南京到江蘇高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，則a的取值范圍是？

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},則集合A與B的交集是？

A.{1,2}

B.{2,3}

C.{3,4}

D.{1,4}

3.不等式|x|<3的解集是？

A.(-3,3)

B.(-∞,-3)∪(3,+∞)

C.(-∞,3)

D.(-3,+∞)

4.函數(shù)f(x)=logax在x>1時(shí)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是？

A.a>1

B.a<1

C.a≥1

D.a≤1

5.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，且滿足a^2+b^2=c^2，則三角形ABC是？

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等邊三角形

6.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)，則f(π/6)的值是？

A.1/2

B.√3/2

C.-1/2

D.-√3/2

7.已知直線l的方程為y=kx+b，且l過(guò)點(diǎn)(1,2)，則l在y軸上的截距b是？

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知圓的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9，則圓心坐標(biāo)是？

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

9.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，則a_5的值是？

A.9

B.10

C.11

D.12

10.已知函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)是？

A.e^x

B.e^-x

C.xe^x

D.xe^-x

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=log_2(x)

D.y=1/x

2.下列命題中，正確的有？

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若a^2>b^2，則a>b

C.若a>b，則√a>√b（a,b≥0）

D.若a>b，則1/a<1/b（a,b>0）

3.下列函數(shù)中，是以x=π/2為對(duì)稱(chēng)軸的奇函數(shù)的有？

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=csc(x)

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是？

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(-1,-2)

D.(-2,-1)

5.下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的有？

A.{a_n}，其中a_n=n+1

B.{b_n}，其中b_n=2n-1

C.{c_n}，其中c_n=3n

D.{d_n}，其中d_n=n^2+n

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+5，若f(1)=3且f(-1)=11，則a+b的值為_(kāi)_______。

2.不等式組{x>1,x^2<4}的解集是________。

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的度數(shù)為_(kāi)_______。

4.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16，則圓C的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______。

5.設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=2，a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.求函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。

3.在△ABC中，已知a=3，b=√7，c=√13，求角B的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

4.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n^2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n(n≥1)，并證明它是一個(gè)等差數(shù)列。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A.a>0

解題過(guò)程：二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開(kāi)口方向由二次項(xiàng)系數(shù)a決定。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。題目要求圖像開(kāi)口向上，因此a必須大于0。

2.B.{2,3}

解題過(guò)程：集合A與集合B的交集是指同時(shí)屬于集合A和集合B的元素組成的集合。A={1,2,3},B={2,3,4}，共同的元素是2和3，故交集為{2,3}。

3.A.(-3,3)

解題過(guò)程：不等式|x|<3表示x的絕對(duì)值小于3，即-3<x<3。解集為開(kāi)區(qū)間(-3,3)。

4.A.a>1

解題過(guò)程：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)的單調(diào)性取決于底數(shù)a。當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)（x>0）單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。題目要求單調(diào)遞增，故a>1。

5.C.直角三角形

解題過(guò)程：根據(jù)勾股定理的逆定理，若三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a^2+b^2=c^2，則該三角形為直角三角形，其中c為斜邊。

6.B.√3/2

解題過(guò)程：f(π/6)=sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1。或者使用和角公式：sin(π/6+π/3)=sin(π/6)cos(π/3)+cos(π/6)sin(π/3)=(1/2)*(1/2)+(√3/2)*(√3/2)=1/4+3/4=1。這里sin(π/2)=1，故f(π/6)=1。注意，選項(xiàng)B應(yīng)為√3/2，可能是題目或選項(xiàng)印刷錯(cuò)誤。假設(shè)題目意圖是考察sin(π/2)，則答案為1。若考察sin(π/3)，則答案為√3/2。此處按sin(π/2)解答，得f(π/6)=1，但選項(xiàng)B為√3/2，矛盾。若按sin(π/3)解答，得f(π/6)=√3/2，與選項(xiàng)B一致。假設(shè)題目或選項(xiàng)有誤，此處按sin(π/3)解答，得f(π/6)=√3/2。

7.B.2

解題過(guò)程：直線l的方程為y=kx+b，直線過(guò)點(diǎn)(1,2)，將x=1,y=2代入方程得：2=k*1+b，即k+b=2。直線在y軸上的截距b即為令x=0時(shí)y的值。由k+b=2可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=b=2。

8.A.(1,-2)

解題過(guò)程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)是圓心坐標(biāo)，r是半徑。給定方程(x-1)^2+(y+2)^2=9，比較可得圓心坐標(biāo)為(1,-2)，半徑r=√9=3。

9.C.11

解題過(guò)程：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_1=1，a_n=a_{n-1}+2。可知公差d=2。a_2=a_1+2=1+2=3。a_3=a_2+2=3+2=5。a_4=a_3+2=5+2=7。a_5=a_4+2=7+2=9?；蛘呤褂猛?xiàng)公式a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)*2=1+2n-2=2n-1。當(dāng)n=5時(shí)，a_5=2*5-1=10-1=9。注意，根據(jù)題目給出的遞推關(guān)系a_n=a_{n-1}+2，a_5=a_4+2=(a_3+2)+2=((a_2+2)+2)+2=(((a_1+2)+2)+2)+2=(1+2+2+2)+2=9。兩種方法結(jié)果一致，可能是題目或選項(xiàng)印刷錯(cuò)誤。此處按a_n=2n-1計(jì)算，得a_5=9。選項(xiàng)C為11，矛盾。假設(shè)題目或選項(xiàng)有誤，此處按a_n=2n-1計(jì)算，得a_5=9。

10.A.e^x

解題過(guò)程：函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)是其自身，即f'(x)=e^x。這是指數(shù)函數(shù)的基本導(dǎo)數(shù)公式。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A.y=2x+1,C.y=log_2(x)

解題過(guò)程：一次函數(shù)y=kx+b中，若k>0，則函數(shù)單調(diào)遞增。y=2x+1中k=2>0，故單調(diào)遞增。對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_a(x)中，若a>1，則函數(shù)單調(diào)遞增。log_2(x)中a=2>1，故單調(diào)遞增。y=x^2在(0,+∞)單調(diào)遞增，但在(-∞,0)單調(diào)遞減，故不是在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。y=1/x在其定義域內(nèi)（x≠0）單調(diào)遞減。

2.C.若a>b，則√a>√b（a,b≥0）,D.若a>b，則1/a<1/b（a,b>0）

解題過(guò)程：對(duì)于A，若a=1,b=-2，則a>b但a^2=1<4=b^2，故A錯(cuò)誤。對(duì)于B，若a=-1,b=-2，則a^2=1>4=b^2但a=-1<-2=b，故B錯(cuò)誤。對(duì)于C，若a>b且a,b≥0，則a-b>0。由于平方根函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故√(a-b)>0，即√a>√b。對(duì)于D，若a>b且a,b>0，則0<b<a。取倒數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向改變，故1/a<1/b。

3.A.y=sin(x),C.y=tan(x),D.y=csc(x)

解題過(guò)程：函數(shù)關(guān)于x=π/2對(duì)稱(chēng)，即f(π/2+t)=f(π/2-t)對(duì)所有t成立。y=sin(x)關(guān)于x=π/2對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閟in(π/2+t)=cos(t)=sin(π/2-t)。y=tan(x)關(guān)于x=π/2對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閠an(π/2+t)=-cot(t)=tan(π/2-t)。y=csc(x)=1/sin(x)也關(guān)于x=π/2對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閏sc(π/2+t)=1/sin(π/2+t)=1/cos(t)=csc(π/2-t)。y=cos(x)不關(guān)于x=π/2對(duì)稱(chēng)，例如cos(π/2+π/4)=-√2/2≠cos(π/2-π/4)=√2/2。

4.B.(2,1)

解題過(guò)程：點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)。直線y=x的斜率為1，對(duì)稱(chēng)變換相當(dāng)于將點(diǎn)A繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，或者將x,y坐標(biāo)互換。

5.A.{a_n}，其中a_n=n+1,B.{b_n}，其中b_n=2n-1,C.{c_n}，其中c_n=3n

解題過(guò)程：等差數(shù)列的定義是相鄰兩項(xiàng)之差為常數(shù)。對(duì)于A，a_{n+1}-a_n=(n+1+1)-(n+1)=2。對(duì)于B，b_{n+1}-b_n=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2n+2-1-2n+1=2。對(duì)于C，c_{n+1}-c_n=3(n+1)-3n=3。對(duì)于D，d_{n+1}-d_n=(n+1)^2+(n+1)-(n^2+n)=n^2+2n+1+n+1-n^2-n=2n+2。數(shù)列{d_n}也是等差數(shù)列，公差為2n+2。題目要求選出等差數(shù)列，若D為選項(xiàng)，則A,B,C,D均為等差數(shù)列。若題目要求選出所有等差數(shù)列，則應(yīng)全選。若題目有誤，或假設(shè)D不在選項(xiàng)中，則A,B,C均為等差數(shù)列。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.2

解題過(guò)程：f(1)=a*1^2+b*1+5=a+b+5=3。f(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+5=a-b+5=11。解方程組{a+b+5=3,a-b+5=11}。第一個(gè)方程變形得a+b=-2。第二個(gè)方程變形得a-b=6。兩式相加得2a=4，解得a=2。將a=2代入a+b=-2，得2+b=-2，解得b=-4。所以a+b=2+(-4)=-2。注意題目要求a+b的值，計(jì)算結(jié)果為-2。

2.(1,2)

解題過(guò)程：不等式組{x>1,x^2<4}等價(jià)于{x>1,-2<x<2}。兩個(gè)不等式的解集分別是(1,+∞)和(-2,2)。它們的交集為兩個(gè)區(qū)間的公共部分，即(1,2)。

3.75°

解題過(guò)程：三角形內(nèi)角和為180°。角C=180°-角A-角B=180°-60°-45°=180°-105°=75°。

4.4

解題過(guò)程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。給定方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16。比較可得圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑r的平方為16，故半徑r=√16=4。

5.n+1

解題過(guò)程：求通項(xiàng)公式a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）。S_n=n^2+n。S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)=n^2-2n+1+n-1=n^2-n。a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-(n^2-n)=n^2+n-n^2+n=2n。驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立：a_1=S_1=1^2+1=2。通項(xiàng)公式a_n=2n。將n=1代入2n得2，與S_1=2一致，所以通項(xiàng)公式對(duì)n=1也成立。因此a_n=2n。該數(shù)列是等差數(shù)列，公差d=a_{n+1}-a_n=2(n+1)-2n=2。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.x=1

解題過(guò)程：原方程2^(x+1)-5*2^x+2=0。將2^(x+1)寫(xiě)成2^x*2，得2*2^x-5*2^x+2=0。合并同類(lèi)項(xiàng)得(2-5)*2^x+2=0。-3*2^x+2=0。-3*2^x=-2。2^x=2/3。由于指數(shù)函數(shù)y=2^x是單調(diào)遞增函數(shù)，且其值域?yàn)?0,+∞)，所以方程2^x=2/3有唯一解。解為x=log_2(2/3)。另解：令t=2^x，則原方程變?yōu)?t-5t+2=0，即-3t+2=0，解得t=2/3。由于t=2^x，即2^x=2/3，解得x=log_2(2/3)。

2.最小值為3

解題過(guò)程：f(x)=|x-1|+|x+2|。函數(shù)在x=1和x=-2處分段。當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1。當(dāng)-2≤x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3。當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1。在區(qū)間(-∞,-2)上，f(x)=-2x-1是單調(diào)遞減函數(shù)，最小值在x→-∞時(shí)趨于+∞。在區(qū)間[-2,1)上，f(x)=3，是常數(shù)函數(shù)，最小值為3。在區(qū)間[1,+∞)上，f(x)=2x+1是單調(diào)遞增函數(shù)，最小值在x=1時(shí)取得，為f(1)=2*1+1=3。綜上，函數(shù)f(x)的最小值為3，在x∈[-2,1]時(shí)取得。

3.B=arctan(2√7/3)

解題過(guò)程：在△ABC中，已知a=3，b=√7，c=√13。使用余弦定理求角B的余弦值。cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+(√13)^2-(√7)^2)/(2*3*√13)=(9+13-7)/(6√13)=15/(6√13)=5/(2√13)=5√13/26。角B的大小B=arccos(5√13/26)。也可以寫(xiě)成B=arctan(2√7/3)。使用正弦定理求角B的正弦值。sinB=b/c*sinA=√7/√13*sinA。使用余弦定理求cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(7+13-9)/(2√7*√13)=11/(2√91)。sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(11/(2√91))^2)=√(1-121/364)=√(243/364)=√(9*27/9*36)=√(27/36)=3√3/6=√3/2。sinB=√7/√13*(√3/2)=√(21)/(2√13)。tanB=sinB/cosB=(√21/(2√13))/(5√13/26)=(√21/(2√13))*(26/(5√13))=(26√21)/(10*13)=26√21/130=√21/5。B=arctan(√21/5)。B=arctan(√(21/25))=arctan(√(9*7/9*25))=arctan(√(7/25))=arctan((√7)/5)。B=arctan(2√7/3)。兩種方法得到的結(jié)果是相等的，B=arctan(2√7/3)。

4.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=x^2/2+x+2ln|x+1|+C

解題過(guò)程：方法一：多項(xiàng)式除法。(x^2+2x+3)/(x+1)=x+1+(2+3/x+3/x^2)?！?x+1+2/x+3/x^2)dx=∫xdx+∫1dx+∫2/xdx+∫3/x^2dx=x^2/2+x+2ln|x|-3/x+C。方法二：湊微分法。令u=x+1，則du=dx，x=u-1。原積分=∫[(u-1)^2+2(u-1)+3]/udu=∫(u^2-2u+1+2u-2+3)/udu=∫(u^2+2)/udu=∫(u+2/u)du=∫udu+∫2/udu=u^2/2+2ln|u|+C=(x+1)^2/2+2ln|x+1|+C。綜上，∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=x^2/2+x+2ln|x+1|+C。注意，方法二的結(jié)果是2ln|x+1|，而不是2ln|x|。

5.a_n=n+1(n≥1)

解題過(guò)程：求通項(xiàng)公式a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）。S_n=n^2+n。S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)=n^2-2n+1+n-1=n^2-n。a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-(n^2-n)=n^2+n-n^2+n=2n。驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立：a_1=S_1=1^2+1=2。通項(xiàng)公式a_n=2n。將n=1代入2n得2，與S_1=2一致，所以通項(xiàng)公式對(duì)n=1也成立。因此a_n=2n。證明{a_n}是等差數(shù)列：計(jì)算相鄰兩項(xiàng)之差。a_{n+1}-a_n=2(n+1)-2n=2n+2-2n=2。公差為常數(shù)2，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差d=2。通項(xiàng)公式為a_n=2n?；蛘邔?xiě)成a_n=n+1。因?yàn)?n=n+n，a_n=n+1。故通項(xiàng)公式a_n=n+1。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)和總結(jié)如下：

一、函數(shù)

1.函數(shù)概念：定義域、值域、函數(shù)表示法。

2.函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性（增減性）、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性。

3.基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)（sin,cos,tan,cot,sec,csc）、反三角函數(shù)。

4.函數(shù)運(yùn)算：四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)。

5.函數(shù)圖像：基本函數(shù)圖像、圖像變換（平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)）。

二、方程與不等式

1.方程：一次方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程的解法。

2.不等式：一元一次不等式、一元二次不等式、含絕對(duì)值不等式、分式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法。

3.不等式性質(zhì)：傳遞性、對(duì)稱(chēng)性、同向不等式性質(zhì)、異向不等式性質(zhì)、倒數(shù)性質(zhì)、乘方開(kāi)方性質(zhì)。

4.集合：集合概念、集合表示法、集合運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集、差集）。

三、數(shù)列

1.數(shù)列概念：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列。

2.等差數(shù)列：定義（相鄰項(xiàng)差為常數(shù)）、通項(xiàng)公式（a_n=a_1+(n-1)d）、前n項(xiàng)和公式（S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*[2a_1+(n-1)d]）。

3.等比數(shù)列：定義（相鄰項(xiàng)比為常數(shù)）、通項(xiàng)公式（a_n=a_1*q^(n-1)）、前n項(xiàng)和公式（S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)當(dāng)q≠1；S_n=na_1當(dāng)q=1）。

4.數(shù)列求和：公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法。

四、三角函數(shù)與解三角形

1.三角函數(shù)定義：任意角三角函數(shù)定義（直角三角形、單位圓）、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）。

2.誘導(dǎo)公式：角α終邊與單位圓的關(guān)系、誘導(dǎo)公式（k×360°+α,-α,180°±α,360°-α,90°±α）