貴陽(yáng)市普通中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)2025.7注意事項(xiàng)：1.本試卷共6頁(yè)，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.2.答案一律寫在答題卡上，寫在試卷上的不給分.3.考試過(guò)程中不得使用計(jì)算器.一、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分.每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確，請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填寫在答題卷的相應(yīng)位置上.）1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】C解析：復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C2.已知，則與垂直的單位向量坐標(biāo)為（）A. B.C.或 D.或【答案】C解析：設(shè)與向量垂直的單位向量是，由題意可得，，所以，解得或，故或.故選：C3.新能源汽車憑借環(huán)保、節(jié)能等優(yōu)勢(shì)，受到越來(lái)越多消費(fèi)者的青睞.某品牌為評(píng)估旗下新能源汽車在市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)力，統(tǒng)計(jì)了6個(gè)不同地區(qū)該品牌新能源汽車專賣店在一周內(nèi)的銷售數(shù)量（單位:輛），數(shù)據(jù)如下:18，22，25，28，30，35.則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（）A.22 B.28C.30 D.35【答案】C解析：，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)30.故選：C.4.一個(gè)盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若從中任取2支.記事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“沒(méi)有三等品”，下列說(shuō)法正確的是（）A.事件A與事件B互斥 B.事件B與事件C互斥C.事件A與事件C對(duì)立 D.事件B與事件C對(duì)立【答案】A解析：對(duì)于A，事件A與事件B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B互斥，故A正確；對(duì)于B，若取到的兩支筆都是二等品，則事件B與事件C同時(shí)發(fā)生，所以事件B與事件C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若取到的兩支筆是一支二等品，一支三等品，則事件A與事件C都沒(méi)有發(fā)生，所以事件A與事件C不是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若取到的兩支筆是一支一等品，一支三等品，則事件B與事件C都沒(méi)有發(fā)生，所以事件B與事件C不是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；故選：A.5.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.若mn，n⊥α，αβ，則m⊥βB.若則m⊥αC.若m⊥α，mn，nβ，則α⊥βD.若，則α⊥β【答案】D解析：解：對(duì)于A，若，則且，所以A正確；對(duì)于B，若，則且，所以B正確；對(duì)于C，若，則由面面垂直的判定定理可得，所以C正確；對(duì)于D，若，則可能相交或垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：D.6.某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組在開(kāi)展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問(wèn)題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中MA、NB均與水平面ABC垂直.并已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離，在C處觀測(cè)M的仰角為觀測(cè)N的仰角為60°，且，則M與N之間的距離為（）A. B.C. D.【答案】D解析：由題意知，，所以．因?yàn)?，在中，．故選：D7.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是4和6，則該圓臺(tái)的體積是（）A. B.C. D.【答案】B解析：由題意及圖得，作出圓臺(tái)的截面圖如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為，則，解得，∴，設(shè)圓臺(tái)下底面圓的半徑為，則，解得：，∴，，由幾何知識(shí)得，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，在Rt中，由勾股定理得：，∴圓臺(tái)的體積為：，故選：B.8.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的最大值為（）A.2 B.4C.6 D.8【答案】D解析：由題，作圖如下：設(shè)為正六邊形的中心，則，故由正六邊形的邊長(zhǎng)為2，可得，因?yàn)镻是正六邊形內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在方向上的投影最大，且兩者同向共線，又因?yàn)?，所?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共2小題，每小題4分，共8分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.）9.一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B關(guān)系用圖表示，如圖所示，其中，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.n（AB）=4B.C.D.A與B相互獨(dú)立【答案】ACD解析：對(duì)于A，由圖知，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，又，，，所以A與B相互獨(dú)立，故D正確.故選：ACD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，N為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.直線與直線所成角的最大值為B.直線與平面平行C.當(dāng)N為線段上中點(diǎn)時(shí)，平面平面D.的最小值為【答案】BCD解析：對(duì)于A，，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，顯然當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與直線所成角最大，最大角為，直線與直線所成角的最大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，平面，平面，平面，同理可得平面，又，平面，平面，平面平面，又平面，平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)N為線段上中點(diǎn)時(shí)，，，，平面，又平面，平面平面，故C正確；對(duì)于D，把平面沿展開(kāi)到平面所在平面，如圖，連接交于點(diǎn)此時(shí)最小，最小值為，在中，，，，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分.請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置上.）11.已知事件A與事件B互斥，若，則______【答案】##解析：因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，，所以.故答案為：0.712.一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形，若用“斜二側(cè)”畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為_(kāi)______.【答案】##解析：如圖平面正方形的邊長(zhǎng)為，則直觀圖如下所示：則直觀圖為平行四邊形：，，又因?yàn)?，所以直觀圖的面積為.故答案為：13.已知等邊的邊長(zhǎng)為1，，那么_____【答案】##解析：由題意，在等邊中，邊長(zhǎng)為1，三個(gè)內(nèi)角都為，，∴，，，∴，故答案為：14.已知一組數(shù)據(jù)2，3，m，8，，9的平均數(shù)為8，則______，這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)______.【答案】①.12②.19解析：2，3，m，8，m+2，9的平均數(shù)為8，所以，解得：，這組數(shù)據(jù)2，3，12，8，14，9,方差為：，故答案為：；.15.在正三棱錐中，，且P、A、B、C四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O被平面PAB所截圓的面積為_(kāi)_____.【答案】解析：球O被平面所截圓的面積為即為外接圓的面積，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，所以，所以外接圓的半徑為，所以外接圓的面積為.故答案：.四、解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16.已知平面向量，.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，與共線.【答案】（1）（2）（1）.（2），，與共線，，解得：.17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求B的大??；（2）若的面積為求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）（1）在中，由及正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，而，所以，所以，所?（2）由（1）知，，由的面積為，得，解得，由余弦定理及得，解得，所以的周長(zhǎng)為.18.為了讓同學(xué)們更好的了解垃圾分類，貴陽(yáng)市某中學(xué)高一年級(jí)1000名學(xué)生進(jìn)行了垃圾分類知識(shí)測(cè)試（滿分100分），將全部測(cè)試成績(jī)分組得[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五個(gè)組，已知前三組的頻率分別為0.04、0.16、0.2，后兩組的頻率之比為3：2.請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）求后兩組的頻率，并補(bǔ)全如圖所示頻率分布直方圖；（2）結(jié)合頻率分布直方圖，估計(jì)該中學(xué)本次垃圾分類知識(shí)測(cè)試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（3）若垃圾分類知識(shí)測(cè)試中將成績(jī)[80，90）稱為良好，[90，100]稱為優(yōu)秀.按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)從測(cè)試成績(jī)?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的兩組同學(xué)中抽取5人，然后從5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人成績(jī)都為優(yōu)秀的概率.【答案】（1）（2）分（3）（1）解：設(shè)后兩組頻率分別為，則有，解得：，所以后兩組的頻率分別為.（2）平均分為：（分）所以該中學(xué)本次垃圾分類知識(shí)測(cè)試成績(jī)的平均分為分.（3）因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱80，90），[90，100]的兩組的頻率之比為3：2，所以分層抽樣抽取的人數(shù)分別為3人，2人，設(shè)抽到的良好的學(xué)生為，抽到的優(yōu)秀的學(xué)生為，則從5人中抽取2人的情況為：共10種，其中兩人成績(jī)都優(yōu)秀的情況為：共1種，設(shè)事件A：抽到的兩人成績(jī)都為優(yōu)秀，則.故抽到的兩人成績(jī)都為優(yōu)秀的概率為.19.如圖所示，在四棱錐中，底面，且四邊形為直角梯形，，，E為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，四邊形為直角梯形，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；?）過(guò)作于，連接，因底面，又底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又，又平面，平面平面，所以平面，所以在平面內(nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，解得，又，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.五、閱讀與探究（本大題1個(gè)小題，共8分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，條理清晰.）20.形如z=a+bi（a，b∈R）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，稱為復(fù)數(shù).的輻角，規(guī)定范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，記為argz.叫做復(fù)數(shù)的三角形式.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示知：.推廣，到n次冪有：此結(jié)論稱為棣莫弗定理.下面我們利用棣莫弗定理探究1的3次方根：設(shè)z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，則所以因?yàn)橄嗟鹊膹?fù)數(shù)的模相等，輻角可以相差的整數(shù)倍.所以,所以1的3次方根是.由三角函數(shù)周期性可得，1的3次方根為：請(qǐng)結(jié)合材料回答以下問(wèn)題：（1）將表示成三角形式（輻角取主值）；（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，求出1的8次方根；（3）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是否存在滿足以下條