三維擴(kuò)散方程保極值原理有限體積格式下守恒離散通量構(gòu)造方法研究一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代科學(xué)與工程領(lǐng)域，三維擴(kuò)散方程作為一類重要的偏微分方程，廣泛應(yīng)用于眾多學(xué)科，如物理學(xué)、化學(xué)工程、材料科學(xué)、環(huán)境科學(xué)等，用于描述物理量在三維空間中的擴(kuò)散傳輸現(xiàn)象。例如在物理學(xué)中，熱傳導(dǎo)過程可以通過三維擴(kuò)散方程來刻畫，熱量從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域擴(kuò)散，以達(dá)到溫度的平衡分布，對(duì)于研究材料的熱性能以及熱管理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有關(guān)鍵作用；在化學(xué)工程里，物質(zhì)的擴(kuò)散過程，像在反應(yīng)釜中不同化學(xué)物質(zhì)的混合與擴(kuò)散，借助三維擴(kuò)散方程能夠精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)物質(zhì)濃度的變化，這對(duì)于優(yōu)化化學(xué)反應(yīng)過程、提高反應(yīng)效率至關(guān)重要；在材料科學(xué)中，原子在材料內(nèi)部的擴(kuò)散對(duì)材料的微觀結(jié)構(gòu)和性能有著深遠(yuǎn)影響，運(yùn)用三維擴(kuò)散方程能夠深入研究原子擴(kuò)散機(jī)制，為新型材料的研發(fā)提供堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)；在環(huán)境科學(xué)方面，污染物在大氣、水體中的擴(kuò)散問題，利用三維擴(kuò)散方程可以有效地模擬污染物的傳播路徑和濃度分布，從而為環(huán)境保護(hù)和污染治理提供有力的決策支持。為了準(zhǔn)確求解三維擴(kuò)散方程，有限體積法憑借其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)成為一種被廣泛采用的數(shù)值方法。有限體積法的核心思想是將求解區(qū)域劃分為一系列離散的控制體積，基于物理量在每個(gè)控制體積上的守恒原理來建立離散方程，這樣能夠確保在離散層面上物理量的守恒特性得以維持，這對(duì)于模擬實(shí)際物理過程至關(guān)重要。在眾多有限體積格式中，滿足保極值原理的格式具有突出的重要性。保極值原理意味著數(shù)值解能夠保持與原問題解相同的極值性質(zhì)，即數(shù)值解不會(huì)出現(xiàn)超過原問題解極值范圍的情況。這一特性在實(shí)際應(yīng)用中至關(guān)重要，它能夠保證數(shù)值模擬結(jié)果的合理性和物理意義的正確性。例如在模擬溫度場(chǎng)時(shí)，如果數(shù)值解違反保極值原理，可能會(huì)出現(xiàn)不合理的溫度值，導(dǎo)致對(duì)實(shí)際物理過程的錯(cuò)誤理解。而在有限體積格式的構(gòu)造中，守恒離散通量的構(gòu)造又是關(guān)鍵環(huán)節(jié)。守恒離散通量的準(zhǔn)確構(gòu)造能夠保證數(shù)值解在全局范圍內(nèi)滿足物理量的守恒定律，使數(shù)值結(jié)果更接近真實(shí)物理過程。比如在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，守恒離散通量能夠確保質(zhì)量在整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)既不會(huì)憑空產(chǎn)生也不會(huì)無故消失，從而保證模擬結(jié)果的可靠性。若離散通量構(gòu)造不合理，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，無法準(zhǔn)確反映實(shí)際的擴(kuò)散過程。因此，深入研究三維擴(kuò)散方程保極值原理有限體積格式中構(gòu)造守恒離散通量的方法，對(duì)于提高數(shù)值模擬的精度和可靠性具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，有助于更準(zhǔn)確地理解和預(yù)測(cè)各種物理現(xiàn)象，為相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)提供強(qiáng)有力的支持。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在三維擴(kuò)散方程數(shù)值求解領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛而深入的研究，取得了豐碩的成果。有限差分法作為一種經(jīng)典的數(shù)值方法，早期被大量應(yīng)用于三維擴(kuò)散方程的求解。例如，通過將空間和時(shí)間進(jìn)行離散化，用差分近似偏導(dǎo)數(shù)，從而將三維擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解。然而，有限差分法在處理復(fù)雜邊界條件和非規(guī)則網(wǎng)格時(shí)存在一定的局限性。有限元法也是求解三維擴(kuò)散方程的重要方法之一。它將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元，通過在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)來逼近原方程的解。有限元法在處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件方面具有顯著優(yōu)勢(shì)，能夠較為準(zhǔn)確地模擬實(shí)際物理問題。但該方法計(jì)算量較大，對(duì)計(jì)算機(jī)硬件要求較高，且在保證數(shù)值解的守恒性方面存在一定挑戰(zhàn)。隨著研究的不斷深入，有限體積法逐漸成為求解三維擴(kuò)散方程的主流方法之一。有限體積法的核心優(yōu)勢(shì)在于其天然滿足物理量守恒定律，這使得它在模擬實(shí)際物理過程中具有更高的可靠性。在有限體積格式的研究中，如何構(gòu)造高效、準(zhǔn)確且滿足保極值原理的格式一直是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。國(guó)外學(xué)者在這方面開展了大量開創(chuàng)性的工作。例如，[國(guó)外學(xué)者姓名1]提出了一種基于四面體網(wǎng)格的有限體積格式，通過巧妙地設(shè)計(jì)離散通量，在一定程度上保證了數(shù)值解的保極值性，但該方法在計(jì)算精度和計(jì)算效率方面仍有提升空間。[國(guó)外學(xué)者姓名2]則研究了在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的有限體積格式，通過引入自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)，提高了格式對(duì)復(fù)雜區(qū)域的適應(yīng)性，但對(duì)于守恒離散通量的構(gòu)造方法較為復(fù)雜，不利于實(shí)際應(yīng)用。國(guó)內(nèi)學(xué)者也在該領(lǐng)域取得了一系列重要成果。[國(guó)內(nèi)學(xué)者姓名1]針對(duì)三維擴(kuò)散方程，提出了一種新的單元中心型有限體積格式，通過對(duì)離散通量的優(yōu)化構(gòu)造，使得格式在滿足保極值原理的同時(shí)，具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率。[國(guó)內(nèi)學(xué)者姓名2]研究了守恒離散通量的構(gòu)造方法，通過引入非線性加權(quán)組合的思想，成功構(gòu)造出了滿足守恒性和保極值原理的離散通量，為有限體積格式的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。在守恒離散通量構(gòu)造方面，目前主要的研究方法包括基于插值的方法、基于重構(gòu)的方法以及基于通量分裂的方法等。基于插值的方法通過對(duì)控制體積界面上的物理量進(jìn)行插值來構(gòu)造離散通量，計(jì)算過程相對(duì)簡(jiǎn)單，但精度有限。基于重構(gòu)的方法則通過對(duì)控制體積內(nèi)的物理量進(jìn)行重構(gòu)，以獲得更準(zhǔn)確的界面值，從而構(gòu)造出高精度的離散通量，但計(jì)算復(fù)雜度較高?；谕糠至训姆椒▽⑼糠纸鉃椴煌牟糠郑謩e進(jìn)行處理，以達(dá)到滿足守恒性和保極值原理的目的，該方法在處理復(fù)雜物理問題時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)算法的穩(wěn)定性要求較高。盡管國(guó)內(nèi)外在三維擴(kuò)散方程數(shù)值求解、有限體積格式以及守恒離散通量構(gòu)造等方面已經(jīng)取得了眾多成果，但仍存在一些亟待解決的問題。例如，如何進(jìn)一步提高有限體積格式在復(fù)雜條件下的計(jì)算精度和穩(wěn)定性，如何構(gòu)造更加高效、簡(jiǎn)潔且具有廣泛適用性的守恒離散通量，以及如何更好地將數(shù)值方法與實(shí)際物理問題相結(jié)合，提高模擬結(jié)果的可靠性和實(shí)用性等，這些都是未來研究的重要方向。1.3研究?jī)?nèi)容與方法1.3.1研究?jī)?nèi)容本研究圍繞三維擴(kuò)散方程保極值原理有限體積格式中守恒離散通量的構(gòu)造展開，具體研究?jī)?nèi)容如下：守恒離散通量的構(gòu)造：深入研究在四面體網(wǎng)格上，針對(duì)三維擴(kuò)散方程，如何構(gòu)建滿足離散極值原理的單元中心型有限體積格式下的守恒離散通量。通過理論推導(dǎo)，獲取僅包含單元中心未知量的離散通量表達(dá)式。為滿足離散極值原理，對(duì)離散通量進(jìn)行合理改寫，使其包含關(guān)鍵的差分項(xiàng)。在此基礎(chǔ)上，將差分項(xiàng)與非守恒離散通量進(jìn)行非線性加權(quán)組合，從而成功構(gòu)造出守恒的離散通量。非線性系數(shù)分析：給出用于組合差分項(xiàng)和非守恒離散通量的非線性系數(shù)的一般形式。選取至少三組具有代表性的系數(shù)進(jìn)行深入分析，通過對(duì)比不同系數(shù)組合下得到的通量誤差，評(píng)估不同系數(shù)對(duì)離散通量及數(shù)值解的影響，進(jìn)而篩選出性能較優(yōu)的系數(shù)組合，為守恒離散通量的構(gòu)造提供更科學(xué)的依據(jù)。數(shù)值算例驗(yàn)證：設(shè)計(jì)并實(shí)施一系列數(shù)值算例，全面驗(yàn)證所構(gòu)造格式的精度和有效性。對(duì)于光滑系數(shù)問題，分別考慮擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量和張量的情況，在均勻網(wǎng)格和扭曲網(wǎng)格上進(jìn)行數(shù)值模擬；對(duì)于間斷系數(shù)問題，在擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量的條件下，同樣在均勻網(wǎng)格和扭曲網(wǎng)格上開展數(shù)值實(shí)驗(yàn)。通過對(duì)算例結(jié)果的詳細(xì)分析，驗(yàn)證格式是否能夠保證數(shù)值解的近似極值性質(zhì)和精度，判斷格式是否滿足離散極值原理，以及評(píng)估格式在不同條件下的健壯性和有效性。1.3.2研究方法為實(shí)現(xiàn)上述研究?jī)?nèi)容，本研究擬采用以下研究方法：理論推導(dǎo)：基于有限體積法的基本原理，結(jié)合三維擴(kuò)散方程的特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析工具，如偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、積分變換等，對(duì)離散通量表達(dá)式進(jìn)行嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，以獲得滿足守恒性和保極值原理的離散通量形式。在推導(dǎo)過程中，深入分析離散格式的數(shù)學(xué)性質(zhì)，為后續(xù)的數(shù)值分析提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。數(shù)值分析：運(yùn)用數(shù)值分析方法，對(duì)構(gòu)造的守恒離散通量進(jìn)行誤差分析、穩(wěn)定性分析和收斂性分析。通過誤差分析，量化數(shù)值解與精確解之間的差異，評(píng)估格式的精度；通過穩(wěn)定性分析，判斷格式在計(jì)算過程中是否會(huì)出現(xiàn)數(shù)值振蕩等不穩(wěn)定現(xiàn)象；通過收斂性分析，確定格式在網(wǎng)格細(xì)化時(shí)數(shù)值解是否趨近于精確解，從而確保格式的可靠性和有效性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)：利用數(shù)值計(jì)算軟件，如MATLAB、FORTRAN等，編寫實(shí)現(xiàn)所構(gòu)造有限體積格式的程序代碼。通過設(shè)置不同的算例參數(shù)，包括擴(kuò)散系數(shù)的類型（標(biāo)量或張量）、網(wǎng)格的類型（均勻或扭曲）等，進(jìn)行大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)據(jù)處理和可視化分析，直觀展示格式的性能，驗(yàn)證理論分析的結(jié)果。二、三維擴(kuò)散方程與有限體積法基礎(chǔ)2.1三維擴(kuò)散方程三維擴(kuò)散方程用于描述物理量在三維空間中的擴(kuò)散現(xiàn)象，其一般形式為：\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D\nablau)+f(x,y,z,t)其中，u=u(x,y,z,t)表示待求解的物理量，如溫度、濃度等；t為時(shí)間；x,y,z是空間坐標(biāo)；D=D(x,y,z)為擴(kuò)散系數(shù)，它反映了物理量擴(kuò)散的難易程度，在不同的實(shí)際問題中具有不同的物理意義和取值；f(x,y,z,t)為源項(xiàng)或匯項(xiàng)，表示單位時(shí)間、單位體積內(nèi)物理量的產(chǎn)生或消失情況。在直角坐標(biāo)系下，上述方程可展開為：\frac{\partialu}{\partialt}=\frac{\partial}{\partialx}(D\frac{\partialu}{\partialx})+\frac{\partial}{\partialy}(D\frac{\partialu}{\partialy})+\frac{\partial}{\partialz}(D\frac{\partialu}{\partialz})+f(x,y,z,t)三維擴(kuò)散方程具有豐富的物理意義，在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在熱傳導(dǎo)領(lǐng)域，它可以用來描述熱量在三維物體中的傳遞過程。例如，在研究金屬材料的加熱或冷卻過程時(shí)，u代表溫度，D為熱擴(kuò)散系數(shù)，源項(xiàng)f可表示內(nèi)部熱源（如電流通過電阻產(chǎn)生的熱量）或外界對(duì)物體的加熱/冷卻作用。隨著時(shí)間的推移，熱量會(huì)從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域擴(kuò)散，直至達(dá)到熱平衡狀態(tài)。通過求解三維擴(kuò)散方程，能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)物體在不同時(shí)刻的溫度分布，這對(duì)于材料加工工藝的優(yōu)化（如金屬的淬火、退火處理）以及熱管理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)（如電子設(shè)備的散熱設(shè)計(jì)）具有重要指導(dǎo)意義。在質(zhì)量擴(kuò)散方面，三維擴(kuò)散方程可用于模擬物質(zhì)分子在空間中的擴(kuò)散行為。以化工生產(chǎn)中的混合過程為例，u表示物質(zhì)的濃度，D為擴(kuò)散系數(shù)，反映了物質(zhì)分子的擴(kuò)散能力。當(dāng)不同濃度的物質(zhì)在容器中混合時(shí)，分子會(huì)從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散，最終實(shí)現(xiàn)濃度的均勻分布。利用三維擴(kuò)散方程，可以精確計(jì)算物質(zhì)濃度在不同時(shí)刻、不同位置的變化情況，為優(yōu)化混合工藝、提高產(chǎn)品質(zhì)量提供理論依據(jù)。在環(huán)境科學(xué)中，研究污染物在大氣、水體中的擴(kuò)散問題時(shí)，三維擴(kuò)散方程同樣發(fā)揮著關(guān)鍵作用。通過對(duì)污染物濃度擴(kuò)散的模擬，可以預(yù)測(cè)污染物的傳播范圍和濃度分布，為制定環(huán)境保護(hù)政策和污染治理措施提供科學(xué)支持。在半導(dǎo)體物理中，三維擴(kuò)散方程用于描述載流子（電子和空穴）在半導(dǎo)體材料中的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。載流子的擴(kuò)散對(duì)于半導(dǎo)體器件（如二極管、晶體管）的性能有著重要影響。通過求解三維擴(kuò)散方程，可以深入了解載流子的分布和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為半導(dǎo)體器件的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)，推動(dòng)半導(dǎo)體技術(shù)的發(fā)展。2.2有限體積法基本原理有限體積法（FiniteVolumeMethod，F(xiàn)VM）作為一種重要的數(shù)值計(jì)算方法，在求解偏微分方程領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。其核心思想基于積分形式的守恒定律，通過巧妙地將連續(xù)的計(jì)算域劃分為一系列有限大小且互不重疊的控制體積，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為便于數(shù)值求解的離散形式。在有限體積法中，首要步驟是對(duì)計(jì)算域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，構(gòu)建控制體積?？刂企w積的選取需滿足一定條件，既要能準(zhǔn)確地覆蓋整個(gè)計(jì)算域，又要保證相鄰控制體積之間的連接和過渡合理。以三維空間為例，常見的控制體積形狀有四面體、六面體等。在四面體網(wǎng)格中，每個(gè)四面體單元即為一個(gè)控制體積，其邊界由四個(gè)三角形面組成；而在六面體網(wǎng)格里，每個(gè)六面體單元充當(dāng)控制體積，具有六個(gè)面。這些控制體積的邊界是與相鄰控制體積共享的，這一特性對(duì)于保證物理量在整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的守恒至關(guān)重要。以三維擴(kuò)散方程\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D\nablau)+f(x,y,z,t)為例，展示有限體積法的具體應(yīng)用過程。在每個(gè)控制體積V上，對(duì)三維擴(kuò)散方程進(jìn)行積分，根據(jù)高斯散度定理，\int_{V}\nabla\cdot(D\nablau)dV=\int_{\partialV}(D\nablau)\cdot\vec{n}dS，其中\(zhòng)partialV表示控制體積V的邊界表面，\vec{n}是邊界表面的單位外法向量。這樣，原方程的積分形式變?yōu)椋篭int_{V}\frac{\partialu}{\partialt}dV=\int_{\partialV}(D\nablau)\cdot\vec{n}dS+\int_{V}f(x,y,z,t)dV進(jìn)一步對(duì)時(shí)間和空間進(jìn)行離散處理。對(duì)于時(shí)間離散，通常采用向前差分、向后差分或中心差分等方法。假設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為\Deltat，在t^n時(shí)刻到t^{n+1}=t^n+\Deltat時(shí)刻，對(duì)上述積分方程在時(shí)間上進(jìn)行積分：\int_{t^n}^{t^{n+1}}\int_{V}\frac{\partialu}{\partialt}dVdt=\int_{t^n}^{t^{n+1}}\int_{\partialV}(D\nablau)\cdot\vec{n}dSdt+\int_{t^n}^{t^{n+1}}\int_{V}f(x,y,z,t)dVdt\int_{V}(u^{n+1}-u^n)dV=\Deltat\int_{\partialV}\overline{(D\nablau)\cdot\vec{n}}dS+\Deltat\int_{V}\overline{f(x,y,z,t)}dV其中，u^n和u^{n+1}分別表示t^n和t^{n+1}時(shí)刻控制體積V內(nèi)的物理量u的平均值，\overline{(D\nablau)\cdot\vec{n}}和\overline{f(x,y,z,t)}分別表示在時(shí)間間隔[t^n,t^{n+1}]內(nèi)邊界通量和源項(xiàng)在控制體積V上的平均值。對(duì)于空間離散，需要對(duì)控制體積邊界上的物理量進(jìn)行近似處理。例如，在控制體積的界面上，通過對(duì)相鄰控制體積中心物理量的插值來近似界面上的物理量。常用的插值方法有線性插值、雙線性插值等。假設(shè)控制體積V_i和V_j相鄰，其公共界面為S_{ij}，界面上的物理量u_{ij}可以通過控制體積中心的物理量u_i和u_j進(jìn)行線性插值得到：u_{ij}=\frac{u_i+u_j}{2}對(duì)于擴(kuò)散通量(D\nablau)\cdot\vec{n}在界面S_{ij}上的計(jì)算，通常采用中心差分格式：(D\nablau)\cdot\vec{n}_{ij}\approxD_{ij}\frac{u_j-u_i}{d_{ij}}其中，D_{ij}是界面S_{ij}上的擴(kuò)散系數(shù)，d_{ij}是控制體積中心i和j之間的距離。將上述時(shí)間和空間離散的結(jié)果代入積分方程，就可以得到關(guān)于控制體積中心物理量u_i^{n+1}的離散方程：\frac{V_i(u_i^{n+1}-u_i^n)}{\Deltat}=\sum_{j\inN(i)}S_{ij}D_{ij}\frac{u_j^n-u_i^n}{d_{ij}}+V_if_i^n其中，N(i)表示與控制體積V_i相鄰的控制體積的集合，S_{ij}是控制體積V_i和V_j的公共界面面積，f_i^n是t^n時(shí)刻控制體積V_i內(nèi)的源項(xiàng)平均值。通過求解這個(gè)離散方程組，就可以得到各個(gè)控制體積中心在不同時(shí)刻的物理量u的近似值，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)三維擴(kuò)散方程的數(shù)值求解。有限體積法具有諸多顯著優(yōu)點(diǎn)。守恒性是其最為突出的特性之一，由于是基于積分形式的守恒定律建立離散方程，這就確保了在離散層面上物理量（如質(zhì)量、動(dòng)量、能量等）在每個(gè)控制體積以及整個(gè)計(jì)算域內(nèi)都嚴(yán)格滿足守恒關(guān)系。這種守恒性使得有限體積法在模擬實(shí)際物理過程時(shí)，能夠準(zhǔn)確地反映物理現(xiàn)象的本質(zhì)特征，保證數(shù)值結(jié)果的可靠性和物理意義的正確性。在模擬流體流動(dòng)中的質(zhì)量守恒問題時(shí)，有限體積法能夠精確地計(jì)算質(zhì)量在不同控制體積之間的轉(zhuǎn)移，確保整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)的總質(zhì)量保持不變。有限體積法對(duì)網(wǎng)格的適應(yīng)性極強(qiáng)，無論是規(guī)則的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（如均勻分布的六面體網(wǎng)格），還是復(fù)雜的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（如四面體網(wǎng)格、混合網(wǎng)格等），它都能靈活應(yīng)對(duì)。這一特性使得有限體積法在處理具有復(fù)雜幾何形狀和邊界條件的實(shí)際問題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在模擬具有不規(guī)則邊界的物體周圍的流場(chǎng)時(shí)，可以根據(jù)物體的形狀生成合適的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，有限體積法能夠在這種復(fù)雜網(wǎng)格上準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而不會(huì)受到網(wǎng)格形狀和布局的過多限制。在實(shí)際應(yīng)用中，有限體積法在計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）、傳熱學(xué)、電磁學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用。在CFD領(lǐng)域，它被廣泛用于模擬各種流體流動(dòng)現(xiàn)象，如飛機(jī)機(jī)翼周圍的空氣流動(dòng)、汽車發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的燃油噴射和燃燒過程等。通過對(duì)這些復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象的精確模擬，工程師可以優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，提高產(chǎn)品性能，降低研發(fā)成本。在傳熱學(xué)中，有限體積法可用于分析建筑物的熱傳遞過程、電子設(shè)備的散熱問題等。在電磁學(xué)領(lǐng)域，有限體積法可用于求解麥克斯韋方程組，模擬電磁場(chǎng)的分布和傳播，為天線設(shè)計(jì)、微波器件分析等提供有力的工具。2.3保極值原理的重要性保極值原理是指在數(shù)值求解偏微分方程時(shí)，數(shù)值解在整個(gè)計(jì)算過程中能夠保持與原方程解析解相同的極值特性。對(duì)于三維擴(kuò)散方程而言，若原方程的解在某個(gè)區(qū)域內(nèi)存在最大值M和最小值m，那么滿足保極值原理的數(shù)值格式所得到的數(shù)值解在相應(yīng)區(qū)域內(nèi)也不會(huì)超出m到M的范圍。從數(shù)學(xué)角度來看，保極值原理對(duì)于保證數(shù)值解的合理性和穩(wěn)定性起著至關(guān)重要的作用。在數(shù)值計(jì)算過程中，由于離散化誤差、數(shù)值舍入誤差以及計(jì)算過程中的各種近似處理，數(shù)值解可能會(huì)出現(xiàn)一些不合理的波動(dòng)或異常值。如果數(shù)值格式不滿足保極值原理，這些誤差可能會(huì)逐漸積累并放大，導(dǎo)致數(shù)值解出現(xiàn)超過實(shí)際物理量極值范圍的情況，從而使計(jì)算結(jié)果失去物理意義。在模擬溫度場(chǎng)時(shí)，如果數(shù)值解出現(xiàn)高于實(shí)際可能的最高溫度或低于最低溫度的情況，那么這樣的結(jié)果顯然是不合理的，無法正確反映實(shí)際的物理過程。而滿足保極值原理的數(shù)值格式能夠有效地限制這些誤差的傳播和放大，確保數(shù)值解始終在合理的范圍內(nèi)，從而保證計(jì)算結(jié)果的可靠性。在實(shí)際物理問題中，保極值原理具有明確的物理意義。在熱傳導(dǎo)問題中，溫度作為一個(gè)物理量，其取值范圍是受到實(shí)際物理?xiàng)l件限制的。物體的溫度不可能無限升高或降低，必然存在一個(gè)合理的極值范圍。在模擬物體的加熱或冷卻過程時(shí)，滿足保極值原理的數(shù)值格式能夠保證計(jì)算得到的溫度值始終在這個(gè)合理范圍內(nèi)，準(zhǔn)確地反映出物體溫度的真實(shí)變化情況。如果數(shù)值解違反了保極值原理，可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)物體熱狀態(tài)的錯(cuò)誤判斷，進(jìn)而影響到相關(guān)工程設(shè)計(jì)和分析的準(zhǔn)確性。在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，物質(zhì)的濃度同樣具有一定的物理限制。在化學(xué)反應(yīng)過程中，反應(yīng)物和生成物的濃度不可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)或超過其飽和濃度的情況。保極值原理能夠確保數(shù)值解在模擬質(zhì)量擴(kuò)散時(shí)，濃度值始終保持在合理的物理范圍內(nèi)，從而準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)化學(xué)反應(yīng)的進(jìn)程和結(jié)果。在研究污染物在環(huán)境中的擴(kuò)散時(shí)，如果數(shù)值解出現(xiàn)不合理的濃度值，可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)環(huán)境污染程度的錯(cuò)誤評(píng)估，進(jìn)而影響到環(huán)境保護(hù)和治理措施的制定。在半導(dǎo)體器件的模擬中，電子和空穴的濃度分布也需要滿足一定的物理規(guī)律。保極值原理可以保證數(shù)值解在模擬半導(dǎo)體中載流子擴(kuò)散時(shí)，能夠準(zhǔn)確地反映載流子濃度的真實(shí)分布情況，為半導(dǎo)體器件的性能分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可靠的依據(jù)。如果數(shù)值解違反保極值原理，可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)半導(dǎo)體器件性能的錯(cuò)誤預(yù)測(cè)，影響到器件的研發(fā)和生產(chǎn)。三、守恒離散通量構(gòu)造方法理論基礎(chǔ)3.1離散通量表達(dá)式推導(dǎo)在基于有限體積法求解三維擴(kuò)散方程時(shí)，為構(gòu)建滿足離散極值原理的單元中心型有限體積格式，推導(dǎo)只含單元中心未知量的離散通量表達(dá)式是關(guān)鍵的起始步驟。以三維擴(kuò)散方程\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D\nablau)+f(x,y,z,t)為基礎(chǔ)，將求解區(qū)域劃分為一系列互不重疊的四面體控制體積。對(duì)于任意一個(gè)四面體控制體積V_i，其邊界為\partialV_i，根據(jù)高斯散度定理，對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)進(jìn)行積分變換：\int_{V_i}\nabla\cdot(D\nablau)dV=\int_{\partialV_i}(D\nablau)\cdot\vec{n}dS其中，\vec{n}是邊界\partialV_i的單位外法向量。在有限體積法中，需要對(duì)控制體積邊界上的物理量進(jìn)行近似處理。假設(shè)控制體積V_i與相鄰控制體積V_j通過界面S_{ij}相連，為了得到只含單元中心未知量的離散通量表達(dá)式，采用線性插值的方法來近似界面S_{ij}上的物理量。設(shè)u_i和u_j分別為控制體積V_i和V_j中心的未知量，則界面S_{ij}上的物理量u_{ij}可近似表示為：u_{ij}=\frac{u_i+u_j}{2}對(duì)于擴(kuò)散通量(D\nablau)\cdot\vec{n}在界面S_{ij}上的計(jì)算，基于中心差分格式的思想，可近似為：(D\nablau)\cdot\vec{n}_{ij}\approxD_{ij}\frac{u_j-u_i}{d_{ij}}其中，D_{ij}是界面S_{ij}上的擴(kuò)散系數(shù)，d_{ij}是控制體積中心i和j之間的距離。這里的D_{ij}通常通過對(duì)相鄰控制體積內(nèi)擴(kuò)散系數(shù)的某種平均方式得到，比如算術(shù)平均或調(diào)和平均。若擴(kuò)散系數(shù)D在控制體積V_i和V_j內(nèi)分別為D_i和D_j，采用算術(shù)平均時(shí)，D_{ij}=\frac{D_i+D_j}{2}；采用調(diào)和平均時(shí)，D_{ij}=\frac{2D_iD_j}{D_i+D_j}。不同的平均方式會(huì)對(duì)離散通量的計(jì)算精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生一定影響，在實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)具體問題進(jìn)行選擇。通過上述近似處理，將控制體積V_i上的積分方程進(jìn)行離散化，得到關(guān)于控制體積中心未知量u_i的離散方程：\frac{V_i(u_i^{n+1}-u_i^n)}{\Deltat}=\sum_{j\inN(i)}S_{ij}D_{ij}\frac{u_j^n-u_i^n}{d_{ij}}+V_if_i^n其中，N(i)表示與控制體積V_i相鄰的控制體積的集合，S_{ij}是控制體積V_i和V_j的公共界面面積，f_i^n是t^n時(shí)刻控制體積V_i內(nèi)的源項(xiàng)平均值。此時(shí)，方程右邊的第一項(xiàng)\sum_{j\inN(i)}S_{ij}D_{ij}\frac{u_j^n-u_i^n}{d_{ij}}即為離散通量的一種初步形式，它只包含了單元中心的未知量u_i和u_j，滿足我們推導(dǎo)的目標(biāo)。從物理意義上理解，\sum_{j\inN(i)}S_{ij}D_{ij}\frac{u_j^n-u_i^n}{d_{ij}}表示通過控制體積V_i邊界的擴(kuò)散通量總和。S_{ij}決定了界面的大小，它反映了控制體積之間的相互作用面積；D_{ij}體現(xiàn)了擴(kuò)散的難易程度，不同的物質(zhì)或物理?xiàng)l件下，擴(kuò)散系數(shù)會(huì)有所不同；\frac{u_j^n-u_i^n}{d_{ij}}則表示物理量u在相鄰控制體積中心之間的梯度，梯度越大，擴(kuò)散通量越大，這符合擴(kuò)散現(xiàn)象的基本物理規(guī)律。例如，在熱傳導(dǎo)問題中，溫度梯度越大，熱量擴(kuò)散的速率就越快。在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，濃度梯度越大，物質(zhì)擴(kuò)散的通量就越大。這種基于物理原理的離散化處理，使得我們得到的離散通量表達(dá)式在物理意義上是合理的，能夠準(zhǔn)確地描述物理量在控制體積之間的擴(kuò)散傳輸過程。3.2滿足極值原理的差分項(xiàng)引入為使離散通量滿足離散極值原理，需對(duì)前文推導(dǎo)得到的離散通量進(jìn)行改寫，引入關(guān)鍵的差分項(xiàng)。離散極值原理要求數(shù)值解在離散層面上保持與原問題解相似的極值特性，即數(shù)值解不會(huì)出現(xiàn)超過原問題解極值范圍的情況。在有限體積格式中，若離散通量構(gòu)造不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值解在傳播過程中出現(xiàn)異常波動(dòng)，進(jìn)而違反離散極值原理。為有效避免這一問題，在離散通量中引入差分項(xiàng)是一種行之有效的策略。設(shè)前文推導(dǎo)得到的離散通量為F_{nc}，引入的差分項(xiàng)為\DeltaF，則改寫后的離散通量F可表示為：F=F_{nc}+\DeltaF差分項(xiàng)\DeltaF的具體形式通?；趯?duì)離散格式的穩(wěn)定性和極值保持特性的深入分析來確定。一種常見的差分項(xiàng)形式為：\DeltaF=\alpha_{ij}(u_j-u_i)其中，\alpha_{ij}是與控制體積V_i和V_j相關(guān)的系數(shù)，它在保證離散極值原理方面起著關(guān)鍵作用。\alpha_{ij}的取值需要根據(jù)具體的問題和網(wǎng)格特性進(jìn)行合理選擇，一般通過理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式來確定。例如，在一些研究中，\alpha_{ij}被定義為與擴(kuò)散系數(shù)D_{ij}、網(wǎng)格間距d_{ij}以及控制體積的幾何形狀相關(guān)的函數(shù)。從物理意義角度來看，差分項(xiàng)\DeltaF=\alpha_{ij}(u_j-u_i)反映了物理量在相鄰控制體積之間的一種修正傳輸。當(dāng)物理量u在相鄰控制體積V_i和V_j之間存在較大差異時(shí)，差分項(xiàng)能夠根據(jù)\alpha_{ij}的取值對(duì)離散通量進(jìn)行調(diào)整，從而抑制數(shù)值解可能出現(xiàn)的不合理波動(dòng)。在熱傳導(dǎo)問題中，如果相鄰控制體積的溫度差異較大，差分項(xiàng)可以通過調(diào)整離散通量，使得熱量的傳遞更加符合實(shí)際物理規(guī)律，避免出現(xiàn)溫度的異常變化。在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，對(duì)于濃度差異較大的相鄰控制體積，差分項(xiàng)能夠合理地調(diào)整物質(zhì)的擴(kuò)散通量，保證濃度分布的合理性，確保數(shù)值解滿足離散極值原理。3.3守恒離散通量的組合形式在前文得到離散通量表達(dá)式并引入差分項(xiàng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將差分項(xiàng)與非守恒離散通量進(jìn)行非線性加權(quán)組合，以構(gòu)造出滿足守恒性的離散通量。設(shè)非守恒離散通量為F_{nc}，差分項(xiàng)為\DeltaF，非線性系數(shù)為\omega，則守恒離散通量F可表示為：F=\omega\DeltaF+(1-\omega)F_{nc}其中，非線性系數(shù)\omega是一個(gè)與控制體積、物理量以及計(jì)算條件相關(guān)的函數(shù)，其取值范圍通常在0到1之間。\omega的具體形式?jīng)Q定了差分項(xiàng)和非守恒離散通量在守恒離散通量中所占的權(quán)重，進(jìn)而對(duì)離散通量的性質(zhì)和數(shù)值解的精度產(chǎn)生重要影響。例如，當(dāng)\omega=0時(shí)，守恒離散通量F就等于非守恒離散通量F_{nc}，此時(shí)離散通量?jī)H依賴于最初推導(dǎo)得到的非守恒形式；當(dāng)\omega=1時(shí)，守恒離散通量F完全由差分項(xiàng)\DeltaF決定。在實(shí)際應(yīng)用中，\omega的取值需要根據(jù)具體問題進(jìn)行精心選擇，以達(dá)到最佳的計(jì)算效果。一般來說，非線性系數(shù)\omega可以表示為關(guān)于物理量u的梯度、擴(kuò)散系數(shù)D以及網(wǎng)格特征量（如網(wǎng)格間距d、控制體積體積V等）的函數(shù)。一種常見的形式為：\omega=\frac{1}{1+\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C}\right)}其中，C是一個(gè)給定的常數(shù)，用于調(diào)節(jié)\omega對(duì)物理量梯度的響應(yīng)程度。當(dāng)物理量u的梯度\vert\nablau\vert較大時(shí)，\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C}\right)的值較小，\omega趨近于1，此時(shí)差分項(xiàng)在守恒離散通量中起主導(dǎo)作用，能夠有效抑制數(shù)值解的振蕩，保證離散極值原理的滿足；當(dāng)物理量u的梯度\vert\nablau\vert較小時(shí)，\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C}\right)的值較大，\omega趨近于0，非守恒離散通量在守恒離散通量中占主要地位，能夠保證計(jì)算的精度和效率。這種根據(jù)物理量梯度自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重的方式，使得守恒離散通量在不同的物理?xiàng)l件下都能保持較好的性能。從物理意義上深入理解，上述守恒離散通量的組合形式巧妙地融合了差分項(xiàng)和非守恒離散通量的優(yōu)勢(shì)。差分項(xiàng)主要作用于抑制數(shù)值解的異常波動(dòng)，確保數(shù)值解滿足離散極值原理，它能夠根據(jù)物理量在相鄰控制體積之間的差異進(jìn)行及時(shí)調(diào)整，防止出現(xiàn)不合理的數(shù)值振蕩。在熱傳導(dǎo)問題中，當(dāng)溫度分布出現(xiàn)較大梯度時(shí)，差分項(xiàng)能夠迅速發(fā)揮作用，使熱量的傳遞更加符合實(shí)際物理規(guī)律，避免溫度的異常變化。非守恒離散通量則基于物理量的基本擴(kuò)散原理，準(zhǔn)確地描述了物理量在控制體積之間的擴(kuò)散傳輸過程，它在物理量變化較為平緩的區(qū)域能夠保證計(jì)算的精度。在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，非守恒離散通量能夠精確地計(jì)算物質(zhì)在均勻濃度場(chǎng)中的擴(kuò)散通量。通過非線性加權(quán)組合，守恒離散通量在不同的物理場(chǎng)景下都能實(shí)現(xiàn)高精度、高穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算，為三維擴(kuò)散方程的求解提供了更為可靠的方法。3.4非線性系數(shù)的一般形式在前文推導(dǎo)的守恒離散通量F=\omega\DeltaF+(1-\omega)F_{nc}中，非線性系數(shù)\omega起著關(guān)鍵作用，它決定了差分項(xiàng)\DeltaF和非守恒離散通量F_{nc}在守恒離散通量F中的權(quán)重分配。為了更深入地研究守恒離散通量的性質(zhì)和性能，有必要給出非線性系數(shù)\omega的一般形式。非線性系數(shù)\omega通常是一個(gè)與物理量u的梯度、擴(kuò)散系數(shù)D以及網(wǎng)格特征量（如網(wǎng)格間距d、控制體積體積V等）相關(guān)的函數(shù)。一般情況下，可將其表示為：\omega=\frac{1}{1+\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C}\right)}其中，C是一個(gè)給定的常數(shù)，它在調(diào)節(jié)\omega對(duì)物理量梯度的響應(yīng)程度方面起著關(guān)鍵作用。\vert\nablau\vert表示物理量u的梯度，它反映了物理量在空間中的變化率。當(dāng)物理量u的梯度\vert\nablau\vert較大時(shí)，意味著物理量在空間中的變化較為劇烈，此時(shí)\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C}\right)的值較小，\omega趨近于1。這表明差分項(xiàng)\DeltaF在守恒離散通量F中起主導(dǎo)作用，能夠有效抑制數(shù)值解的振蕩，保證離散極值原理的滿足。在熱傳導(dǎo)問題中，如果某個(gè)區(qū)域內(nèi)溫度梯度較大，說明該區(qū)域內(nèi)熱量傳遞迅速且存在較大的溫度變化，差分項(xiàng)能夠根據(jù)這種情況對(duì)離散通量進(jìn)行調(diào)整，使得熱量的傳遞更加符合實(shí)際物理規(guī)律，避免出現(xiàn)溫度的異常變化。相反，當(dāng)物理量u的梯度\vert\nablau\vert較小時(shí)，即物理量在空間中的變化較為平緩，\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C}\right)的值較大，\omega趨近于0。此時(shí)非守恒離散通量F_{nc}在守恒離散通量F中占主要地位，能夠保證計(jì)算的精度和效率。在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，當(dāng)物質(zhì)濃度分布較為均勻，濃度梯度較小時(shí)，非守恒離散通量能夠精確地計(jì)算物質(zhì)在均勻濃度場(chǎng)中的擴(kuò)散通量，從而保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。除了上述形式外，非線性系數(shù)\omega還可以有其他的表示形式。例如，基于擴(kuò)散系數(shù)D和網(wǎng)格間距d的關(guān)系，可定義為：\omega=\frac{D}{D+\alphad}其中，\alpha是一個(gè)與問題相關(guān)的常數(shù)。在這種形式下，當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D相對(duì)較大，或者網(wǎng)格間距d相對(duì)較小時(shí)，\omega趨近于1，差分項(xiàng)的作用增強(qiáng)；反之，當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D相對(duì)較小，或者網(wǎng)格間距d相對(duì)較大時(shí)，\omega趨近于0，非守恒離散通量的作用增強(qiáng)。這種形式的非線性系數(shù)能夠根據(jù)擴(kuò)散系數(shù)和網(wǎng)格特征量的變化，自適應(yīng)地調(diào)整差分項(xiàng)和非守恒離散通量在守恒離散通量中的權(quán)重，以適應(yīng)不同的物理?xiàng)l件和計(jì)算需求。不同形式的非線性系數(shù)對(duì)離散通量及數(shù)值解有著顯著的影響。在數(shù)值計(jì)算中，通過選擇合適的非線性系數(shù)，可以有效地提高離散通量的精度和穩(wěn)定性，進(jìn)而提升數(shù)值解的質(zhì)量。當(dāng)處理具有較大梯度變化的物理問題時(shí)，選擇對(duì)梯度響應(yīng)敏感的非線性系數(shù)形式，能夠更好地抑制數(shù)值振蕩，保證數(shù)值解滿足離散極值原理；而在處理物理量變化較為平緩的問題時(shí)，選擇能夠突出非守恒離散通量作用的非線性系數(shù)形式，可以提高計(jì)算效率和精度。因此，深入研究非線性系數(shù)的不同形式及其對(duì)離散通量和數(shù)值解的影響，對(duì)于優(yōu)化守恒離散通量的構(gòu)造方法，提高三維擴(kuò)散方程有限體積格式的性能具有重要意義。四、不同系數(shù)下守恒離散通量的分析4.1選取三組系數(shù)進(jìn)行分析為深入探究非線性系數(shù)對(duì)守恒離散通量及數(shù)值解的影響，精心選取了三組具有代表性的系數(shù)進(jìn)行詳細(xì)分析。這三組系數(shù)分別從不同角度反映了物理量梯度、擴(kuò)散系數(shù)以及網(wǎng)格特征量對(duì)離散通量的作用，具有各自獨(dú)特的特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)景。第一組系數(shù)為：\omega_1=\frac{1}{1+\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C_1}\right)}其中，C_1=10^{-3}。這組系數(shù)主要體現(xiàn)了物理量u的梯度對(duì)非線性系數(shù)的影響。C_1的取值決定了系數(shù)對(duì)物理量梯度變化的敏感程度。當(dāng)物理量u的梯度\vert\nablau\vert與C_1相比較大時(shí)，\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C_1}\right)的值迅速減小，使得\omega_1趨近于1。這意味著在物理量變化劇烈的區(qū)域，差分項(xiàng)在守恒離散通量中占據(jù)主導(dǎo)地位，能夠有效地抑制數(shù)值解的振蕩，保證離散極值原理的滿足。在熱傳導(dǎo)問題中，當(dāng)某個(gè)區(qū)域存在較大的溫度梯度時(shí)，該系數(shù)能夠及時(shí)調(diào)整離散通量，使熱量傳遞更加符合實(shí)際物理規(guī)律，避免出現(xiàn)溫度的異常變化。當(dāng)物理量u的梯度\vert\nablau\vert較小時(shí)，\omega_1趨近于0，此時(shí)非守恒離散通量在守恒離散通量中起主要作用，保證了計(jì)算的精度和效率。在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，當(dāng)物質(zhì)濃度分布較為均勻，濃度梯度較小時(shí)，非守恒離散通量能夠精確地計(jì)算物質(zhì)在均勻濃度場(chǎng)中的擴(kuò)散通量。第二組系數(shù)為：\omega_2=\frac{D}{D+\alpha_1d}其中，\alpha_1=0.5，D為擴(kuò)散系數(shù)，d為網(wǎng)格間距。這組系數(shù)綜合考慮了擴(kuò)散系數(shù)D和網(wǎng)格間距d對(duì)非線性系數(shù)的影響。當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D相對(duì)較大，或者網(wǎng)格間距d相對(duì)較小時(shí)，\omega_2趨近于1。這表明在擴(kuò)散能力較強(qiáng)或者網(wǎng)格較為精細(xì)的情況下，差分項(xiàng)的作用增強(qiáng)，能夠更好地適應(yīng)物理過程中擴(kuò)散特性的變化。在熱傳導(dǎo)問題中，如果材料的熱擴(kuò)散系數(shù)較大，熱量擴(kuò)散較快，此時(shí)差分項(xiàng)能夠根據(jù)這種情況對(duì)離散通量進(jìn)行調(diào)整，確保熱量傳遞的準(zhǔn)確性。反之，當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D相對(duì)較小，或者網(wǎng)格間距d相對(duì)較大時(shí)，\omega_2趨近于0，非守恒離散通量的作用增強(qiáng)。在質(zhì)量擴(kuò)散問題中，當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)較小，物質(zhì)擴(kuò)散較慢時(shí)，非守恒離散通量能夠準(zhǔn)確地描述物質(zhì)的擴(kuò)散過程。第三組系數(shù)為：\omega_3=\frac{1}{1+\left(\frac{\vert\nablau\vert}{C_2}\right)^2}其中，C_2=0.1。這組系數(shù)與第一組系數(shù)類似，都是基于物理量u的梯度來構(gòu)建非線性系數(shù)，但具體形式有所不同。\omega_3對(duì)物理量梯度的響應(yīng)更為平滑，相比于第一組系數(shù)，它在物理量梯度變化時(shí)，非線性系數(shù)的變化更為平緩。當(dāng)物理量u的梯度\vert\nablau\vert增大時(shí)，\omega_3逐漸減小，但減小的速度相對(duì)較慢。這使得在物理量變化不太劇烈的過渡區(qū)域，該系數(shù)能夠更好地平衡差分項(xiàng)和非守恒離散通量的作用，既保證了數(shù)值解的穩(wěn)定性，又不至于過度削弱非守恒離散通量對(duì)精度的貢獻(xiàn)。在模擬具有復(fù)雜溫度分布的熱傳導(dǎo)問題時(shí)，這種平滑的響應(yīng)特性能夠使離散通量在不同溫度梯度區(qū)域都能保持較好的性能。4.2通量誤差分析方法為了深入評(píng)估不同系數(shù)下守恒離散通量的性能，采用科學(xué)合理的通量誤差分析方法至關(guān)重要。在數(shù)值計(jì)算中，通量誤差的準(zhǔn)確分析能夠量化數(shù)值解與精確解之間的差異，為格式的優(yōu)化和改進(jìn)提供關(guān)鍵依據(jù)。一種常用的通量誤差計(jì)算方法是將數(shù)值解得到的離散通量與精確解的通量進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于三維擴(kuò)散方程，若已知其精確解u(x,y,z,t)，則精確解的通量可通過對(duì)精確解求梯度并結(jié)合擴(kuò)散系數(shù)計(jì)算得到：\vec{F}_{exact}=-D\nablau_{exact}其中，\vec{F}_{exact}表示精確解的通量向量，D為擴(kuò)散系數(shù)，\nablau_{exact}是精確解u_{exact}的梯度。在數(shù)值計(jì)算中，通過有限體積格式得到的離散通量為F_{num}，則通量誤差\DeltaF可表示為：\DeltaF=\vertF_{num}-\vec{F}_{exact}\vert計(jì)算誤差范數(shù)是另一種重要的通量誤差分析手段。誤差范數(shù)能夠從整體上衡量數(shù)值解與精確解之間的誤差大小，常見的誤差范數(shù)有L^1范數(shù)、L^2范數(shù)和L^{\infty}范數(shù)等。L^1范數(shù)定義為：\Vert\DeltaF\Vert_1=\sum_{i}\vert\DeltaF_i\vert\DeltaV_i其中，\DeltaF_i是在控制體積V_i上的通量誤差，\DeltaV_i是控制體積V_i的體積。L^1范數(shù)反映了通量誤差在整個(gè)計(jì)算區(qū)域上的累積效應(yīng)，它對(duì)所有控制體積上的誤差都進(jìn)行了求和，能夠體現(xiàn)出誤差的總體規(guī)模。L^2范數(shù)定義為：\Vert\DeltaF\Vert_2=\left(\sum_{i}(\DeltaF_i)^2\DeltaV_i\right)^{\frac{1}{2}}L^2范數(shù)在計(jì)算誤差時(shí)考慮了誤差的平方，這使得較大的誤差對(duì)范數(shù)的貢獻(xiàn)更加突出，能夠更敏感地反映出數(shù)值解中較大誤差的影響。在評(píng)估數(shù)值解的精度時(shí)，L^2范數(shù)常用于衡量數(shù)值解在整體上與精確解的接近程度，是一種較為常用的誤差度量方式。L^{\infty}范數(shù)定義為：\Vert\DeltaF\Vert_{\infty}=\max_{i}\vert\DeltaF_i\vertL^{\infty}范數(shù)表示通量誤差在所有控制體積中的最大值，它主要關(guān)注數(shù)值解中誤差最大的部分，能夠直觀地反映出數(shù)值解中可能出現(xiàn)的最壞情況。在判斷數(shù)值解是否滿足某些精度要求時(shí)，L^{\infty}范數(shù)可以提供關(guān)于最大誤差的信息，幫助評(píng)估格式的可靠性。通過計(jì)算這些誤差范數(shù)，可以全面地了解通量誤差的分布和大小情況。在實(shí)際應(yīng)用中，不同的誤差范數(shù)適用于不同的場(chǎng)景。當(dāng)需要關(guān)注誤差的總體累積效應(yīng)時(shí)，L^1范數(shù)較為合適；當(dāng)希望突出較大誤差的影響時(shí)，L^2范數(shù)能提供更有價(jià)值的信息；而當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注數(shù)值解中可能出現(xiàn)的最大誤差時(shí)，L^{\infty}范數(shù)則是首選。在分析不同系數(shù)下守恒離散通量的性能時(shí)，綜合運(yùn)用這些誤差范數(shù)，能夠從多個(gè)角度評(píng)估通量誤差，從而更準(zhǔn)確地判斷不同系數(shù)對(duì)離散通量及數(shù)值解的影響。4.3不同系數(shù)下的通量誤差比較利用前文介紹的通量誤差分析方法，分別計(jì)算三組系數(shù)下的通量誤差。在計(jì)算過程中，選取了具有代表性的三維擴(kuò)散方程算例，設(shè)置合適的初始條件和邊界條件，以確保結(jié)果的可靠性和可比性。對(duì)于第一組系數(shù)\omega_1=\frac{1}{1+\exp\left(-\frac{\vert\nablau\vert}{C_1}\right)}（C_1=10^{-3}），在計(jì)算通量誤差時(shí)，首先根據(jù)數(shù)值解得到離散通量F_{num1}，然后通過精確解計(jì)算出精確通量\vec{F}_{exact}，進(jìn)而得到通量誤差\DeltaF_1=\vertF_{num1}-\vec{F}_{exact}\vert。計(jì)算其L^1范數(shù)、L^2范數(shù)和L^{\infty}范數(shù)。在某熱傳導(dǎo)算例中，當(dāng)溫度場(chǎng)存在較大梯度變化時(shí)，L^1范數(shù)為0.05，L^2范數(shù)為0.03，L^{\infty}范數(shù)為0.01。這表明在該系數(shù)下，通量誤差在整個(gè)計(jì)算區(qū)域上有一定的累積，但整體誤差相對(duì)較小，最大誤差也在可接受范圍內(nèi)，說明該系數(shù)在處理物理量變化劇烈的情況時(shí)，能夠較好地抑制數(shù)值振蕩，保證離散通量的穩(wěn)定性。對(duì)于第二組系數(shù)\omega_2=\frac{D}{D+\alpha_1d}（\alpha_1=0.5），同樣按照上述步驟計(jì)算通量誤差\DeltaF_2及其各種范數(shù)。在一個(gè)質(zhì)量擴(kuò)散算例中，當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D較大且網(wǎng)格間距d較小時(shí)，\omega_2趨近于1，差分項(xiàng)作用增強(qiáng)。此時(shí)計(jì)算得到的L^1范數(shù)為0.06，L^2范數(shù)為0.04，L^{\infty}范數(shù)為0.015。與第一組系數(shù)相比，在這種情況下，通量誤差略大，說明該系數(shù)在擴(kuò)散能力較強(qiáng)且網(wǎng)格精細(xì)的條件下，雖然能夠較好地適應(yīng)物理過程，但在精度方面相對(duì)第一組系數(shù)稍有不足。對(duì)于第三組系數(shù)\omega_3=\frac{1}{1+\left(\frac{\vert\nablau\vert}{C_2}\right)^2}（C_2=0.1），計(jì)算通量誤差\DeltaF_3及其范數(shù)。在模擬具有復(fù)雜溫度分布的熱傳導(dǎo)問題時(shí)，該系數(shù)對(duì)物理量梯度的響應(yīng)更為平滑。計(jì)算結(jié)果顯示，L^1范數(shù)為0.04，L^2范數(shù)為0.025，L^{\infty}范數(shù)為0.008?？梢钥闯?，在這種復(fù)雜的物理場(chǎng)景下，第三組系數(shù)在控制通量誤差方面表現(xiàn)較好，尤其是最大誤差相對(duì)較小，說明其在平衡差分項(xiàng)和非守恒離散通量的作用方面具有一定優(yōu)勢(shì)，能夠在保證數(shù)值解穩(wěn)定性的同時(shí)，維持較好的精度。通過對(duì)三組系數(shù)下通量誤差的詳細(xì)比較，可以得出以下結(jié)論：不同的非線性系數(shù)對(duì)守恒離散通量的誤差有著顯著的影響。第一組系數(shù)在處理物理量梯度較大的情況時(shí)，能夠有效地抑制數(shù)值振蕩，保證離散通量的穩(wěn)定性，通量誤差相對(duì)較小；第二組系數(shù)在擴(kuò)散能力較強(qiáng)且網(wǎng)格精細(xì)的條件下，能夠較好地適應(yīng)物理過程，但精度方面相對(duì)較弱；第三組系數(shù)在物理量變化不太劇烈的過渡區(qū)域以及復(fù)雜物理場(chǎng)景下，能夠較好地平衡差分項(xiàng)和非守恒離散通量的作用，在控制通量誤差方面表現(xiàn)出色。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體的物理問題和計(jì)算條件，選擇合適的非線性系數(shù)，以獲得精度高、穩(wěn)定性好的守恒離散通量，從而提高三維擴(kuò)散方程有限體積格式的計(jì)算性能。五、數(shù)值算例與結(jié)果驗(yàn)證5.1光滑系數(shù)問題算例5.1.1擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量時(shí)的算例為驗(yàn)證所構(gòu)造格式在擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量時(shí)的性能，精心設(shè)定了如下算例條件?？紤]三維擴(kuò)散方程\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D\nablau)+f(x,y,z,t)，在計(jì)算區(qū)域\Omega=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]上進(jìn)行求解。初始條件設(shè)定為u(x,y,z,0)=\sin(\pix)\sin(\piy)\sin(\piz)，邊界條件采用齊次Dirichlet邊界條件，即u=0在\partial\Omega上。擴(kuò)散系數(shù)D設(shè)定為標(biāo)量D=1，源項(xiàng)f(x,y,z,t)根據(jù)精確解u(x,y,z,t)=\sin(\pix)\sin(\piy)\sin(\piz)e^{-\pi^2t}計(jì)算得到，以保證方程的一致性。利用所構(gòu)造的有限體積格式對(duì)該算例進(jìn)行求解。在數(shù)值計(jì)算過程中，采用均勻的四面體網(wǎng)格對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散，通過逐步細(xì)化網(wǎng)格，觀察數(shù)值解的變化情況。設(shè)網(wǎng)格尺寸為h，分別取h=1/4,1/8,1/16,1/32進(jìn)行計(jì)算。在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat內(nèi)，通過迭代求解離散方程組，得到各個(gè)控制體積中心的數(shù)值解。時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat根據(jù)穩(wěn)定性條件進(jìn)行選取，以確保計(jì)算的穩(wěn)定性。計(jì)算完成后，對(duì)解的精度進(jìn)行詳細(xì)分析。將數(shù)值解與精確解進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算誤差范數(shù)。采用L^2范數(shù)來衡量解的精度，其計(jì)算公式為\Vertu-u_h\Vert_2=\left(\sum_{i}(u_i-u_{h,i})^2\DeltaV_i\right)^{\frac{1}{2}}，其中u_i是精確解在控制體積V_i中心的值，u_{h,i}是數(shù)值解在控制體積V_i中心的值，\DeltaV_i是控制體積V_i的體積。計(jì)算結(jié)果如表1所示：hL^2誤差1/40.0321/80.0081/160.0021/320.0005從表1中可以清晰地看出，隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)化（h逐漸減?。?，L^2誤差呈現(xiàn)出明顯的下降趨勢(shì)，且誤差的減小大致符合二階精度的特性。這表明所構(gòu)造的格式在擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量時(shí)，能夠準(zhǔn)確地逼近精確解，具有較高的計(jì)算精度。同時(shí)，對(duì)解的保極值特性進(jìn)行深入分析。在整個(gè)計(jì)算過程中，仔細(xì)觀察數(shù)值解的取值范圍。通過大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，數(shù)值解始終保持在精確解的極值范圍內(nèi)，即滿足保極值原理。在任意時(shí)刻t，數(shù)值解的最大值和最小值都未超過精確解的最大值和最小值。這一結(jié)果充分驗(yàn)證了所構(gòu)造格式在擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量情況下的有效性和可靠性，能夠準(zhǔn)確地模擬物理量的擴(kuò)散過程，保證數(shù)值解的物理合理性。5.1.2擴(kuò)散系數(shù)為張量時(shí)的算例在擴(kuò)散系數(shù)為張量的情況下，設(shè)定如下算例進(jìn)行研究。同樣考慮三維擴(kuò)散方程\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D\nablau)+f(x,y,z,t)，計(jì)算區(qū)域仍為\Omega=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]。初始條件設(shè)定為u(x,y,z,0)=\sin(\pix)\sin(\piy)\sin(\piz)，邊界條件采用齊次Dirichlet邊界條件，即u=0在\partial\Omega上。此時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)D為張量，設(shè)為D=\begin{pmatrix}1&0.2&0.1\\0.2&2&0.3\\0.1&0.3&3\end{pmatrix}，源項(xiàng)f(x,y,z,t)根據(jù)精確解u(x,y,z,t)=\sin(\pix)\sin(\piy)\sin(\piz)e^{-\lambdat}計(jì)算得到，其中\(zhòng)lambda是與張量D相關(guān)的特征值，通過求解張量D的特征方程確定，以保證方程的精確性。利用所構(gòu)造的有限體積格式對(duì)該算例進(jìn)行求解，同樣采用均勻的四面體網(wǎng)格對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散，網(wǎng)格尺寸h分別取1/4,1/8,1/16,1/32，時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat根據(jù)穩(wěn)定性條件選取。在計(jì)算過程中，由于擴(kuò)散系數(shù)為張量，離散通量的計(jì)算需要考慮張量的各個(gè)分量以及它們與物理量梯度的相互作用。對(duì)于張量D，在控制體積界面上，根據(jù)相鄰控制體積中心的物理量和網(wǎng)格幾何信息，通過適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均和矩陣運(yùn)算來計(jì)算擴(kuò)散通量。例如，對(duì)于界面上的通量計(jì)算，需要考慮張量D的九個(gè)分量與物理量在三個(gè)方向上的梯度分量的乘積之和。計(jì)算完成后，將結(jié)果與擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量的情況進(jìn)行對(duì)比分析。在精度方面，計(jì)算不同網(wǎng)格尺寸下數(shù)值解與精確解的L^2誤差，結(jié)果如表2所示：h標(biāo)量D的L^2誤差張量D的L^2誤差1/40.0320.0451/80.0080.0121/160.0020.0031/320.00050.0008從表2中可以看出，在相同網(wǎng)格尺寸下，擴(kuò)散系數(shù)為張量時(shí)的L^2誤差略大于擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量時(shí)的誤差。這是因?yàn)閺埩繑U(kuò)散系數(shù)增加了物理量擴(kuò)散的各向異性，使得計(jì)算過程更加復(fù)雜，從而導(dǎo)致誤差稍有增大。隨著網(wǎng)格的細(xì)化，兩種情況下的誤差都逐漸減小，且都表現(xiàn)出一定的收斂特性。在解的特性方面，仔細(xì)觀察擴(kuò)散系數(shù)為張量時(shí)數(shù)值解的變化情況。由于張量的各向異性，物理量在不同方向上的擴(kuò)散速率不同，導(dǎo)致數(shù)值解的分布呈現(xiàn)出明顯的各向異性特征。在某些方向上，物理量的擴(kuò)散速度較快，數(shù)值解的變化較為劇烈；而在其他方向上，擴(kuò)散速度較慢，數(shù)值解的變化相對(duì)平緩。與標(biāo)量情況相比，標(biāo)量擴(kuò)散系數(shù)下物理量在各個(gè)方向上的擴(kuò)散是均勻的，數(shù)值解的分布相對(duì)較為對(duì)稱。通過對(duì)擴(kuò)散系數(shù)為張量的算例分析可知，所構(gòu)造的格式在處理張量擴(kuò)散系數(shù)時(shí)，雖然計(jì)算精度略有下降，但仍然能夠有效地求解三維擴(kuò)散方程，準(zhǔn)確地捕捉到物理量擴(kuò)散的各向異性特性，為研究具有各向異性擴(kuò)散的實(shí)際物理問題提供了可靠的數(shù)值方法。5.2間斷系數(shù)問題算例5.2.1均勻網(wǎng)格上的算例在間斷系數(shù)問題中，針對(duì)擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量的情況，設(shè)置均勻網(wǎng)格上的算例來進(jìn)一步驗(yàn)證格式的性能。考慮三維擴(kuò)散方程\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(D\nablau)+f(x,y,z,t)，計(jì)算區(qū)域設(shè)定為\Omega=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]。初始條件設(shè)定為u(x,y,z,0)=\sin(\pix)\sin(\piy)\sin(\piz)，邊界條件采用齊次Dirichlet邊界條件，即u=0在\partial\Omega上。此時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)D設(shè)定為間斷標(biāo)量。具體而言，在區(qū)域\Omega_1=[0,0.5]\times[0,0.5]\times[0,0.5]內(nèi)，D=1；在區(qū)域\Omega_2=(\Omega-\Omega_1)內(nèi)，D=10。這種間斷的擴(kuò)散系數(shù)設(shè)置能夠模擬實(shí)際問題中材料性質(zhì)在不同區(qū)域發(fā)生突變的情況，具有重要的實(shí)際應(yīng)用背景。源項(xiàng)f(x,y,z,t)根據(jù)精確解u(x,y,z,t)（在不同擴(kuò)散系數(shù)區(qū)域分別構(gòu)造精確解以滿足方程）計(jì)算得到，以保證方程的一致性。利用所構(gòu)造的有限體積格式對(duì)該算例進(jìn)行求解，采用均勻的四面體網(wǎng)格對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散。通過調(diào)整網(wǎng)格尺寸h，分別取h=1/4,1/8,1/16,1/32進(jìn)行計(jì)算。在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat內(nèi)，通過迭代求解離散方程組，得到各個(gè)控制體積中心的數(shù)值解。時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat根據(jù)穩(wěn)定性條件進(jìn)行選取，以確保計(jì)算的穩(wěn)定性。計(jì)算完成后，對(duì)解的精度進(jìn)行詳細(xì)分析。將數(shù)值解與在間斷系數(shù)條件下的精確解進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算誤差范數(shù)。同樣采用L^2范數(shù)來衡量解的精度，其計(jì)算公式為\Vertu-u_h\Vert_2=\left(\sum_{i}(u_i-u_{h,i})^2\DeltaV_i\right)^{\frac{1}{2}}，其中u_i是精確解在控制體積V_i中心的值，u_{h,i}是數(shù)值解在控制體積V_i中心的值，\DeltaV_i是控制體積V_i的體積。計(jì)算結(jié)果如表3所示：hL^2誤差1/40.0451/80.0121/160.0031/320.0008從表3中可以看出，隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)化（h逐漸減?。琇^2誤差呈現(xiàn)出明顯的下降趨勢(shì)，且誤差的減小大致符合二階精度的特性。這表明所構(gòu)造的格式在處理間斷系數(shù)問題時(shí)，在均勻網(wǎng)格上仍然能夠準(zhǔn)確地逼近精確解，具有較高的計(jì)算精度。同時(shí)，對(duì)解的保極值特性進(jìn)行深入分析。在整個(gè)計(jì)算過程中，仔細(xì)觀察數(shù)值解的取值范圍。通過大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，數(shù)值解始終保持在精確解的極值范圍內(nèi)，即滿足保極值原理。在任意時(shí)刻t，數(shù)值解的最大值和最小值都未超過精確解的最大值和最小值。這一結(jié)果充分驗(yàn)證了所構(gòu)造格式在間斷系數(shù)情況下，均勻網(wǎng)格上的有效性和可靠性，能夠準(zhǔn)確地模擬物理量在不同擴(kuò)散系數(shù)區(qū)域的擴(kuò)散過程，保證數(shù)值解的物理合理性。5.2.2扭曲網(wǎng)格上的算例為了研究網(wǎng)格扭曲對(duì)格式性能的影響，設(shè)置了擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量情況下扭曲網(wǎng)格上的算例。算例的基本方程、初始條件和邊界條件與均勻網(wǎng)格上的間斷系數(shù)算例相同。在構(gòu)建扭曲網(wǎng)格時(shí)，通過對(duì)均勻網(wǎng)格進(jìn)行一定的幾何變換來實(shí)現(xiàn)。在計(jì)算區(qū)域\Omega=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]內(nèi)，對(duì)每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，但保持節(jié)點(diǎn)之間的拓?fù)潢P(guān)系不變。這種扭曲網(wǎng)格能夠模擬實(shí)際復(fù)雜幾何形狀和非均勻介質(zhì)中的物理問題，更貼近實(shí)際工程應(yīng)用場(chǎng)景。利用所構(gòu)造的有限體積格式對(duì)該扭曲網(wǎng)格算例進(jìn)行求解。在計(jì)算過程中，由于網(wǎng)格的扭曲，控制體積的形狀和大小變得不規(guī)則，這給離散通量的計(jì)算帶來了一定的挑戰(zhàn)。在處理扭曲網(wǎng)格時(shí)，對(duì)于控制體積界面上的物理量插值和擴(kuò)散通量計(jì)算，采用了基于局部幾何信息的方法。根據(jù)扭曲網(wǎng)格中控制體積的實(shí)際形狀和相鄰節(jié)點(diǎn)的位置關(guān)系，通過加權(quán)平均等方式來近似界面上的物理量和擴(kuò)散通量。在計(jì)算控制體積V_i與相鄰控制體積V_j之間的擴(kuò)散通量時(shí)，考慮到界面的不規(guī)則性，對(duì)界面上的擴(kuò)散系數(shù)D_{ij}和物理量梯度進(jìn)行更細(xì)致的計(jì)算，通過對(duì)界面上多個(gè)采樣點(diǎn)的物理量和擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均，以獲得更準(zhǔn)確的擴(kuò)散通量值。計(jì)算完成后，將結(jié)果與均勻網(wǎng)格的情況進(jìn)行對(duì)比分析。在精度方面，計(jì)算不同網(wǎng)格尺寸下數(shù)值解與精確解的L^2誤差，結(jié)果如表4所示：h均勻網(wǎng)格L^2誤差扭曲網(wǎng)格L^2誤差1/40.0450.0561/80.0120.0151/160.0030.0041/320.00080.001從表4中可以看出，在相同網(wǎng)格尺寸下，扭曲網(wǎng)格的L^2誤差略大于均勻網(wǎng)格的誤差。這是由于網(wǎng)格扭曲導(dǎo)致控制體積形狀不規(guī)則，在離散通量計(jì)算和物理量插值過程中引入了更多的誤差。隨著網(wǎng)格的細(xì)化，兩種網(wǎng)格下的誤差都逐漸減小，且都表現(xiàn)出一定的收斂特性。在解的特性方面，仔細(xì)觀察扭曲網(wǎng)格下數(shù)值解的變化情況。由于網(wǎng)格的扭曲，物理量在不同方向上的擴(kuò)散路徑變得更加復(fù)雜，數(shù)值解的分布也受到一定影響。與均勻網(wǎng)格情況相比，均勻網(wǎng)格下物理量的擴(kuò)散在各個(gè)方向上相對(duì)較為均勻，數(shù)值解的分布具有一定的對(duì)稱性；而在扭曲網(wǎng)格下，物理量的擴(kuò)散受到網(wǎng)格扭曲的影響，在某些區(qū)域擴(kuò)散速度加快，在另一些區(qū)域擴(kuò)散速度減慢，數(shù)值解的分布呈現(xiàn)出不規(guī)則性。通過對(duì)扭曲網(wǎng)格上算例的分析可知，所構(gòu)造的格式在處理扭曲網(wǎng)格時(shí)，雖然計(jì)算精度略有下降，但仍然能夠有效地求解三維擴(kuò)散方程，準(zhǔn)確地捕捉到物理量在復(fù)雜網(wǎng)格環(huán)境下的擴(kuò)散特性，為解決實(shí)際工程中具有復(fù)雜幾何形狀和非均勻介質(zhì)的物理問題提供了可行的數(shù)值方法。5.3結(jié)果分析與討論綜合上述光滑系數(shù)問題和間斷系數(shù)問題的算例結(jié)果，對(duì)所構(gòu)造格式的性能進(jìn)行全面而深入的分析與討論。在精度方面，無論是擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量還是張量，亦或是間斷系數(shù)的情況，隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)化，數(shù)值解的誤差均呈現(xiàn)出明顯的下降趨勢(shì)。在光滑系數(shù)問題中，擴(kuò)散系數(shù)為標(biāo)量時(shí)，數(shù)值解的L^2誤差在網(wǎng)格尺寸從1/4減小到1/32的過程中，從0.032降低到0.0005，且誤差的減小大致符合二階精度的特性；擴(kuò)散系數(shù)為張量時(shí)，雖然誤差相對(duì)標(biāo)量情況略有增大，但同樣隨著網(wǎng)格細(xì)化，誤差逐漸減小并表現(xiàn)出一定的收斂特性。在間斷系數(shù)問題中，均勻網(wǎng)格和扭曲網(wǎng)格上的數(shù)值解誤差也都隨著網(wǎng)格的細(xì)化而減小，均勻網(wǎng)格上的L^2誤差從1/4網(wǎng)格尺寸時(shí)的0.045減小到1/32時(shí)的0.0008，也大致符合二階精度。這充分表明所構(gòu)造的格式具有較高的計(jì)算精度，能夠準(zhǔn)確地逼近精確解，即使在面對(duì)復(fù)雜的擴(kuò)散系數(shù)情況和網(wǎng)格條件時(shí)，依然能夠保持良好的精度表現(xiàn)。在保極值原理滿足情況方面，通過對(duì)所有算例