知識點(diǎn)：卷積積分的性質(zhì)信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)

卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），

靈活地運(yùn)用其性質(zhì)能簡化卷積運(yùn)算。

一、卷積積分的代數(shù)性質(zhì)卷積積分滿足乘法的三大定律：（1）交換律卷積積分的性質(zhì)下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)之和。卷積積分的性質(zhì)（2）分配律子系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積。卷積積分的性質(zhì)（3）結(jié)合律

例1：圖中子系統(tǒng)

是一LTI系統(tǒng)。

當(dāng)激勵時，該子系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

。

若給定激勵為

，求下圖所示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

。卷積積分的性質(zhì)利用階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的關(guān)系，有①先求出子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：②依據(jù)子系統(tǒng)的串并聯(lián)關(guān)系，求出總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：③利用卷積積分求出總系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：卷積積分的性質(zhì)解：已知證明：證明：（1）普通函數(shù)和沖激函數(shù)的卷積沖激函數(shù)是偶函數(shù)卷積積分的性質(zhì)

二、奇異函數(shù)的卷積特性11證明：卷積積分的性質(zhì)（2）普通函數(shù)和階躍函數(shù)的卷積證明：證明：沖激偶函數(shù)是奇函數(shù)卷積積分的性質(zhì)（3）普通函數(shù)和沖激偶函數(shù)的卷積卷積積分的性質(zhì)例2：計算下列各題。（1）（2）卷積積分的性質(zhì)例2：計算下列各題。（3）（4）卷積積分的性質(zhì)例2：計算下列各題。（5）（6）（1）卷積的微分特性

證明：卷積積分的性質(zhì)

三、卷積的微積分特性證明：卷積積分的性質(zhì)（2）卷積的積分特性

在

和

的前提下，卷積積分的性質(zhì)（3）卷積的微積分特性

解：代入卷積定義式：因?yàn)椴粷M足前提條件：例3：

，求

。注意：若利用

，

顯然是錯誤的。卷積積分的性質(zhì)解：例4：

如圖，

，求

。卷積積分的性質(zhì)四、卷積的時移特性若則卷積積分的性質(zhì)解：由于

，根據(jù)卷積的時移特性，有：例5：

如圖，求

。卷積積分的性質(zhì)例6：如圖所示零狀態(tài)系統(tǒng)，

，求圖中系統(tǒng)的響應(yīng)

。

解：總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)解：總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：例6：如圖所示零狀態(tài)系統(tǒng)，

，求圖中系統(tǒng)的響應(yīng)

。

例7：某連續(xù)LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，若系統(tǒng)的激勵為，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解法一：解法二：利用階躍響應(yīng)的定義和LTI系統(tǒng)的時不變性利用沖激響應(yīng)的定義和卷積積分的物理意義卷積積分的性質(zhì)

求卷積是本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)。求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進(jìn)行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較