數(shù)學(xué)代數(shù)高一題目及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.若a，b，c是實數(shù)，且a+b+c=0，則下列式子中一定成立的是（）。A.ab+bc+ca=0B.a^2+b^2+c^2=0C.(a+b)(b+c)(c+a)=0D.a^3+b^3+c^3=3abc2.已知x+y=3，x^2+y^2=5，求x^3+y^3的值（）。A.6B.9C.12D.153.若方程x^2-2x+m=0有兩個相等的實根，則m的值為（）。A.0B.1C.-1D.1/44.已知a，b，c是實數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，求證：(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥3/2（）。A.正確B.錯誤5.若a，b，c是實數(shù)，且a+b+c=0，a^2+b^2+c^2=3，則ab+bc+ca的值為（）。A.-3B.0C.3D.16.已知a，b，c是實數(shù)，且a+b+c=0，求證：a^3+b^3+c^3=3abc（）。A.正確B.錯誤7.若方程x^2-2x+m=0有兩個不相等的實根，則m的取值范圍是（）。A.m>1B.m<1C.m>0D.m<08.已知x+y=3，x^2+y^2=5，求xy的值（）。A.1B.2C.3D.49.若方程x^2-2x+m=0有兩個實根，則m的取值范圍是（）。A.m≥1B.m<1C.m>0D.m<010.已知a，b，c是實數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，求證：(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥1（）。A.正確B.錯誤二、填空題（每題4分，共20分）1.若a，b，c是實數(shù)，且a+b+c=0，則ab+bc+ca=________。2.已知x+y=3，x^2+y^2=5，則x^3+y^3=________。3.若方程x^2-2x+m=0有兩個相等的實根，則m=________。4.已知a，b，c是實數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，則(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最小值為________。5.若方程x^2-2x+m=0有兩個實根，則m的取值范圍是________。三、解答題（每題10分，共50分）1.已知a，b，c是實數(shù)，且a+b+c=0，a^2+b^2+c^2=3，求ab+bc+ca的值。解：由題意可知，a+b+c=0，所以c=-a-b。將c代入a^2+b^2+c^2=3，得a^2+b^2+(-a-b)^2=3，即2a^2+2b^2+2ab=3。又因為(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，所以(a+b)^2=3/2。由于a+b+c=0，所以a+b=-c，所以(-c)^2=3/2，即c^2=3/2。又因為a^2+b^2+c^2=3，所以a^2+b^2=3/2。所以ab+bc+ca=ab-a(a+b)-b(a+b)=ab-(a^2+b^2)=ab-3/2=-3。故答案為-3。2.已知x+y=3，x^2+y^2=5，求x^3+y^3的值。解：由題意可知，x+y=3，所以y=3-x。將y代入x^2+y^2=5，得x^2+(3-x)^2=5，即2x^2-6x+4=0。解得x=1或x=2，所以y=2或y=1。所以x^3+y^3=1^3+2^3=1+8=9。故答案為9。3.已知a，b，c是實數(shù)，且a+b+c=0，求證：a^3+b^3+c^3=3abc。證明：由題意可知，a+b+c=0，所以c=-a-b。將c代入a^3+b^3+c^3，得a^3+b^3+(-a-b)^3=a^3+b^3-(a+b)^3=a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=-3ab(a+b)。又因為a+b+c=0，所以a+b=-c，所以-3ab(a+b)=3abc。故結(jié)論成立。4.已知x+y=3，x^2+y^2=5，求xy的值。解：由題意可知，x+y=3，所以y=3-x。將y代入x^2+y^2=5，得x^2+(3-x)^2=5，即2x^2-6x+4=0。解得x=1或x=2，所以y=2或y=1。所以xy=1×2=2。故答案為2。5.已知a，b，c是實數(shù)，且a^2+b^2+c^2=1，求證：(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥1。證明：由題意可知，a^2+b^2+c^2=1，所以(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=2-2(ab+bc+ca)。又因為a^2+b^2≥2ab，