重難專攻（六）數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀數(shù)列與函數(shù)、不等式、集合等知識(shí)的交匯問題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、數(shù)列不等式的證明等.目錄CONTENTS提能點(diǎn)1數(shù)列與函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）的交匯問題01.提能點(diǎn)2數(shù)列與不等式的交匯問題02.提能點(diǎn)3數(shù)列與集合的交匯問題03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01提能點(diǎn)1數(shù)列與函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）的交匯問題

在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比數(shù)

列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2bn－2.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn＝bn－an，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式Tn＋n2－n＞

log2（1－a）對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

規(guī)律方法數(shù)列與函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）的綜合問題涉及兩類題型（1）以數(shù)列為背景研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，如研究數(shù)列的單調(diào)性、周期

性、最值、不等式恒成立下的參數(shù)范圍問題等.解決這類問題的關(guān)鍵是

以構(gòu)成數(shù)列的函數(shù)為載體，結(jié)合數(shù)列是一類特殊函數(shù)（定義域是正整

數(shù)集或它的有限子集），利用函數(shù)的思想方法求解，體現(xiàn)由特殊到一

般的轉(zhuǎn)化思想；（2）以函數(shù)為背景知識(shí)研究數(shù)列問題，如已知函數(shù)的性質(zhì)，求對(duì)應(yīng)數(shù)列

的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和或比較最大項(xiàng)（最小項(xiàng)）等問題，解決該類問題的

關(guān)鍵是構(gòu)建符合函數(shù)特征的數(shù)列，體現(xiàn)由一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.

PART02提能點(diǎn)2數(shù)列與不等式的交匯問題角度1

數(shù)列與基本不等式的交匯

記Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知{Sn－an}是等差數(shù)列.

規(guī)律方法求解數(shù)列與不等式綜合問題的步驟（1）根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特征，選擇合適的方法（公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)

相消法、錯(cuò)位相減法等）求和；（3）利用（2）中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；（4）反思解題過程，檢驗(yàn)易錯(cuò)點(diǎn)，規(guī)范解題步驟.提醒

解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式

的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、利用基本不等式等；若是含參

數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.角度2

放縮法證明數(shù)列不等式

（2025·邢臺(tái)一模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；解：由Sn＝2an－1，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，則a1＝1≠0，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－1，兩式相減得Sn－Sn－1＝2an－1－（2an－1－1），即an＝2an－1（n≥2），因此數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n－1.

規(guī)律方法

與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題，一般采用放縮法進(jìn)行證明，其大致

可分為兩類：（1）先求和再放縮：對(duì)于含有數(shù)列和的不等式，若數(shù)列的和易于求出，

則一般采用先求和再放縮的策略證明不等式；

練2（2025·遼陽一模）已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝（n－

1）·2n＋1＋2.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；解：由題意可知，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，由a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1＋2得，a1＋2a2＋…＋

（n－1）an－1＝（n－2）·2n＋2，兩式作差可得，nan＝（n－1）·2n＋1－（n－2）·2n＝n·2n，∴an＝

2n，a1＝2也適合該式，故an＝2n.

PART03提能點(diǎn)3數(shù)列與集合的交匯問題

（1）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

規(guī)律方法

數(shù)列與集合的綜合問題的實(shí)質(zhì)是研究以等差（比）數(shù)列為載體，結(jié)合

集合的概念或運(yùn)算而衍生出的新數(shù)列問題，是近幾年新高考下的創(chuàng)新題

型，即已知數(shù)列{an}的項(xiàng)組成集合A，數(shù)列{bn}的項(xiàng)組成集合B，數(shù)列

{cn}的項(xiàng)組成集合C，在規(guī)定了數(shù)列{cn}的排序規(guī)則前提下，（1）若

A∩B＝C，則c1，c2，…，ck為數(shù)列{an}，{bn}的公共項(xiàng)數(shù)列；（2）若

A∪B＝C，則c1，c2，…，ck為數(shù)列{an}，{bn}的并項(xiàng)數(shù)列；（3）若滿

足C?A，則{cn}為{an}的有序子數(shù)列；（4）同時(shí)還可按照某種遞推關(guān)系

cn＝an＋bn及不等關(guān)系，求集合C中元素的個(gè)數(shù)等.

（1）在只有5項(xiàng)的有限數(shù)列{an}，{bn}中，其中a1＝1，a2＝2，a3＝3，

a4＝4，a5＝5；b1＝1，b2＝4，b3＝5，b4＝4，b5＝1；試判斷數(shù)列{an}，

{bn}是否為集合W中的元素；

PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)1.

（2022·新高考Ⅱ卷17題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等

比數(shù)列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.（1）證明：a1＝b1；解：證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），即a1＝5b1－2d，將d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.1234（2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù).解：由（1）知an＝a1＋（n－1）d＝a1＋（n－1）×2b1＝（2n－1）a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1得b1·2k－1＝（2m－1）a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由題知1≤m≤500，所以2≤2m≤1

000，所以k＝2，3，4，…，10，共9

個(gè)數(shù)，即集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素

的個(gè)數(shù)為9.1234

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

1234

1234

1234（2）求{an}的通項(xiàng)公式；

1234

1234

1234

（1）若{an}是等差數(shù)列，且公差d≠0，求λ的值；

1234（2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·an≥n－r對(duì)

任意的n∈N*