高三數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)練習(xí)題引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)考查模塊（占分比例約20%-25%）。高考對函數(shù)的考查覆蓋基本概念（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性）、常見函數(shù)（一次、二次、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)）、復(fù)合與分段函數(shù)、函數(shù)與方程及實(shí)際應(yīng)用等內(nèi)容，注重考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)。本專題將按考點(diǎn)分類梳理函數(shù)的核心知識，通過典型例題講解解題方法，結(jié)合針對練習(xí)鞏固技能，并總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)避免失分，助力高三學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)專題。專題一：函數(shù)的定義域與值域一、考點(diǎn)梳理1.函數(shù)的定義域定義域是自變量\(x\)的取值范圍，需滿足函數(shù)表達(dá)式有意義：分式：分母\(\neq0\)（如\(\frac{1}{x-1}\)中\(zhòng)(x\neq1\)）；偶次根號：根號內(nèi)\(\geq0\)（如\(\sqrt{x+2}\)中\(zhòng)(x\geq-2\)）；對數(shù)函數(shù)：真數(shù)\(>0\)，底數(shù)\(>0\)且\(\neq1\)（如\(\log_2(x-1)\)中\(zhòng)(x>1\)）；三角函數(shù)：正切函數(shù)\(\tanx\)中\(zhòng)(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）；實(shí)際問題：自變量需滿足實(shí)際意義（如時(shí)間\(t\geq0\)）。2.函數(shù)的值域值域是函數(shù)值的集合，常用求法：觀察法：適用于簡單函數(shù)（如\(y=2x+1\)的值域?yàn)閈(\mathbb{R}\)）；配方法：適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)（如\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，值域?yàn)閈([2,+\infty)\)）；換元法：適用于含根號的函數(shù)（如\(y=x+\sqrt{1-2x}\)，令\(t=\sqrt{1-2x}\geq0\)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；單調(diào)性法：適用于單調(diào)函數(shù)（如\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增，值域?yàn)閈([2,+\infty)\)）；導(dǎo)數(shù)法：適用于高次函數(shù)或分式函數(shù)（如\(y=x^3-3x+1\)，求導(dǎo)得極值點(diǎn)，計(jì)算極值得值域）。二、典型例題例1：求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}+\log_2(4-x)\)的定義域解：需滿足以下條件：\(\sqrt{x+2}\geq0\Rightarrowx\geq-2\)；\(x-1\neq0\Rightarrowx\neq1\)；\(4-x>0\Rightarrowx<4\)。綜上，定義域?yàn)閈([-2,1)\cup(1,4)\)。思路：列所有限制條件，解不等式組取交集。例2：求函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,3]\)上的值域解：配方得\(f(x)=(x-1)^2+2\)，對稱軸\(x=1\in[0,3]\)。最小值：\(f(1)=2\)；最大值：\(f(3)=6\)（端點(diǎn)值）。值域?yàn)閈([2,6]\)。思路：二次函數(shù)閉區(qū)間值域，先看對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，再算端點(diǎn)和頂點(diǎn)值。例3：求函數(shù)\(f(x)=x+\sqrt{1-2x}\)的值域解：令\(t=\sqrt{1-2x}\geq0\)，則\(x=\frac{1-t^2}{2}\)，代入得：\[f(t)=-\frac{1}{2}t^2+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t-1)^2+1.\]當(dāng)\(t=1\)時(shí)，\(f(t)\)取最大值\(1\)；\(t\to+\infty\)時(shí)，\(f(t)\to-\infty\)。值域?yàn)閈((-\infty,1]\)。思路：換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，注意新變量范圍。三、針對練習(xí)基礎(chǔ)題（答案）1.求\(f(x)=\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}\)的定義域：\([-2,1)\cup(1,2]\)；2.求\(f(x)=2x+1\)在\([-1,2]\)上的值域：\([-1,5]\)；3.求\(f(x)=\log_2(x+1)\)的值域：\(\mathbb{R}\)。中檔題（提示）4.求\(f(x)=\sqrt{x^2-2x-3}\)的值域：先求定義域\(x\leq-1\)或\(x\geq3\)，二次函數(shù)\(x^2-2x-3\geq0\)，值域?yàn)閈([0,+\infty)\)；5.求\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)的值域：分離常數(shù)得\(f(x)=1-\frac{1}{x+1}\)，值域?yàn)閈((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。難題（提示）6.求\(f(x)=x^3-3x+2\)的值域：求導(dǎo)得\(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)，極值點(diǎn)\(x=\pm1\)，計(jì)算得值域?yàn)閈(\mathbb{R}\)；7.求\(f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+x+1}\)的值域：判別式法，解得\(2\leqy\leq\frac{10}{3}\)。四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒忽略分母不為零：如\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，易漏\(x\neq1\)；換元法未注意新變量范圍：如例3中\(zhòng)(t\geq0\)，若忽略會得值域\(\mathbb{R}\)；二次函數(shù)最值忽略區(qū)間：如\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([2,3]\)上單調(diào)遞增，值域?yàn)閈([3,6]\)，而非\([2,6]\)。專題二：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與周期性一、考點(diǎn)梳理1.單調(diào)性定義：任取\(x_1<x_2\)，若\(f(x_1)<f(x_2)\)，則\(f(x)\)在區(qū)間上遞增；若\(f(x_1)>f(x_2)\)，則遞減。判定方法：定義法（適用于簡單函數(shù)）；導(dǎo)數(shù)法（\(f'(x)>0\)遞增，\(f'(x)<0\)遞減）；復(fù)合函數(shù)（同增異減，如\(f(g(x))\)，\(f\)與\(g\)單調(diào)性相同則遞增）。2.奇偶性定義：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，若\(f(-x)=f(x)\)則偶；若\(f(-x)=-f(x)\)則奇。判定步驟：先看定義域是否對稱→計(jì)算\(f(-x)\)→比較與\(f(x)\)的關(guān)系。3.周期性定義：存在\(T>0\)，使得\(f(x+T)=f(x)\)對所有\(zhòng)(x\)成立，\(T\)為周期。常見結(jié)論：\(f(x+a)=-f(x)\RightarrowT=2a\)；\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\RightarrowT=2a\)；\(f(x+a)=f(x-a)\RightarrowT=2a\)。二、典型例題例1：用定義法證明\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)上遞減證明：任取\(0<x_1<x_2\leq1\)，則：\[f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right).\]因?yàn)閈(x_1<x_2\)，所以\(x_1-x_2<0\)；又\(x_1x_2\leq1\)，故\(1-\frac{1}{x_1x_2}\leq0\)。因此\(f(x_1)>f(x_2)\)，函數(shù)遞減。思路：定義法步驟：任取\(x_1<x_2\)→計(jì)算\(f(x_1)-f(x_2)\)→因式分解→判斷符號。例2：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x-3)\)的單調(diào)遞增區(qū)間解：先求定義域：\(x^2-2x-3>0\Rightarrowx<-1\)或\(x>3\)。令\(g(x)=x^2-2x-3\)，則\(f(x)=\log_2g(x)\)。\(g(x)\)在\((3,+\infty)\)上遞增，\(\log_2t\)遞增，故\(f(x)\)的遞增區(qū)間為\((3,+\infty)\)。思路：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”，需先求定義域。例3：已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(f(1)=2\)，求\(f(-1)\)解：奇函數(shù)滿足\(f(-x)=-f(x)\)，故\(f(-1)=-f(1)=-2\)。思路：奇偶性的核心是\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系，前提是定義域?qū)ΨQ。三、針對練習(xí)基礎(chǔ)題（答案）1.判斷\(f(x)=x^3\)的奇偶性：奇函數(shù)；2.判斷\(f(x)=\log_2x\)的單調(diào)性：遞增；3.證明\(f(x)=2x+1\)在\(\mathbb{R}\)上遞增：定義法，\(f(x_1)-f(x_2)=2(x_1-x_2)<0\)。中檔題（提示）4.求\(f(x)=\sqrt{x^2-2x-3}\)的單調(diào)遞減區(qū)間：定義域\(x\leq-1\)或\(x\geq3\)，\(g(x)=x^2-2x-3\)在\((-\infty,-1]\)遞減，故遞減區(qū)間為\((-\infty,-1]\)；5.已知\(f(x)=ax^2+bx+c\)是偶函數(shù)，求\(b\)：\(f(-x)=f(x)\Rightarrowb=0\)。難題（提示）6.已知\(f(x+2)=-f(x)\)，\(f(1)=2\)，求\(f(7)\)：周期\(T=4\)，\(f(7)=f(1)=2\)；7.判斷\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\-x^2+1,&x<0\end{cases}\)的奇偶性：任取\(x>0\)，\(f(-x)=-x^2+1=f(x)\)，故偶函數(shù)。四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒復(fù)合函數(shù)單調(diào)性忽略定義域：如\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)，易漏定義域\(x<0\)或\(x>2\)；奇偶性未先看定義域：如\(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)，定義域\(\{1\}\)，非奇非偶；周期性結(jié)論記混：如\(f(x+2)=-f(x)\)，周期是\(4\)，不是\(2\)；導(dǎo)數(shù)法忽略導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)：如\(f(x)=x^3\)，\(f'(x)\geq0\)，遞增區(qū)間為\(\mathbb{R}\)。專題三：常見函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、考點(diǎn)梳理函數(shù)類型表達(dá)式定義域值域單調(diào)性奇偶性圖像特征一次函數(shù)\(y=kx+b\)\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)\(k>0\)遞增，\(k<0\)遞減\(b=0\)時(shí)奇函數(shù)直線，斜率\(k\)，截距\(b\)二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)\(\mathbb{R}\)\(a>0\)時(shí)\([\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty)\)對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，左減右增（\(a>0\)）\(b=0\)時(shí)偶函數(shù)拋物線，開口方向由\(a\)決定指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)\(\mathbb{R}\)\((0,+\infty)\)\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減非奇非偶過\((0,1)\)，漸近線\(x\)軸對數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)\((0,+\infty)\)\(\mathbb{R}\)\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減非奇非偶過\((1,0)\)，漸近線\(y\)軸冪函數(shù)\(y=x^\alpha\)由\(\alpha\)決定由\(\alpha\)決定由\(\alpha\)決定\(\alpha\)整數(shù)時(shí)，奇/偶過\((1,1)\)，\(\alpha>0\)過原點(diǎn)二、典型例題例1：求二次函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值解：配方得\(f(x)=(x-1)^2+2\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,2)\)，最小值為\(2\)（\(a>0\)，開口向上）。思路：二次函數(shù)頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)，頂點(diǎn)\((h,k)\)，最值為\(k\)。例2：比較\(0.3^2\)、\(2^{0.3}\)、\(\log_20.3\)的大小解：\(0.3^2=0.09<1\)；\(2^{0.3}>2^0=1\)；\(\log_20.3<\log_21=0\)。綜上，\(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3}\)。思路：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，與\(0\)、\(1\)比較。例3：識別冪函數(shù)\(y=x^\alpha\)的圖像（\(\alpha=\frac{1}{2}\)、\(-1\)、\(2\)）解：\(y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)：定義域\([0,+\infty)\)，過\((0,0)\)、\((1,1)\)，單調(diào)遞增；\(y=x^{-1}=\frac{1}{x}\)：定義域\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，過\((1,1)\)，單調(diào)遞減；\(y=x^2\)：定義域\(\mathbb{R}\)，過\((0,0)\)、\((1,1)\)，偶函數(shù)，開口向上。三、針對練習(xí)基礎(chǔ)題（答案）1.求\(y=2x+1\)的斜率：\(2\)；2.求\(y=\log_3x\)的過定點(diǎn)：\((1,0)\)；3.比較\(3^{-0.5}\)、\(0.5^3\)、\(\log_30.5\)的大小：\(\log_30.5<0.5^3<3^{-0.5}\)。中檔題（提示）4.求\(y=x^2-4x+5\)的最小值：配方得\((x-2)^2+1\)，最小值\(1\)；5.求\(y=2^{x+1}\)的圖像平移方向：由\(y=2^x\)向左平移\(1\)個(gè)單位。難題（提示）6.已知\(f(x)=ax^2+bx+c\)過\((1,0)\)、\((2,3)\)、\((-1,6)\)，求\(a,b,c\)：列方程組解得\(a=1,b=-2,c=1\)；7.求\(y=x^3\)與\(y=3x-1\)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：畫圖得\(3\)個(gè)交點(diǎn)。四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒指數(shù)函數(shù)底數(shù)范圍：\(a>0\)且\(a\neq1\)，易忽略\(a\neq1\)；對數(shù)函數(shù)真數(shù)范圍：\(x>0\)，易漏；冪函數(shù)指數(shù)正負(fù)：\(\alpha>0\)時(shí)過原點(diǎn)，\(\alpha<0\)時(shí)不過原點(diǎn)；二次函數(shù)開口方向：\(a>0\)開口向上，\(a<0\)開口向下，影響最值方向。專題四：復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)一、考點(diǎn)梳理1.復(fù)合函數(shù)定義：\(y=f(g(x))\)，其中\(zhòng)(g(x)\)是內(nèi)函數(shù)，\(f(x)\)是外函數(shù)；定義域：\(g(x)\)的值域需滿足\(f(x)\)的定義域；單調(diào)性：同增異減（內(nèi)、外函數(shù)單調(diào)性相同則遞增，相反則遞減）。2.分段函數(shù)定義：不同區(qū)間用不同表達(dá)式表示的函數(shù)；求值：代入對應(yīng)區(qū)間的表達(dá)式；單調(diào)性：各區(qū)間單調(diào)且銜接點(diǎn)連續(xù)；奇偶性：各區(qū)間分別判斷\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系；零點(diǎn)：各區(qū)間分別求\(f(x)=0\)的解。二、典型例題例1：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x-3)\)的定義域解：內(nèi)函數(shù)\(g(x)=x^2-2x-3\)，需滿足\(g(x)>0\Rightarrowx<-1\)或\(x>3\)，故定義域?yàn)閈((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。思路：復(fù)合函數(shù)定義域=內(nèi)函數(shù)值域滿足外函數(shù)定義域。例2：求分段函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x^2-1,&x\geq0\end{cases}\)的\(f(-1)\)和\(f(1)\)解：\(f(-1)=-1+1=0\)（\(x=-1<0\)，代入第一段）；\(f(1)=1^2-1=0\)（\(x=1\geq0\)，代入第二段）。思路：分段函數(shù)求值，先判斷\(x\)所在區(qū)間，再代入對應(yīng)表達(dá)式。例3：求分段函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\\x^2,&x\geq1\end{cases}\)的單調(diào)遞增區(qū)間解：\(x<1\)時(shí)，\(f(x)=2x+1\)遞增；\(x\geq1\)時(shí)，\(f(x)=x^2\)遞增；銜接點(diǎn)\(x=1\)，\(f(1^-)=3\)，\(f(1^+)=1\)，不連續(xù)，但各區(qū)間單調(diào)遞增。綜上，遞增區(qū)間為\((-\infty,1)\)和\([1,+\infty)\)（或?qū)懗蒤((-\infty,+\infty)\)，因銜接點(diǎn)不影響整體遞增）。三、針對練習(xí)基礎(chǔ)題（答案）1.求\(f(x)=\begin{cases}x-1,&x<0\\x+1,&x\geq0\end{cases}\)的\(f(-2)\)：\(-3\)；2.求\(f(x)=\log_2(x^2-1)\)的定義域：\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)；3.求\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\-x^2,&x\geq0\end{cases}\)的奇偶性：奇函數(shù)。中檔題（提示）4.求\(f(x)=\sqrt{x^2-2x-3}\)的單調(diào)遞增區(qū)間：定義域\(x\leq-1\)或\(x\geq3\)，\(g(x)=x^2-2x-3\)在\([3,+\infty)\)遞增，故遞增區(qū)間為\([3,+\infty)\)；5.求\(f(x)=\begin{cases}2x,&x<1\\x+1,&x\geq1\end{cases}\)的零點(diǎn)：\(x=0\)（\(x<1\)時(shí)\(2x=0\)）。難題（提示）6.求\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\\lnx,&x>0\end{cases}\)的單調(diào)遞減區(qū)間：\((-\infty,0]\)（\(x^2+1\)遞減）和\((0,1]\)（\(\lnx\)遞減）；7.已知\(f(x)=\begin{cases}ax+1,&x<1\\x^2,&x\geq1\end{cases}\)連續(xù)，求\(a\)：\(a+1=1^2\Rightarrowa=0\)。四、易錯(cuò)點(diǎn)提醒復(fù)合函數(shù)定義域：如\(f(g(x))\)，需先求\(g(x)\)的值域滿足\(f(x)\)的定義域；分段函數(shù)求值：代入錯(cuò)誤區(qū)間，如\(f(-1)\)代入\(x\geq0\)的表達(dá)式；分段函數(shù)單調(diào)性：忽略銜接點(diǎn)連續(xù)性，如\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<1\\x-1,&x\geq1\end{cases}\)，在\(x=1\)處不連續(xù)，但各區(qū)間單調(diào)遞增；分段函數(shù)奇偶性：需各區(qū)間分別判斷\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系，如\(f(x)=\begin{cases}x,&x>0\\-x,&x<0\end{cases}\)，是奇函數(shù)。專題五：函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用一、考點(diǎn)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)定義：\(f(x)=0\)的根，即函數(shù)圖像與\(x\)軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；存在定理：連續(xù)函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上滿足\(f(a)f(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)有零點(diǎn)；個(gè)數(shù)判斷：圖像法（看與\(x\)軸交點(diǎn)數(shù)）、導(dǎo)數(shù)法（求極值點(diǎn)，判斷極值符號）。2.函數(shù)模型一次模型：\(y=kx+b\)（適用于線性增長/遞減）；二次模型：\(y=ax^2+bx+c\)（適用于最值問題，如利潤最大化）；指數(shù)模型：\(y=ae^{bx}\)（適用于增長率問題，如人口增長、細(xì)胞分裂）；對數(shù)模型：\(y=alog_bx\)（適用于緩慢增長問題，如地震震級）；冪函數(shù)模型：\(y=ax^b\)（適用于冪次增長問題，如面積與邊長關(guān)系）。二、典型例題例1：判斷函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，極值點(diǎn)\(x=\pm1\)。\(f(1)=1-3+1=-1<0\)；\(f(-1)=-1+3+1=3>0\)；當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(f(x)\to+\infty\)；當(dāng)\(x\to-\infty\)時(shí)，\(f(x)\to-\infty\)。根據(jù)零點(diǎn)存在定理，\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)、\((-1,1)\)、\((1,+\infty)\)各有一個(gè)零點(diǎn)，共\(3\)個(gè)零點(diǎn)。思路：導(dǎo)數(shù)法求極值點(diǎn)，判斷極值符號，結(jié)合單調(diào)性得零點(diǎn)個(gè)數(shù)。例2：某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本為每件\(20\)元，售價(jià)為每件\(x\)元，銷售量為\(____x\)件（\(x\in[20,100]\)），求利潤最大值。解：利潤\(L(x)=(x-20)(____x)=-10x^2+1200x-____\)。配方得\(L(x)=-10(x-60)^2+____\)，