2．1.2演繹推理[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解演繹推理的意義．2．掌握演繹推理的基本模式，并能運用它進行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系．[知識鏈接]1．演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？答演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確．2．如何分清大前提、小前提和結(jié)論？答在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題的思考方法是一樣的，即先指出一般情況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義．例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有一般意義．3．演繹推理一般是怎樣的模式？答“三段論”是演繹推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情況；(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．演繹推理(1)定義：由概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規(guī)則得到正確結(jié)論的過程，通常叫做演繹推理．(2)特點：演繹推理是從一般到特殊的推理．(3)模式：三段論．2．三段論：“三段論”是演繹推理的一般模式(1)三段論的結(jié)構(gòu)：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．(2)“三段論”的表示：①大前提——M是P；②小前提——S是M；③結(jié)論——S是P.(3)三段論的依據(jù)：用集合觀點來看就是：①若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，②S是M的一個子集，③那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.3．關(guān)系推理關(guān)系推理是根據(jù)對象間的邏輯關(guān)系(對稱性、傳遞性等)進行推演的推理，它的前提和結(jié)論都是關(guān)系判斷．(1)利用對稱性來進行推理，即因為aRb，所以bRa.例如：A＝B，所以B＝A；AB∥CD，所以CD∥AB；a⊥b，則b⊥a，這里“相等”“平行”“垂直”等關(guān)系都有對稱性質(zhì)，據(jù)此可進行推理．(2)利用傳遞性進行推理．即因為aRb，bRc，所以aRc.如a>b，b>c，所以a>c；a∥b，b∥c，所以a∥c等．4．完全歸納推理完全歸納推理是根據(jù)對某類事物的每一對象的情況分析，進而作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理方法．要點一用三段論的形式表示演繹推理例1把下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點是100℃，所以在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tanα是三角函數(shù)，因此y＝tanα是周期函數(shù)．解(1)在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點是100℃在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃水會沸騰．結(jié)論(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，大前提2100＋1是奇數(shù)，小前提2100＋1不能被2整除．結(jié)論(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，大前提y＝tanα是三角函數(shù)，小前提y＝tanα是周期函數(shù)．結(jié)論規(guī)律方法用三段論寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．有時可省略小前提，有時甚至也可大前提與小前提都省略．在尋找大前提時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．跟蹤演練1試將下列演繹推理寫成三段論的形式：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，海王星是太陽系中的大行星，所以海王星以橢圓軌道繞太陽運行；(2)所有導(dǎo)體通電時發(fā)熱，鐵是導(dǎo)體，所以鐵通電時發(fā)熱；(3)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)；(4)等差數(shù)列的通項公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常數(shù))，數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3，…，n的通項具有an＝pn＋q的形式．解(1)大前提：太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行；小前提：海王星是太陽系里的大行星；結(jié)論：海王星以橢圓形軌道繞太陽運行．(2)大前提：所有導(dǎo)體通電時發(fā)熱；小前提：鐵是導(dǎo)體；結(jié)論：鐵通電時發(fā)熱．(3)大前提：一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；小前提：函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)；結(jié)論：y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．(4)大前提：等差數(shù)列的通項公式具有形式an＝pn＋q；小前提：數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列；結(jié)論：數(shù)列1,2,3，…，n的通項具有an＝pn＋q的形式．要點二演繹推理的應(yīng)用例2正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長均為a，D、E分別為C1C與AB的中點，A1B交AB1于點(1)求證：A1B⊥AD；(2)求證：CE∥平面AB1D.證明(1)連接BD.∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱長均為a∴A1ABB1為正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G為A1B的中點，∴A1B⊥DG又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.又∵AD?平面AB1D，∴A1B⊥AD.(2)連接GE，則EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，∵GE＝DC＝eq\f(1,2)a，∴四邊形GECD為平行四邊形，∴CE∥GD.又∵CE?平面AB1D，DG?平面AB1D，∴CE∥平面AB1D.規(guī)律方法(1)應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．(2)數(shù)學(xué)問題的解決與證明都蘊含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)——大前提、小前提，注意前一個推理的結(jié)論會作為下一個三段論的前提．跟蹤演練2求證：函數(shù)y＝eq\f(2x－1,2x＋1)是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)．證明y＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，所以f(x)的定義域為R.f(－x)＋f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2－x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x＋1)))＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x＋1)＋\f(2,2－x＋1)))＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x＋1)＋\f(2·2x,2x＋1)))＝2－eq\f(22x＋1,2x＋1)＝2－2＝0.即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．任取x1，x2∈R，且x1<x2.則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x1＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x2＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x2＋1)－\f(1,2x1＋1)))＝2·eq\f(2x1－2x2,2x2＋12x1＋1).由于x1<x2，從而2x1<2x2，2x1－2x2<0，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)為增函數(shù)．要點三合情推理、演繹推理的綜合應(yīng)用例3如圖所示，三棱錐A－BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點A在底面BCD上的射影．(1)求證：O為△BCD的垂心；(2)類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個關(guān)系，并給出證明．(1)證明∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC.∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可證CD⊥BO，∴O為△BCD的垂心．(2)解猜想：Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ABD)＝Seq\o\al(2,△BCD).證明：連接DO并延長交BC于E，連接AE，由(1)知AD⊥平面ABC，AE?平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AE))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·EO))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·ED))，即Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BOC·S△BCD.同理可證：Seq\o\al(2,△ACD)＝S△COD·S△BCD，Seq\o\al(2,△ABD)＝S△BOD·S△BCD.∴Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ABD)＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝Seq\o\al(2,△BCD).規(guī)律方法合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真．但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)．跟蹤演練3已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，則數(shù)列bn＝eq\r(n,a1a2…an)(n∈N*)也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．解類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)也是等差數(shù)列．證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝eq\f(na1＋\f(nn－1d,2),n)＝a1＋eq\f(d,2)(n－1)，所以數(shù)列{bn}是以a1為首項，eq\f(d,2)為公差的等差數(shù)列.1．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人C．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式答案A解析A是演繹推理，B、D是歸納推理，C是類比推理．2．“因為對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，又y＝logeq\f(1,3)x是對數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝logeq\f(1,3)x是增函數(shù)(結(jié)論)．”下列說法正確的是()A．大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤B．小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤C．推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤D．大前提和小前提都錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤答案A解析y＝logax是增函數(shù)錯誤．故大前提錯．3．把“函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線”恢復(fù)成三段論，則大前提：________；小前提：________；結(jié)論：________.答案二次函數(shù)的圖象是一條拋物線函數(shù)y＝x2＋x＋1是二次函數(shù)函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線4.“如圖，在△ABC中，AC>BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD>∠BCD”．證明在△ABC中，因為CD⊥AB，AC