第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省福州市山海聯(lián)盟協(xié)作校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2i，則z?的虛部為(

)A.?1 B.1 C.?i D.i2.某羽毛球俱樂部有A隊和B隊，其中A隊有80名學(xué)員，B隊有60名學(xué)員，為了解俱樂部學(xué)員的羽毛球水平，用比例分配的分層隨機抽樣的方法從該俱樂部中抽取一個容量為m的樣本，已知從B隊中抽取了15名學(xué)員，則m的值為(

)A.30 B.25 C.40 D.353.某校為了加強食堂用餐質(zhì)量，該校隨機調(diào)查了400名學(xué)生，得到這400名學(xué)生對食堂用餐質(zhì)量給出的評分?jǐn)?shù)據(jù)(評分均在[50,100]內(nèi))，將所得數(shù)據(jù)分成五組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計學(xué)生對食堂用餐質(zhì)量的評分的第60百分位數(shù)為(

)A.82.5 B.81.5 C.87.5 D.854.已知m，n是兩條不同的直線，α表示平面，且m⊥α，則“n//α”是“m⊥n”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bacosC+cacosB=sinA，則A.直角三角形 B.銳角三角形 C.等邊三角形 D.鈍角三角形6.已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和側(cè)面積分別相等，且圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的體積之比為(

)A.22 B.2 C.7.已知正方形ABCD的邊長為3，點E是邊BC上的一點，且CE=2EB，點P是邊DC上的一點，則AP?EP的最小值為(

)A.158 B.178 C.1548.已知△ABC的面積為23，B=π3，且sin2A+A.833 B.433二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7(x1<x2<x3<x4<A.新數(shù)據(jù)的極差可能與原數(shù)據(jù)的極差相等

B.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等

C.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定比原數(shù)據(jù)的中位數(shù)大

D.新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差一定比原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差大10.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=3，AB=BC=2，A.AM⊥BC

B.四棱錐M?ACC1A1的體積為2

C.直三棱柱ABC?A1B11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c為連續(xù)正整數(shù)，且a<b<c，則下列說法正確的是(

)A.存在唯一的△ABC，使得C=2π3

B.存在唯一的△ABC，使得C=π2

C.存在唯一的△ABC，使得3A+B=π

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b的夾角為5π6，|a|=3，|b13.從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中不放回地隨機抽取3張，則抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不小于10的概率為______．14.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E是棱DD1的中點，則直線A1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)a∈R，復(fù)數(shù)z1=a+2i，z2=2a+3+i．

(1)若z1?z2為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；

(2)若復(fù)數(shù)z116.(本小題15分)

已知平面向量a=(2,?3)，b=(3,m)，m∈R．

(1)若c=(7,?5)，且c=xa+b，求x和m的值；

(2)若a⊥b，求|a+217.(本小題15分)

小張和小胡兩位同學(xué)進(jìn)行兩輪語文常識答題比賽，每輪由小張和小胡各回答一個問題，已知小張每輪答對的概率為23，小胡每輪答對的概率為12，在每輪比賽中，小張和小胡答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．

(1)求小張在兩輪比賽中至少答對1題的概率；

(2)求在兩輪比賽中，小張和小胡答對題目的個數(shù)相等的概率．18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且ca=33sinB+cosB．

(1)求A；

(2)若cosBcosC=?18,b+c=302，求a；

(3)拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形(此等邊三角形稱為拿破侖三角形)的頂點.”如圖，以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD=AB=2，AD=25，PB⊥PD，點E是棱AD上的一點．

(1)記平面PAD與平面PBC的交線為l，求證：l//BC；

(2)若AE=2ED，求二面角E?PB?D的正弦值；

(3)若直線PE與平面PAB所成角的余弦值為73，求線段

答案解析1.【答案】A

【解析】解：由(1?i)z=2i，得z=2i1?i=2i(1+i)(1?i)(1+i)=?1+i，

則z?=?1?i的虛部為?1．2.【答案】D

【解析】解：由分層隨機抽樣的特點可得：15m=6060+80，

解得m=35．

故選：D．3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為x，

第一組的頻率為0.010×10=0.1，

第二組的頻率為0.015×10=0.15，

第三組的頻率為0.020×10=0.2，

第四組的頻率為0.030×10=0.3，

則x在第四組，則有0.1+0.15+0.2+(x?80)×0.03=0.6，解可得x=85．

故生對食堂用餐質(zhì)量的評分的第60百分位數(shù)為85．

故選：D．

根據(jù)題意，設(shè)該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為x，由頻率分布直方圖分析x所在的組，結(jié)合百分位數(shù)的定義可得0.1+0.15+0.2+(x?80)×0.03=0.6，解可得答案．

本題考查百分位數(shù)的計算，涉及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，已知m⊥α，若n/?/α，必有m⊥n，

反之，若m⊥n，則n/?/α或n?α，

故“n/?/α”是“m⊥n”的充分不必要條件．

故選：A．

根據(jù)題意，由直線與平面垂直的性質(zhì)分析“n/?/α”和“m⊥n”的關(guān)系，綜合可得答案．

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】A

【解析】解：因為bacosC+cacosB=sinA，

所以bcosC+ccosB=asinA，

由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A，整理得sin(B+C)=sinA=sin2A，

因為A∈(0,π)，sinA≠0，

可得sinA=1，

故A=π2，

所以△ABC為直角三角形．6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意設(shè)圓錐的底面半徑為r，則高為3r，母線長為2r，且圓柱的底面半徑為r，

設(shè)圓柱的高為?，根據(jù)圓錐與圓柱的側(cè)面積相等可得：

πr?2r=2πr??，所以?=r，

所以這個圓錐和圓柱的體積之比為13πr7.【答案】C

【解析】解：已知正方形ABCD的邊長為3，點E是邊BC上的一點，且CE=2EB，點P是邊DC上的一點，

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0)，E(3,1)，P(λ,3)，其中0≤λ≤3，

則AP?EP=(λ,3)?(λ?3,2)

=λ2?3λ+6

=(λ?32)2+154≥1548.【答案】B

【解析】解：記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

所以12acsinB=12ac?32=23，

所以ac=8，

又sin2A+sin2C=3sinAsinC，

由正弦定理得a2+c2=3ac=24，

由余弦定理可得b=9.【答案】BD

【解析】解：對于A，原數(shù)據(jù)的極差為x7?x1，新數(shù)據(jù)的極差為y7?y1=4(x7?x1)，

因為x7>x1，所以x7?x1>0，

所以4(x7?x1)>x7?x1，

即新數(shù)據(jù)的極差不可能與原數(shù)據(jù)的極差相等，故A錯誤；

對于B，設(shè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x?，則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為y?=4x?+3，

令x?=4x?+3，得x?=?1，

所以當(dāng)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10.【答案】ACD

【解析】解：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

又BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，

又AB=BC=2，AC=22，

所以AB2+BC2=AC2，

所以AB⊥BC，又AA1∩AB=A，AA1，AB?平面ABB1A1，

所以BC⊥平面ABB1A1，又AM?平面ABB1A1，

所以AM⊥BC，故A正確；

因為BB1//AA1，BB1?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，

所以BB1/?/平面ACC1A1，

所以VM?ACA1=VB?ACA1=VA111.【答案】BCD

【解析】解：設(shè)a=n?1，b=n，c=n+1，且n≥3，n∈Z，

若存在唯一的△ABC，使得C=2π3，

則cosC=a2+b2?c22ab=(n?1)2+n2?(n+1)22n(n?1)=?12，

解得n=52，又52不為整數(shù)，故不存在△ABC，使得C=2π3，故A錯誤；

若存在唯一的△ABC，使得C=π2，則需滿足a2+b2=c2，

即(n?1)2+n2=(n+1)2，解得n=4，故B正確；

若存在唯一的△ABC，使得3A+B=π，又A+B+C=π，

所以C=2A，所以sinC=sin2A，

即sinC=2sinAcosA，

即c=2a?b2+c2?a22bc，

因此bc2=a(b2+c2?a2)，

即(b?a)c2=a(b2?a2)，

所以c2=a(b+a)，

所以(n+1)2=(n?1)(2n?1)，

解得n=5，故C正確；

若存在△ABC，使得sinBsinC=cosBcosC+cosC3，

即cosC3=sinBsinC?cosBcosC=?cos(B+C)=cosA，

又0<A<π，0<C<π，所以C3=A，即C=3A，

所以sinC=sin3A，即sinC=sin(2A+A)，12.【答案】?2

【解析】解：已知向量a，b的夾角為5π6，|a|=3，|b|=4，

則a?b=3×4×(?13.【答案】25【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)A=“抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不小于10”，

從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中不放回地隨機抽取3張，

則Ω={(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，

(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，

A={(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，

則P(A)=410=25．

故答案為：25．

根據(jù)題意，設(shè)A=“抽到的3張卡片上的數(shù)字之和不小于10”，由列舉法分析14.【答案】105

【解析】解：連接A1C1，易得A1C1/?/AC，

所以∠C1A1E為直線A1E與AC所成的角或其補角，

又A1C1=22，A1E=C1E=5，

由余弦定理得cos∠C1A1E=A1C12+A1E2?C1E22A1C1?A1E=(22)2+(5)2?(5)22×22×5=105，

即直線A1E與AC所成角的余弦值為105；

分別取C1D1，B1C1，BB1，AB，AD的中點F，G，M，N，H，連接EF，F(xiàn)G，GM，MN，NH，HE，AB1，DC1，

因為AD/?/B1C1且AD=B1C1，

所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，

所以DC1//AB1，因為F，MN分別是C1D1，BB1，AB的中點，

所以EF/?/C1D，MN/?/AB1，

所以MN/?/EF，15.【答案】a=?2或a=12；

±1【解析】(1)由題意，z1?z2=(a+2i)(2a+3+i)=2a2+3a?2+(5a+6)i，

則2a2+3a?2=0，5a+6≠0，

解得a=?2或a=12；

(2)由題意，(a+2i)2+m(a+2i)+5=0，

即a2+ma+1+(4a+2m)i=0，

所以a2+ma+1=0，4a+2m=0，

解得16.【答案】x=2，m=1；

65；

(?∞,?9【解析】(1)因為c=xa+b，c=x(2,?3)+(3,m)=(2x+3,?3x+m)=(7,?5)，

所以2x+3=7,?3x+m=?5,；解得x=2，m=1；

(2)若a⊥b，則a?b=(2,?3)?(3,m)=6?3m=0，解得m=2，

所以b=(3,2)，a+2b=(2,?3)+2(3,2)=(8,1)，

|a+2b|=82+12=65；

(3)因為a與b的夾角為銳角，

17.【答案】89；

1336【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)M=“小張在兩輪比賽中至少答對1題”，

則M?=“小張在兩輪比賽中全部答錯”，

則P(M)=1?P(M?)=1?(1?23)×(1?23)=89；

(2)根據(jù)題意，Ai=“小張在兩輪比賽中答對i題”，Bi=“小胡在兩輪比賽中答對i題”，(i=1、2)，

C=“小張和小胡答對題目的個數(shù)相等”，

P(A0)=(1?23)×(1?23)=19，

P(A1)=C21×(23)×(1?23)=49，

P(A18.【答案】π3；

3；

3【解析】(1)因為ca=33sinB+cosB，

由正弦定理得sinCsinA=33sinB+cosB，

整理可得sinC?sinAcosB=33sinAsinB，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以cosAsinB=33sinAsinB，

又B∈(0,π)，所以sinB>0，可得cosA=33sinA，

即tanA=3，

因為A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)因為A=π3，所以cos(B+C)=?cosA=?12，

即cosBcosC?sinBsinC=?12，

又因為cosBcosC=?18，

所以sinBsinC=38，

由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2a3，

所以sinBsinC=3b2a?3c2a=3bc4a2=38，

所以bc=12a2，

由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc，

即a2=(30219.【答案】證明見解答；

2211；

【解析】解：(1)證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以BC/?/AD，又BC?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BC/?