2.4.2向量在物理中的應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程.2.體會向量是一種處理物理問題的重要工具.3.培養(yǎng)運(yùn)用向量知識解決物理問題的能力．[知識鏈接]1．向量在物理中有哪些應(yīng)用？答(1)物理問題中常見的向量有力，速度，加速度，位移等．(2)向量的加、減法運(yùn)算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分解上．(3)動量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算．(4)功是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積．2．向量與力有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？答向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒有共同的作用點(diǎn)，但是力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的．用向量知識解決力的問題，往往是把向量起點(diǎn)平移到同一作用點(diǎn)上．3．向量的運(yùn)算與速度、加速度及位移有什么聯(lián)系？答速度、加速度與位移的合成與分解，實(shí)質(zhì)上是向量的加、減法運(yùn)算，而運(yùn)動的疊加也用到向量的合成，向量有豐富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解決涉及上述物理量的合成與分解時(shí)，實(shí)質(zhì)就是向量的線性運(yùn)算．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．力與向量力與前面學(xué)過的自由向量有區(qū)別．(1)相同點(diǎn)：力和向量都既要考慮大小又要考慮方向．(2)不同點(diǎn)：向量與始點(diǎn)無關(guān)，力和作用點(diǎn)有關(guān)，大小和方向相同的兩個(gè)力，如果作用點(diǎn)不同，那么它們是不相等的．2．向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運(yùn)算，運(yùn)動的疊加也用到向量的合成．(3)動量mν是數(shù)乘向量．(4)功是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積.要點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用例1帆船比賽是借助風(fēng)帆推動船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項(xiàng)水上運(yùn)動，如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30°，速度為20km/h，此時(shí)水的流向是正東，流速為20km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向．解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫|30°，速度為|v1|＝20(km/h)，水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|v2|＝20(km/h)，設(shè)帆船行駛的速度為v，則v＝v1＋v2.由題意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10eq\r(3))，向量v2＝(20,0)，則帆船的行駛速度v＝v1＋v2＝(10,10eq\r(3))＋(20,0)＝(30,10eq\r(3))，所以|v|＝eq\r(302＋10\r(3)2)＝20eq\r(3)(km/h)．因?yàn)閠anα＝eq\f(10\r(3),30)＝eq\f(\r(3),3)(α為v和v2的夾角，α為銳角)，所以α＝30°.所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20eq\r(3)km/h.跟蹤演練1某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)km/h，水的流速為4km/h，他必須朝哪個(gè)方向游才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？解如圖所示，設(shè)此人的實(shí)際速度為eq\o(OB,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→)).∵實(shí)際速度＝游速＋水速，∴游速為eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，在Rt△AOB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠BAO＝eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),3).故此人應(yīng)沿與河岸夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3)，逆著水流的方向前進(jìn)，實(shí)際前進(jìn)速度的大小為4eq\r(2)km/h.要點(diǎn)二向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用例2如圖，質(zhì)量m＝2.0kg的木塊，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿傾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距離．(1)分別求物體所受各力在這一過程中對物體做的功；(2)在這一過程中，物體所受各力對物體做的功的代數(shù)和是多少？(3)求物體所受合外力對物體所做的功，并指出它與物體所受各個(gè)力對物體做功的代數(shù)和之間有什么關(guān)系．解(1)木塊共受三個(gè)力的作用，重力G，拉力F和支持力F1，如題圖所示，拉力F與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為：WF＝F·s＝|F||s|cosα＝20(J)．支持力F1與位移方向垂直，不做功，即W1＝F1·s＝0.重力G對物體所做的功為：WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為：W＝WF＋WN＋WG＝20＋0－19.6＝0.4(J)．(3)物體所受合外力的大小為：|F合|＝|F|－|G|sin30°＝0.2(N)．所以合外力對物體所做的功為：W＝F合·s＝0.2×2＝0.4(J)．所以物體所受合外力對物體所做的功與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和相等．規(guī)律方法解決力學(xué)有關(guān)問題，做好正確的受力分析是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)．要認(rèn)真體會用向量解決物理問題和解釋物理現(xiàn)象的方法．跟蹤演練2已知兩恒力F1＝(3,4)、F2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0)，試求：(1)F1、F2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)F1，F(xiàn)2的合力F為質(zhì)點(diǎn)所做的功．解設(shè)物體在力F作用下的位移為s，則所做的功為W＝F·s.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．(1)W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up6(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦).1.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個(gè)燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N.答案10解析設(shè)重力為G，每根繩子的拉力分別為F1，F(xiàn)2，則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N．∴每根繩子的拉力都為10N.2．已知一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________J.答案300解析W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J)．3．一條河寬為8000m，一船從A出發(fā)航行垂直到達(dá)河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時(shí)間為________分鐘．答案30解析v實(shí)際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12，∴|v|＝eq\r(|v1|2－|v2|2)＝eq\r(202－122)＝16(km/h)．∴所需時(shí)間t＝eq\f(8,16)＝0.5(小時(shí))＝30(分鐘)．∴該船到達(dá)B處所需時(shí)間為30分鐘．4．一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測量，這一天水流速度為3km/h，方向正東，風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r(3)km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．解如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h.設(shè)船的實(shí)際航行速度為v.方向由南向北，大小為2eq\r(3)km/h，船本身的速度為v3，則a