11第八章系統(tǒng)狀態(tài)變量分析第八章系統(tǒng)狀態(tài)變量分析1、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程2、動(dòng)態(tài)方程的一般形式1、電路狀態(tài)方程的列寫2、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程8.2狀態(tài)方程的建立8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解

前面的分析方法稱為外部法，它強(qiáng)調(diào)用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。其特點(diǎn)：（1）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；（2）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。

本章將介紹的內(nèi)部法——狀態(tài)變量法是用n個(gè)狀態(tài)變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)有：（1）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。（2）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；（3）一階方程組便于計(jì)算機(jī)數(shù)值求解,易推廣于時(shí)變和非線性系統(tǒng)。引言448.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念從一個(gè)電路系統(tǒng)實(shí)例引入以u(píng)(t)和iC(t)為輸出

若還想了解內(nèi)部三個(gè)變量uC(t),iL1(t),iL2(t)的變化情況。這時(shí)可列出方程:a

這是由三個(gè)內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)構(gòu)成的一階微分方程組。

若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，則根據(jù)t≥t0時(shí)的給定激勵(lì)uS1(t)和uS2(t)就可惟一地確定在t≥t0時(shí)的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。

系統(tǒng)的輸出u(t)和iC(t)由三個(gè)內(nèi)部變量和激勵(lì)求出：8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義

系統(tǒng)在某一時(shí)刻t0的狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)所必需最少的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和t≥t0時(shí)系統(tǒng)的激勵(lì)，就能完全確定

t≥t0時(shí)系統(tǒng)的全部工作情況。

狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時(shí)間t變化的一組變量，它們?cè)谀硶r(shí)刻的值就組成了系統(tǒng)在該時(shí)刻的狀態(tài)。

對(duì)n階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)需有n個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，通常用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。

說明（1）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線性組合；（2）狀態(tài)變量應(yīng)線性獨(dú)立；（3）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的。在初始時(shí)刻的值稱為初始狀態(tài)。8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程二、狀態(tài)方程和輸出方程

選定狀態(tài)變量后，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時(shí)，一般分兩步進(jìn)行：（1）第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量；（2）第二步是用這些狀態(tài)變量來確定初始時(shí)刻以后的系統(tǒng)輸出。

狀態(tài)變量是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來得到，該一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。

輸出方程：描述了輸出與狀態(tài)變量和激勵(lì)之間關(guān)系的一組代數(shù)方程。通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動(dòng)態(tài)方程或系統(tǒng)方程。8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)方程：描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和激勵(lì)

之間的關(guān)系。對(duì)于一般的n階多輸入-多輸出LTI連續(xù)系統(tǒng)，如圖。其狀態(tài)方程和輸出方程為：

8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程寫成矩陣形式：狀態(tài)方程:輸出方程:A為n×n方陣，稱為系統(tǒng)矩陣，

B為n×p矩陣，稱為控制矩陣，C為q×n矩陣，稱為輸出矩陣，D為q×p矩陣

狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于:①狀態(tài)變量的選取

②狀態(tài)方程的建立。為狀態(tài)變量，積分器的輸出

為輸入的激勵(lì)

為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)為輸出變量8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程對(duì)離散系統(tǒng)，類似為輸出變量為狀態(tài)變量，延遲器的輸出

為輸入的激勵(lì)

8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)方程:輸出方程:A為n×n方陣，稱為系統(tǒng)矩陣，

B為n×p矩陣，稱為控制矩陣，C為q×n矩陣，稱為輸出矩陣，D為q×p矩陣

狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于:①狀態(tài)變量的選取

②狀態(tài)方程的建立。12128.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立一、由電路圖直接建立狀態(tài)方程

通常選電容電壓和

電感電流為狀態(tài)變量。四種非獨(dú)立的電路結(jié)構(gòu)獨(dú)立的電感電流

必須保證所選狀態(tài)變量為:獨(dú)立的電容電壓

首先選擇狀態(tài)變量。由電路圖直接列寫狀態(tài)方程和輸出方程的步驟：（3）若上一步所列的方程中含有除激勵(lì)以外的非狀態(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)腒CL、KVL方程將它們消去，然后整理成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式；8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立（1）選電路中所有獨(dú)立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量；（2）對(duì)獨(dú)立電容所在的結(jié)點(diǎn)列寫KCL電流方程，對(duì)獨(dú)立電感所在的回路列寫KVL電壓方程；（4）用觀察法由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直接列寫輸出方程，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。

例1：電路如圖，以電阻R1上的電壓uR1和電阻R2上的電流iR2為輸出，列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程。解：選取狀態(tài)變量

iL(t)和uC(t)a8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立對(duì)獨(dú)立電感所在回路列寫KVL電壓方程:對(duì)獨(dú)立電容所在結(jié)點(diǎn)列寫KCL電流方程:為消去iR2(t)，列右網(wǎng)孔KVL方程：

8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立KVL電壓方程:KCL電流方程:a代入整理得矩陣形式的狀態(tài)方程：輸出方程：8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立a整理得矩陣形式的輸出方程：二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程已知系統(tǒng)的外部描述【輸入-輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、模擬框圖、

信號(hào)流圖等】；如何寫出其狀態(tài)方程及輸出方程。（4）在系統(tǒng)的輸出端列寫輸出方程。8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立具體方法：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號(hào)流圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)（積分器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個(gè)一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；例2：已知系統(tǒng)微分方程，求該系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。解：由微分方程寫出系統(tǒng)函數(shù)：

法一：畫出直接形式的信號(hào)流圖設(shè)狀態(tài)變量:x1(t)、x2(t)x1x2在系統(tǒng)輸出端，有

8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立法二：畫出串聯(lián)形式的信號(hào)流圖設(shè)狀態(tài)變量:x1(t)、x2(t)x2x1設(shè)中間變量:

y1(t)y1在系統(tǒng)輸出端，有

8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立法三：

F(s)Y(s)設(shè)狀態(tài)變量：x1(t)、x2(t)x1x2在輸出端，有

8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立畫出并聯(lián)形式的信號(hào)流圖矩陣A為對(duì)角矩陣8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立1、H(s)相同的系統(tǒng)，可以選擇不同形式的信號(hào)流圖：

直接形式、級(jí)聯(lián)形式、并聯(lián)形式。因此狀態(tài)變量的選擇并不唯一。說明：2、當(dāng)信號(hào)流圖為并聯(lián)形式時(shí)，狀態(tài)方程的A矩陣為對(duì)角陣。3、級(jí)聯(lián)形式和并聯(lián)形式的信號(hào)流圖實(shí)現(xiàn)調(diào)試較為方便，當(dāng)調(diào)節(jié)某子系統(tǒng)的參數(shù)時(shí)，只改變?cè)撟酉到y(tǒng)的零點(diǎn)或極點(diǎn)位置，對(duì)其余子系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置沒有影響。例3：某LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的信號(hào)流圖如下，列寫出系統(tǒng)矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程。8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立24248.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立與連續(xù)系統(tǒng)類似，具體方法為：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號(hào)流圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)（遲延器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個(gè)一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；（4）在系統(tǒng)的輸出端列寫輸出方程。例4：已知某離散系統(tǒng)的差分方程，列寫其動(dòng)態(tài)方程。

y(k)+2y(k–1)–y(k–2)=f(k–1)–f(k–2)解：①系統(tǒng)函數(shù)為：②畫信號(hào)流圖：設(shè)狀態(tài)變量x1(k)

，x2(k)

：x1x2x1(k+1)=x2(k)x2(k+1)x2(k+1)=x1(k)

–2x2(k)

+f(k)輸出方程：y

(k)=–x1(k)

+x2(k)8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例5:某離散系統(tǒng)有兩個(gè)輸入f1(k)、f2(k)和兩個(gè)輸出y1(k)、y2(k)，其信號(hào)流圖如圖示。列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解:p1(k)=2x1(k)+2x3(k)p2(k)=3p1(k)-x3(k)+f2(k)=6x1(k)+5x3(k)+f2(k)依據(jù)節(jié)點(diǎn)a、b、c列寫方程：8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程：輸出方程：29298.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解狀態(tài)方程：利用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程：輸出方程：對(duì)狀態(tài)方程兩邊同時(shí)作拉氏變換：令，常稱為預(yù)解矩陣。8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解Φ(s)的極點(diǎn)就是

H(s)的極點(diǎn)，即|sI-A|=0的根。對(duì)狀態(tài)方程兩邊同時(shí)作拉氏變換：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)函數(shù)：例6：

描述LTI因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為

起始狀態(tài)，，輸入求狀態(tài)變量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解解：X(s)=Φ(s)[x(0-)+BF(s)]8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解由于H(s)