閈(\left[2-\frac{2\sqrt{3}}{3},2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]\)。（3）實(shí)際問題應(yīng)用例9某商店銷售一種商品，成本為每件10元，當(dāng)售價(jià)為每件\(x\)元時(shí)，銷售量為\((30-x)\)件（\(10\leqx\leq30\)）。若要使利潤(rùn)大于50元，求售價(jià)\(x\)的范圍。分析：利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量，建立不等式求解。解答：1.利潤(rùn)函數(shù)為\(P(x)=(x-10)(30-x)\)。2.要求\(P(x)>50\)，即\((x-10)(30-x)>50\)。3.展開得\(-x^2+40x-300>50\)，整理為\(x^2-40x+350<0\)。4.解方程\(x^2-40x+350=0\)，判別式\(\Delta=1600-1400=200\)，根為\(x=20\pm5\sqrt{2}\)（\(5\sqrt{2}\approx7.07\)）。5.因\(10\leqx\leq30\)，故售價(jià)范圍為\(20-5\sqrt{2}<x<20+5\sqrt{2}\)（約12.93元至27.07元）。六、易錯(cuò)點(diǎn)提示1.漏討論二次項(xiàng)系數(shù)為0：如例4中，若忽略\(a=0\)，會(huì)漏掉一次不等式的解。2.根的大小判斷