人教版九年級數(shù)學(xué)相似三角形習(xí)題一、引言相似三角形是人教版九年級數(shù)學(xué)下冊的核心幾何內(nèi)容，既是全等三角形的延伸（全等是相似比為1的特殊情況），又是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)、圓的切線性質(zhì)、二次函數(shù)幾何綜合題的基礎(chǔ)。在中考中，相似三角形的考查占比約10%-15%，題型涵蓋選擇、填空、解答題，其中解答題常與函數(shù)、幾何（如四邊形、圓）綜合，難度中等偏上。本文結(jié)合人教版教材例題、中考真題，系統(tǒng)梳理相似三角形的核心知識點(diǎn)、典型題型、解題策略及易錯(cuò)點(diǎn)，幫助學(xué)生建立清晰的解題邏輯，提升實(shí)戰(zhàn)能力。二、相似三角形核心知識點(diǎn)回顧（一）定義與判定定理1.定義：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似比用\(k\)表示（\(k>0\)）。2.判定定理（重點(diǎn)）：AA（角角）：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似（最常用，如平行線截三角形所得相似）；SAS（邊角邊）：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似（注意“夾角”必須對應(yīng)）；SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似（較少用，但需掌握）。（二）性質(zhì)定理（關(guān)鍵）1.對應(yīng)角相等；2.對應(yīng)邊成比例（相似比\(k\)）；3.對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比等于相似比\(k\)；4.周長比等于相似比\(k\)；5.面積比等于相似比的平方（\(k^2\)，易錯(cuò)點(diǎn)）。（三）常見相似模型（必記）1.A字模型：如圖1，\(DE\parallelBC\)，則\(\triangleADE\sim\triangleABC\)（相似比\(k=\frac{AD}{AB}\)）；2.8字模型：如圖2，\(AB\parallelCD\)，則\(\triangleAOB\sim\triangleCOD\)（相似比\(k=\frac{AB}{CD}\)）；3.母子相似模型：如圖3，\(Rt\triangleABC\)中，\(CD\perpAB\)，則\(\triangleABC\sim\triangleACD\sim\triangleBCD\)（直角三角形斜邊上的高分割出的兩個(gè)小直角三角形與原三角形相似）；4.一線三等角模型：如圖4，點(diǎn)\(B、C、D\)共線，\(\angleABC=\angleACD=\angleAED=90^\circ\)，則\(\triangleABC\sim\triangleDCE\)（同一直線上的三個(gè)等角構(gòu)造相似）。三、典型題型分類解析（一）選擇題：相似判定與性質(zhì)辨析例1（2022·人教版教材習(xí)題改編）下列條件中，不能判定\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)的是（）A.\(\angleA=\angleD\)，\(\angleB=\angleE\)B.\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\)，\(\angleB=\angleE\)C.\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\)D.\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，\(\angleC=\angleF\)解析：選項(xiàng)A：符合AA判定，能判定；選項(xiàng)B：符合SAS判定（\(\angleB\)是\(AB\)與\(BC\)的夾角，\(\angleE\)是\(DE\)與\(EF\)的夾角），能判定；選項(xiàng)C：符合SSS判定，能判定；選項(xiàng)D：\(\angleC\)是\(AC\)與\(BC\)的夾角，\(\angleF\)是\(DF\)與\(EF\)的夾角，夾角不對應(yīng)，不能判定。答案：D易錯(cuò)點(diǎn)：SAS判定的“夾角”必須是對應(yīng)邊的夾角，若夾角不對應(yīng)，即使兩邊成比例也無法判定相似。（二）填空題：模型應(yīng)用與比例計(jì)算例2（2023·某省中考題）如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，則\(\triangleADE\)與\(\triangleABC\)的周長比為______，面積比為______。解析：由\(DE\parallelBC\)，得\(\triangleADE\sim\triangleABC\)（A字模型）；相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)；周長比等于相似比，故周長比為\(2:5\)；面積比等于相似比的平方，故面積比為\((\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)。答案：\(2:5\)；\(\frac{4}{25}\)易錯(cuò)點(diǎn)：面積比是相似比的平方，易誤算為\(\frac{2}{5}\)，需特別注意。（三）解答題：綜合應(yīng)用與幾何推理例3（2021·人教版教材復(fù)習(xí)題）如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(CD\perpAB\)于點(diǎn)\(D\)，若\(AC=6\)，\(BC=8\)，求\(CD\)的長。解析：方法一（面積法，快捷）：由勾股定理得\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)；\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\timesAC\timesBC=\frac{1}{2}\timesAB\timesCD\)，故\(CD=\frac{AC\timesBC}{AB}=\frac{6\times8}{10}=\frac{24}{5}\)。方法二（母子相似）：\(Rt\triangleABC\simRt\triangleACD\)（AA判定，公共\(\angleA\)，均為直角）；相似比\(k=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)；對應(yīng)高的比等于相似比，即\(\frac{CD}{BC}=\frac{3}{5}\)，故\(CD=\frac{3}{5}\times8=\frac{24}{5}\)。答案：\(\frac{24}{5}\)解題策略：直角三角形斜邊上的高問題，優(yōu)先用面積法（避免相似對應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)），若需用相似，記住“母子相似”模型（原三角形與兩個(gè)小直角三角形均相似）。四、解題策略總結(jié)1.相似判定“三步法”第一步：找平行線（若有，直接用A字/8字模型，AA判定）；第二步：找直角或等角（若有，用AA判定或母子相似）；第三步：驗(yàn)證邊的比例（若有兩邊成比例，需檢查夾角是否對應(yīng)；若三邊成比例，直接用SSS）。2.性質(zhì)應(yīng)用“四注意”求線段長：用對應(yīng)邊成比例建立方程（如例2中求\(EC\)）；求周長比：直接等于相似比（無需計(jì)算周長）；求面積比：必須用相似比的平方（如例2）；求對應(yīng)高/中線/角平分線：等于相似比（如例3中用相似求\(CD\)）。3.模型識別“口訣”看到平行線，想到“A字/8字”；看到直角高，想到“母子相似”；看到一線三等角，想到“相似構(gòu)造”（如例4，一線三等角模型）。4.比例轉(zhuǎn)化“技巧”利用平行線分線段成比例定理（人教版教材“相似三角形的預(yù)備定理”）：若\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，則\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)（如圖5）；利用中間比：若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)，\(\frac{e}=\fracz3jilz61osys{f}\)，則\(\frac{a}{e}=\frac{c}{f}\)（通過公共邊轉(zhuǎn)化比例）。五、鞏固練習(xí)與答案解析1.基礎(chǔ)題（相似判定）下列各組三角形中，相似的是（）A.\(\triangleABC\)中，\(\angleA=30^\circ\)，\(\angleB=50^\circ\)；\(\triangleDEF\)中，\(\angleD=30^\circ\)，\(\angleE=60^\circ\)B.\(\triangleABC\)中，\(AB=2\)，\(BC=3\)，\(AC=4\)；\(\triangleDEF\)中，\(DE=4\)，\(EF=6\)，\(DF=8\)C.\(\triangleABC\)中，\(AB=1\)，\(BC=2\)，\(\angleB=60^\circ\)；\(\triangleDEF\)中，\(DE=2\)，\(EF=4\)，\(\angleE=50^\circ\)D.\(\triangleABC\)中，\(AB=3\)，\(BC=4\)，\(AC=5\)；\(\triangleDEF\)中，\(DE=6\)，\(EF=8\)，\(DF=10\)答案：B、D（B是SSS相似，D是SSS相似）2.中檔題（模型應(yīng)用）如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=3\)，\(DB=2\)，\(AE=4\)，則\(EC=\______\)。解析：由\(DE\parallelBC\)，得\(\triangleADE\sim\triangleABC\)（A字模型），相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}\)，故\(\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}\)，\(AC=\frac{5}{3}\times4=\frac{20}{3}\)，\(EC=AC-AE=\frac{20}{3}-4=\frac{8}{3}\)。答案：\(\frac{8}{3}\)3.壓軸題（綜合應(yīng)用）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(0,3)\)，\(B(4,0)\)，\(C(0,0)\)，點(diǎn)\(D\)在\(BC\)上，且\(CD=1\)，過點(diǎn)\(D\)作\(DE\parallelAB\)交\(AC\)于點(diǎn)\(E\)，求點(diǎn)\(E\)的坐標(biāo)。解析：\(BC\)在x軸上，\(D\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,0)\)（\(CD=1\)）；\(AB\)的解析式：\(y=-\frac{3}{4}x+3\)（斜率為\(-\frac{3}{4}\)）；\(DE\parallelAB\)，故\(DE\)的解析式：\(y=-\frac{3}{4}(x-1)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\)；\(AC\)在y軸上（\(x=0\)），代入\(DE\)的解析式得\(y=\frac{3}{4}\)，故\(E(0,\f