2024年AMC競賽真題詳解一、引言AMC（美國數(shù)學(xué)競賽）作為全球最具影響力的中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽之一，是藤校及頂尖高校錄取的重要參考指標(biāo)。2024年AMC競賽（含AMC10/12）延續(xù)了“重思維、輕計算”的風(fēng)格，題型覆蓋代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合四大模塊，難度梯度合理，注重考查學(xué)生的邏輯推理與問題轉(zhuǎn)化能力。本文選取2024年AMC10/12的典型真題，進(jìn)行專業(yè)解析，并總結(jié)備考策略，助力考生把握趨勢、提升能力。二、AMC10真題解析1.代數(shù)題：促銷策略與數(shù)量計算（2024AMC10A第5題）題目：某商店促銷蘋果，規(guī)則為“買3個送1個”（每購買3個，額外贈送1個）。小明花費18元，每個蘋果原價2元且不打折，求小明最多能得到的蘋果數(shù)量。解題思路：核心邏輯：將“買3送1”轉(zhuǎn)化為“每組成本6元（3×2），每組數(shù)量4個（3+1）”。步驟：計算總花費對應(yīng)的購買組數(shù)→推導(dǎo)贈送數(shù)量→求和得總數(shù)量。詳細(xì)解答：購買數(shù)量：18元÷2元/個=9個（直接購買的蘋果數(shù)）。贈送數(shù)量：9個÷3個/組=3組→贈送3×1=3個?？倲?shù)量：9+3=12個。答案：12易錯點提示：避免誤將“買3送1”理解為“每4個付3個的錢”（邏輯一致，但需確認(rèn)計算路徑）；無需考慮“多買少付”（18元剛好買9個，無法多買）。解題技巧：促銷問題優(yōu)先轉(zhuǎn)化為“每組成本-每組數(shù)量”模型，簡化計算。2.幾何題：正方形與圓的面積（2024AMC10A第10題）題目：正方形ABCD邊長為2，以四個頂點為圓心、邊長的一半為半徑畫四個四分之一圓（僅取正方形內(nèi)部部分），求陰影區(qū)域（四圓圍成的中間區(qū)域）面積。解題思路：圖形分析：四個四分之一圓位于正方形四角，半徑1（邊長的一半），均在正方形內(nèi)部。補集法：陰影面積=正方形面積-四個角的空白區(qū)域面積（每個角的空白=小正方形-四分之一圓）。詳細(xì)解答：正方形面積：2×2=4。每個角的小正方形（頂點到邊中點）面積：1×1=1。每個四分之一圓面積：(1/4)×π×12=π/4。每個角的空白面積：1-π/4→四個角空白總面積：4×(1-π/4)=4-π。陰影面積：4-(4-π)=π。答案：π易錯點提示：切勿將半徑誤認(rèn)為邊長（若半徑為2，四分之一圓面積會超過正方形角的面積）；補集法是幾何面積計算的“萬能工具”，需熟練掌握“整體減部分”思路。解題技巧：對稱圖形優(yōu)先考慮對稱性或補集法，減少復(fù)雜計算。3.數(shù)論題：同余方程與中國剩余定理（2024AMC10A第15題）題目：整數(shù)n滿足n≡2mod3，n≡3mod5，且n<100，求n的最大值。解題思路：聯(lián)立同余式：使用中國剩余定理（CRT），先設(shè)n=3k+2，代入第二個同余式解k。步驟：設(shè)變量→代入得線性同余→求逆元→得通解→找最大值。詳細(xì)解答：由n≡2mod3，設(shè)n=3k+2。代入n≡3mod5：3k+2≡3mod5→3k≡1mod5。3的逆元為2（3×2=6≡1mod5），故k≡2×1=2mod5→k=5m+2。代入得n=3×(5m+2)+2=15m+8。由n<100，15m+8<100→m<6.13→m=6時，n=15×6+8=98。答案：98易錯點提示：逆元計算錯誤（若a×b≡1modm，則b為a的逆元）；忽略n<100的條件（m=7時n=113>100，需舍去）。解題技巧：中國剩余定理適用于模數(shù)互質(zhì)的同余方程組，步驟為“設(shè)變量→代入→解線性同余→求通解→找范圍值”。三、AMC12真題解析1.代數(shù)題：二次函數(shù)與因式分解（2024AMC12A第8題）題目：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a≠0）滿足f(1)=f(3)=0，f(2)=-1，求a+b+c的值。解題思路：根與因式分解：f(1)=f(3)=0→x=1和x=3是根，故設(shè)f(x)=a(x-1)(x-3)。代入已知點求a→展開得系數(shù)→計算a+b+c。詳細(xì)解答：設(shè)f(x)=a(x-1)(x-3)。代入f(2)=-1：a(2-1)(2-3)=-a=-1→a=1。展開得f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3→a=1，b=-4，c=3。a+b+c=1-4+3=0。答案：0易錯點提示：未使用因式分解形式（若用一般式解三元一次方程組，會增加計算量）；計算f(2)時符號錯誤（(2-1)=1，(2-3)=-1，乘積為-1）。解題技巧：已知二次函數(shù)兩根，優(yōu)先用因式分解形式，簡化計算。2.組合題：不相鄰組合與概率（2024AMC12A第12題）題目：從1到10的整數(shù)中任取3個不同的數(shù)，求這3個數(shù)中任意兩個數(shù)的差均不為1的概率。解題思路：總組合數(shù)：C(10,3)。符合條件的組合數(shù)：不相鄰組合，用間隔法（公式：C(n-k+1,k)，n=10，k=3）。概率=符合條件的組合數(shù)÷總組合數(shù)。詳細(xì)解答：總組合數(shù)：C(10,3)=120。不相鄰組合數(shù)：C(10-3+1,3)=C(8,3)=56（推導(dǎo)：設(shè)a<b<c，令a'=a,b'=b-1,c'=c-2，則a'<b'<c'≤8，故組合數(shù)為C(8,3)）。概率：56÷120=7/15。答案：7/15易錯點提示：不相鄰組合數(shù)公式記錯（正確公式為C(n-k+1,k)，需推導(dǎo)驗證）；忽略“不同的數(shù)”或“差不為1”的條件。解題技巧：不相鄰組合問題可通過“變量替換”轉(zhuǎn)化為普通組合問題，公式需牢記并理解推導(dǎo)過程。四、2024年AMC競賽趨勢與備考建議（一）趨勢分析1.代數(shù)：更注重函數(shù)與方程的應(yīng)用（如二次函數(shù)區(qū)間最值、因式分解）；2.幾何：強(qiáng)調(diào)對稱思想與補集法（如正方形與圓的面積）；3.數(shù)論：同余方程與中國剩余定理仍是重點（難度略有提升）；4.組合：不相鄰組合、概率計算是熱點（注重模型轉(zhuǎn)化）。（二）備考建議1.夯實基礎(chǔ)：熟練掌握四大模塊的基本知識點（如二次函數(shù)頂點式、圓面積公式、同余性質(zhì)、組合數(shù)公式）；2.多做真題：通過真題熟悉題型與難度，總結(jié)解題技巧（如因式分解、補集法、間隔法）；3.訓(xùn)練速度：AMC10/12均為75分鐘25題，需提高解題速度（先做簡單題，再做難題）；4.整理錯題：分析錯題原因（知識點遺漏、計算錯誤、思路偏差），避免重復(fù)犯錯；5.模擬考試：模擬真實考試環(huán)境，適應(yīng)時間